11.2 一元一次不等式（第3课时 列一元一次不等式解决实际问题（二））（培优教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.2 一元一次不等式 第3课时 列一元一次不等式解决实际问题(二) 第十一章 不等式与不等式组 不等式及其解集 不等式的性质 用不等式的性质解不等式 不等式与不等式组第十一章 11. 1 不等式 11. 2一元一次不等式 11. 3 一元一次不等式组 章节导读 解一元一次不等式 列一元一次不等式解决实际问题（一） 列一元一次不等式解决实际问题（二） 学 习 目 标 1 2 3 能结合具体的实际情境，准确分析分段优惠类问题中的不等关系，明确分类讨论在列不等式解决问题中的应用； 掌握列一元一次不等式解决复杂实际问题的方法，能通过分类讨论列出不等式并求解，比较不同方案的优劣； 经历将分段优惠、方案选择类实际问题转化为一元一次不等式模型的过程，体会分类讨论思想与建模思想，提升数学应用与逻辑推理的核心素养. 导入新课 这节课，我们就在列一元一次不等式解决实际问题的基础上，继续学习、系统掌握用一元一次不等式解决分段优惠、方案选择类复杂问题的方法，真正学会用数学工具来优化生活决策． 同学们，上节课我们已经学会了用一元一次不等式解决简单的实际问题，但生活中还有很多更复杂的场景，比如不同超市的分段优惠、多种方案的选择比较，这些问题需要我们结合分类讨论的思路来分析． 知识回顾 说一说列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤？ （1）审：审题，找出题目中的不等关系，抓住关键词（如“至少”“至多”“超过”“不小于”等）． （2）设：设未知数，用字母表示题目中的未知量． （3）列：根据不等关系，列出一元一次不等式． （4）解：解不等式，求出其解集． （5）验：检验解（或解集）是否符合实际意义． （6）答：写出符合题意的答案． 典例分析 例：甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 思考：你认为应分哪几种情况考虑？ 分三种情况考虑： （1）累计购物不超过50元； （2）累计购物超过50元但不超过100元； （3）累计购物超过100元． 设购物款为 x 元 x≤50 50 ＜x≤100 x＞100 典例分析 例：甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 购物款/元 在甲超市花费/元 在乙超市花费/元 比较 x≤50 50 ＜x≤100 x＞100 说一说：你能从表格中看出哪家超市花费较少吗？ 购物不超过 50 元 甲、乙超市均不优惠 两商场花费一样 x x x 50＋0.95(x－50) 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 一样 典例分析 例：甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 购物超过 50 元而不超过 100 元 甲超市不优惠，乙超市优惠 乙超市花费少 乙少 购物款/元 在甲超市花费/元 在乙超市花费/元 比较 x≤50 50 ＜x≤100 x＞100 说一说：你能从表格中看出哪家超市花费较少吗？ x x x 50＋0.95(x－50) 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 一样 典例分析 例：甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 　　思考：如果累计购物超过 100 元，在哪家超市花费少呢？ ？ 乙少 购物款/元 在甲超市花费/元 在乙超市花费/元 比较 x≤50 50 ＜x≤100 x＞100 说一说：你能从表格中看出哪家超市花费较少吗？ x x x 50＋0.95(x－50) 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 一样 典例分析 例：甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 　　分析：当购物超过 100 元时，需要分三种情况讨论： 　　（1）什么情况下，到甲超市购物花费较少？ 　　（2）什么情况下，到乙超市购物花费较少？ 　　（3）什么情况下，两超市花费一样？ 　　甲超市花费＜乙超市花费 　　甲超市花费＞乙超市花费 　　甲超市花费＝乙超市花费 100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50) 100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50) 100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50) 典例分析 例：甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 解：设累计购物花费x元. （1）当累计购物不超过 50 元时，即x ≤50时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，而两家超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费相同． （2）当累计购物超过 50 元而不超过 100 元时，即50 ＜x≤100时，在甲超市购物不享受优惠，但在乙超市购物能享受优惠，因此到乙超市购物花费较少． （3）当累计购物超过 100 元时，即x＞100时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠. 典例分析 例：甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ ②若到乙超市购物花费较少，则 100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50)．解得 x＜150． 即100＜x＜150时，到乙超市购物花费较少． ③若到两超市购物花费相同，则 100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)，解得 x＝150． 即x＝150时，到甲、乙两超市购物花费相同． ①若到甲超市购物花费较少，则 100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)．解得 x＞150． 即x＞150时，到甲超市购物花费较少， 典例分析 例：甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 购物款/元 在甲超市花费/元 在乙超市花费/元 比较 x≤50 x x 一样 50 ＜x≤100 x 50＋0.95(x－50) 乙少 x＞100 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 100＜ x＜150 乙少 x=150 一样 x＞150 甲少 答：当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少． 典例分析 不等式的方案设计问题包括两种 （1）确定方案的种数； （2）最优方案问题． 解答此类问题时，注意分类讨论的标准，先分清情况，再作答． 基础训练 基础训练 新知总结 列一元一次不等式解决复杂实际问题 ①基本思路 ②解题的关键步骤 （1）审清分段规则：明确不同优惠方案的分段临界点，确定讨论的区间； （2）分情况列不等式：在每个区间内，根据题意列出对应的一元一次不等式，分别求解； （3）综合比较结论：结合各区间的解，比较不同方案的花费，得出在不同消费金额下的最优选择． 针对分段优惠、方案选择类问题，通过分类讨论分析不同区间内的不等关系，将实际问题转化为一元一次不等式模型，求解后结合实际情况比较方案优劣． 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 拓展提升 拓展提升 拓展提升 课堂总结 感谢聆听! 【解析】根据题意列出二元一次方程，求方程的非负整数解即可得到租车方案的数量． 解：设租大客车辆，小客车辆，其中为非负整数， 由题意可得：，变形得：， 是非负整数，必须是整数且， 由得，的可能取值为， 对应的分别为，均符合要求，因此共有种租车方案． 1．某中学八年级全体学生525人开展研学活动，现有大、小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳49人，小客车能容纳35人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，则租车方案有（       ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 B 【解析】先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量． 解：设可买盒爆米花，由题意得， ，解得：， ∴x最大为4． 2．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 4 【解析】分别表示出两种优惠方案的总费用，根据方案(2)更省钱列出不等式，求解得到的最小整数值即可. 解：∵顾客需购买4只茶壶，只（）茶杯， ∴优惠方法(1)的总费用为 ， 优惠方法(2)的总费用为 ， ∵方法(2)比方法(1)更省钱，∴，化简得 ，解得， ∵为正整数，∴的最小值为 1．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款．现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 C 【解析】本题考查了二元一次方程的整数解与不等式应用，掌握根据实际问题列方程，结合约束条件枚举正整数解是解题的关键．设种玩具数量为，种玩具数量为，根据总花费列出二元一次方程，结合，，，且，均为正整数，枚举即可得到方案数． 解：设种玩具购买件，B种玩具购买件，根据题意得 ,整理得 ，∵，均为正整数,且满足，，， ∴由得，不等式变形得 ，即，得，∵为正整数，∴为偶数，∵是偶数，∴为偶数，即为偶数，∵且为正整数，∴可取，，当时，，符合条件；当时，，符合条件；∴共有种购买方案，故选：． 2．小红去商店购买A，B两种玩具，共用了30元钱，A种玩具每件3元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量少于B种玩具的数量，则小红的购买方案有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 D 3．小林开车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场，已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长：（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时1元（不足1小时按1小时收）． 若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为_______小时． 【解析】正确理解题意，分类讨论即可求解． 解：若，乙收费元，大于甲收费元，不符合要求； 若，乙收费最多元，甲收费5元，，符合要求，区间最大；若，乙收费最多元，甲收费10元，，符合要求，区间最大；若，乙收费最多元，甲收费15元，，符合要求，区间最大；若，乙收费最多元，甲收费18元，，符合要求，区间最大；若，乙收费最多23元，甲收费24元，，符合要求，区间最大；若，乙收费为元，等于甲收费，不满足要求，因此该区间符合条件的最大； 综上，小林停车时间最长为小时． 3．小林开车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场，已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长：（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时1元（不足1小时按1小时收）． 若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为_______小时． 23 4．为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买n本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含n的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若两种方案费用相同，购买本数________； (3)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 【解析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据两种优惠方案，进行列式，即可作答．（2）根据两种方案费用相同，得，进行解方程，即可作答．（3）理解题意，进行分类讨论，即可作答． 解：（1）依题意，方案一：购买n本读物的费用元； 方案二：购买n本读物的费用元； （2）由（1）得方案一：元；方案二：元， 由题意得， 解得， 故答案为：120． （3）依题意，当时，得出， 即当，选择方案二； 当，且时，得出， 即当，选择方案一； 当，解得， 即当，选择方案一或方案二. 5．某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示： 直播间 活动方案 甲 全场六折 乙 “满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券：购买200元商品，赠200元购物券） 丙 “满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元：购买200元商品，只需付100元） 请根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价． (2)在甲、丙两个直播间标价均为元（）的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？ 【解析】（1）设这种空气炸锅的标价为y元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；（2）先求出甲直播间：全场六折，实际花费为元．丙直播间：“满100减50”，分两种情况：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 解：（1）设空气炸锅的标价为y元，由题意，得 ，解得， 答：空气炸锅的标价为370元． （2）甲直播间：全场六折，实际花费为元． 丙直播间：“满100减50”，分两种情况：①当时，不满足满减条件，实际花费为x元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费，∴，解得，∴，②当时，满足满减条件，实际花费为元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费，∴，解得 ∴， 综上所述，当或时，到甲直播间购买更合算． $