11.2一元一次不等式（第3课时 利用一元一次不等式解决实际问题）（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

11.2 一元一次不等式（第3课时 利用一元一次不等式解决实际问题）（教学设计） 1. 教学内容 本节课为人教2024版七年级数学下册第十一章《不等式与不等式组》11.2一元一次不等式第3课利用一元一次不等式解决实际问题.本节课核心内容是：回顾一元一次不等式的解法，学习从实际问题中提取不等关系，建立一元一次不等式数学模型；掌握利用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤，重点解决方案选择、最值问题、范围确定等典型实际问题；规范解题格式，体会不等式在解决实际生活问题中的应用价值. 2.内容解析 本节课是一元一次不等式知识的实际应用落脚点，是在学生掌握一元一次不等式概念、解法后的综合提升课。教材以生活中常见的行程、购物、工程、分配等实际问题为载体，引导学生将实际问题转化为数学问题，通过列、解一元一次不等式解决问题，渗透数学建模、转化思想.本节课承接一元一次不等式的理论知识，实现从“数学运算”到“实际应用”的跨越，既是对不等式知识的巩固深化，也为后续学习一元一次不等式组的实际应用、函数实际问题奠定基础，充分体现数学与生活的密切联系，提升学生数学应用能力. 基于以上分析，本节课的教学重点是从实际问题中找出不等关系，列一元一次不等式解决实际问题；掌握列不等式解实际问题的一般步骤. 1.教学目标 (1)掌握从实际问题中寻找不等关系、列一元一次不等式的方法；熟练运用一元一次不等式解决实际问题，能根据实际意义检验解集的合理性；总结列一元一次不等式解实际问题的一般步骤. (2)经历实际问题→抽象不等关系→建立不等式模型→求解→检验作答的全过程，提升审题、分析、建模能力；在解决不同类型实际问题中，培养逻辑推理和知识综合应用能力. (3)感受一元一次不等式在生活中的广泛应用，体会数学的实用性；通过解决实际问题，增强数学应用意识，激发学习兴趣；养成认真审题、规范作答、检验结果的良好解题习惯. 2.目标解析 目标1聚焦实际问题的不等式建模，要求学生能精准抓取题目中的不等关系关键词，正确列解不等式，结合实际意义确定最终答案，掌握实际应用的完整解题流程. 目标2以实际问题为载体，让学生全程参与数学建模过程，学会将文字语言转化为数学符号语言，提升分析和解决实际问题的能力，落实数学建模核心素养. 目标3通过贴近生活的实际问题，让学生感受数学的实用价值，消除数学应用的畏难情绪，培养主动运用数学知识解决生活问题的意识和严谨的解题态度. 学生已经熟练掌握一元一次不等式的解法，具备列一元一次方程解实际问题的基础，能够识别简单的等量关系，也初步接触过不等关系关键词，具备解决实际问题的基本能力.但七年级学生审题能力较弱，对实际问题中的隐含不等关系难以挖掘，容易混淆各类不等关键词，习惯用方程等量思维分析问题，难以快速转化为不等关系；同时，学生容易忽略实际问题中解集的特殊要求（如正整数、非负整数），导致结果不符合实际意义，需要通过关键词梳理、例题引导突破难点. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是准确挖掘实际问题中的隐含不等关系，区分“至多”“至少”“不超过”“不低于”等关键词对应的不等号；根据实际问题的实际意义，确定不等式解集的合理取值（如整数解）. 创设情景，引入新课 复习回顾：快速求解一元一次不等式，回顾解题步骤，为本节课求解不等式做好铺垫。 情境导入：呈现生活实际问题：某商店文具套装每套定价20元，老师购买超过10套，超出部分打8折，老师计划用不超过400元购买文具套装，最多能买多少套？ 提问引导：本题中的关键条件是什么？存在怎样的数量关系？和方程解决的问题有什么不同？ (设计意图：复习不等式解法夯实运算基础，通过贴近生活的购物问题创设情境，引发学生思考，对比等量与不等关系问题，自然导入本节课的实际应用主题，激发解题探究欲.) 探究点1：探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤 问题：某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天后，又增加了设备，每天能多整修河堤30米，结果提前完成任务，问增加设备后每天至少整修河堤多少米？ 教师引导学生分步分析： ①审题：找出已知量、未知量，圈画关键词“提前完成”“至少”； ②设未知数：设增加设备后每天整修河堤x米； ③找不等关系：前2天整修长度+后几天整修长度＞600米； ④列一元一次不等式：2×60+(10-2-1)x＞600； ⑤解不等式； ⑥检验并作答：结合实际意义，确定结果为正整数. 师生共同总结利用一元一次不等式解决实际问题的步骤： 审题→设未知数→找不等关系→列不等式→解不等式→检验（实际意义）→作答. 同时梳理常见不等关键词：至少（≥）、至多（≤）、不超过（≤）、不低于（≥）、不足（＜）、超过（＞）. （设计意图：通过完整例题，分步引导学生分析问题、建立模型、求解作答，拆解解题难点，总结通用解题步骤和不等关键词，让学生掌握实际问题的解题方法，渗透数学建模思想.） 探究点2：强化建模，巩固思路 让学生自主找不等关系、列不等式，不求解，重点训练建模能力，教师针对性纠错，强化不等关系分析思路. 问题： 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费;在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少? 分析:在甲超市购物超过100元后享受优惠，在乙超市购物超过50元后享受优惠.因此，需要分三种情况讨论: (1)累计购物不超过50元: (2)累计购物超过50元而不超过100元; (3)累计购物超过100元. 解:设累计购物花费元. (1)当累计购物不超过50元，即时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，而两家超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费相同. (2)当累计购物超过50元而不超过100元，即时，在甲超市购物不享受优惠，但在乙超市购物能享受优惠，因此到乙超市购物花费较少. (3)当累计购物超过100元，即时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠. ①若到甲超市购物花费较少，则 解得 即时，到甲超市购物花费较少. ②若到乙超市购物花费较少，则 解得 即时，到乙超市购物花费较少. ③若到两超市购物花费相同.则 解得x=150. 即x=150时，到甲、乙两超市购物花费相同. 答:当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同:当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少;当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少. （设计意图：聚焦核心难点，专项训练学生提取不等关系、列不等式的能力，夯实建模基础，避免运算干扰，突破本节课重点难点） 典型例题 例1. 某商店决定购进一批单价为元/本的笔记本，到批发店后发现批发店现在搞促销活动，且有两种方案可供选择． 方案一：一律按8折优惠． 方案二：总费用超过1000元，则超过的部分按6折优惠． (1)若该商店准备购进300本笔记本，则需要花费多少元? (2)若该商店预计购进800本笔记本，则应选择哪种方案更优惠? (3)该商店先在批发店购买a本笔记本，由于笔记本的质量好，决定再购买一批笔记本．若两次购进总计1000本笔记本，且第一次购买时按方案二进行购买更优惠，则第二次购买花费多少钱?（用含a的代数式表示） 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用，列代数式，根据方案一和方案二的不同优惠方案，列出算式、不等式及代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴（元）， 答：需要花费600元； （2）解：方案一费用为：（元）， 方案二费用为：（元）， 所以选择方案一和方案二一样优惠； （3）解：由题意得：， 解得：， 所以第二次购买的数量小于本，只能选择方案一， 所以第二次购买花费（元）． (设计意图：巩固本节课核心知识，突破易错点和难点，提升学生知识应用能力，强化解题规范性.) 课本课堂P136练习. 参考答案：1.设学校购买x个笔记本，则16x+4(100-x)≤900，解得 ,由x应为正整数，可得x最大为 41.所以学校最多能买41个笔记本. 2.设大樱桃的售价应定为x元/kg，则200×(1-20%) x+200×29-10 000≥(200×39+200×29-10000)×90%，解得x≥46.5.所以大樱桃的售价至少要定为每千克46.5元. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元. 根据题意，得， 解得，； 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； （2）解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意，得：， 解得：， 的最大值为120； 答：最多可购进乙型头盔120个； （3）解：能，理由如下： 根据题意，得：； 解得：； ； 为整数， 可取118，119或120，对应的的值分别为82，81或80； 因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个； ②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个； ③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个． (设计意图:强化解一元一次不等式与方程等的综合应用．) 1．（2025•内蒙古）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． （1）求a的值； （2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？ 【解答】解：（1）根据题意得：25a＝800﹣600， 解得：a＝8． 答：a的值为8； （2）设需要x个这样的机器人， 根据题意得：4x≥10000， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为6． 答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个． 2．(2025.淮安统测)“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，金堂某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元． (1)求甲，乙两种造型“蓉宝”的单价分别为多少元； (2)若该公司决定购买以上两种造型“蓉宝”的总费用不超过2600元，那么该公司最多可以购买甲造型“蓉宝”多少个？ 【详解】（1）解：设甲种造型“蓉宝”的单价为元，乙种造型“蓉宝”的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种造型“蓉宝”的单价为元，乙种造型“蓉宝”的单价为元； （2）设该公司可以购买甲种造型“蓉宝”个，则购买乙种造型“蓉宝”(个， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：该公司最多可以购买甲种造型“蓉宝”个． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：本节课学习了利用一元一次不等式解决实际问题，掌握了完整解题步骤：审题、设未知数、找不等关系、列不等式、解不等式、检验、作答；梳理了常见不等关系关键词与对应不等号；学会根据实际意义确定不等式的合理解集. 方法总结：解决实际问题的核心是建立一元一次不等式数学模型，将实际问题转化为数学问题；解题关键是抓准不等关键词、挖掘隐含不等关系；解题后一定要检验结果是否符合实际意义，这是实际应用的重要环节. 易错提醒：（1）混淆不等关键词，用错不等号，尤其区分“至少（≥）”“至多（≤）”；（2）忽略实际问题中的隐含条件，如人数、件数必须为正整数；（3）解完不等式后，不检验结果合理性，直接作答导致错误；（4）审题不清，找错不等关系，将不等关系当成等量关系列方程. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题11.2第8、9题. 探究性作业：习题11.2第10题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 11.2 一元一次不等式（第3课时） 探究点1：复习巩固完整解法 探究点2：用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1．（2025•内蒙古）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而结合数轴可得答案． 【解答】解：由x﹣1≥0得：x≥1， 又x＜3， 所以不等式组的解集为1≤x＜3， 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．（2025•山西）不等式组的解集是（　　） A．x＜2 B．x≥3 C．2＜x≤3 D．无解 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：， 由①得x＞2， 由②得：x≤3， 则不等式组的解集为2＜x≤3． 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（2025•宜宾）满足不等式组的解是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，进而得出答案． 【解答】解：不等式组的解为0＜x≤2， 故满足不等式组的解是1． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答本题的关键． 8．（2025•泸州）对于任意实数a，b，定义新运算：a※b，给出下列结论： ①8※2＝8； ②若x※3＝6，则x＝6； ③a※b＝（﹣a）※（﹣b）； ④若（2x﹣4）※2＜5x，则x的取值范围为x． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】解一元一次不等式；实数的运算．版权所有 【专题】新定义；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】①根据新定义可得答案；②分x≥3和x＜3分别依据新定义求解即可；③分a＞b和a＜b，a＝b三种情况求解即可；④分2x﹣4≥2和2x﹣4＜2两种情况列出相应不等式，解之可得答案． 【解答】解：①∵8＞2，∴8※2＝8，正确； ②若x≥3，则x＝6； 若x＜3，则﹣x＝6，此时x＝﹣6；错误； ③若a＞b，则﹣a＜﹣b， ∴a※b＝a，（﹣a）※（﹣b）＝a， 则a※b＝（﹣a）※（﹣b）； 若a＜b，则﹣a＞﹣b， ∴a※b＝﹣a，（﹣a）※（﹣b）＝﹣a； 若a＝b，则a※b＝a，（﹣a）※（﹣b）＝﹣a，此时a※b≠（﹣a）※（﹣b）， 所以此结论错误； ④若2x﹣4≥2，即x≥3时，由（2x﹣4）※2＜5x得2x﹣4＜5x，解得x；此时x≥3； 若2x﹣4＜2，即x＜3时，由（2x﹣4）※2＜5x得﹣2x+4＜5x，解得x；此时x＜3； 综上，若（2x﹣4）※2＜5x，则x的取值范围为x．此结论正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查新定义下的解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 二．填空题（共5小题） 10．（2025•黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣2≤a＜﹣1． 【分析】根据所给不等式组恰有3个整数解，得出关于a的不等式，据此可解决问题． 【解答】解：由2x﹣3≤0得，x． 由x﹣a＞0得，x＞a． 因为此不等式组恰有3个整数解， 则这3个整数解为1，0，﹣1， 所以﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 11．（2025•浙江）不等式组的解集是　﹣2≤x＜4　 ． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣2≤x＜4． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式2x﹣3＜5得，x＜4， 所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜4． 故答案为：﹣2≤x＜4． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 12．（2025•新疆）不等式组的解集是　x≥1　 ． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x≥1． 【分析】先求出不等式的解，再根据同大取大；同小取小求出解集． 【解答】解：由x+2＞0， 得x＞﹣2； 又∵x≥1， ∴不等式组的解集为：x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是根据计算方法来解答． 14．（2025•上海）不等式组的解集是　x＞2　 ． 【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x＞2． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由1＞0得：x＞2， 由2x+3≥x得：x≥﹣3， 则不等式组的解集为x＞2， 故答案为：x＞2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 三．解答题（共2小题） 15．（2025•长沙）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣7＜x≤2． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式①，得x＞﹣7， 解不等式②，得x≤2， ∴不等式组的解集为﹣7＜x≤2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16．（2025•北京）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣3＜x＜1． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＞﹣3， 解不等式②，得：x＜1， ∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 1．（2025•内江）对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　﹣17≤P＜﹣7　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解；实数的运算．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣17≤P＜﹣7． 【分析】依据题意，先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出进而解不等式组，即可求解． 【解答】解：由题意，∵G（x，y）＝x+3y， ∴关于a的不等式组，即为， ∴解不等式①得：a≤1，解不等式②得：． ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为﹣1，0，1， ∴． ∴﹣17≤P＜﹣7． 故答案为：﹣17≤P＜﹣7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键． 2．（2025•南充）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是　m≤3　 ． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】m≤3． 【分析】分别求出每个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于m的不等式，解之即可． 【解答】解：由x﹣3＞﹣1得：x＞2， 由﹣x＜﹣m+1得：x＞m﹣1， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴m﹣1≤2， 解得m≤3， 故答案为：m≤3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．（2025•泸州）若点（1，a﹣2）在第一象限，则a的取值范围是　a＞2　 ． 【考点】解一元一次不等式；点的坐标．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】a＞2． 【分析】由点（1，a﹣2）在第一象限，知a﹣2＞0，解之即可． 【解答】解：∵点（1，a﹣2）在第一象限， ∴a﹣2＞0， 则a＞2， 故答案为：a＞2． 【点评】本题主要考查点的坐标、解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 二．解答题（共17小题） 5．（2025•深圳）解一元一次方程组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：　x≥﹣1　 ， 由不等式②得：　x＜4　 ， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为 　﹣1≤x＜4　 ． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次方程．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力． 【答案】x≥﹣1；x＜4；﹣1≤x＜4． 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得：x≥﹣1， 解不等式②，得：x＜4， 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜4， 故答案为：x≥﹣1；x＜4；﹣1≤x＜4． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 6．（2025•天津）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　x≤1　 ； （Ⅱ）解不等式②，得 　x≥﹣2　 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣2≤x≤1　 ． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≥﹣2；（Ⅲ）数轴见解答；（Ⅳ）﹣2≤x≤1． 【分析】先求出每个不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集，最后写出不等式组的解集即可． 【解答】解：， （Ⅰ）解不等式①，得x≤1； （Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来， ； （Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式（组）的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 7．（2025•陕西）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣3＜x＜2． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＜2， 解不等式②，得：x＞﹣3， ∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜2． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 8．（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元； （2）该公司最少需花费1080元． 【分析】（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元，根据2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12﹣x）箱，根据乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数，列出一元一次不等式，解得x≥6，再设该公司需花费w元，根据题意列出w关于x的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元； （2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12﹣x）箱， 根据题意得：12﹣x≤x， 解得：x≥6， 设该公司需花费w元， 根据题意得：w＝100x+80（12﹣x）＝20x+960， ∵20＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝6时，w有最小值＝20×6+960＝1080， 答：该公司最少需花费1080元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 9． （2025•河北）（2）解不等式3﹣x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）x≤3，数轴见解析过程； （2）x＞﹣2，数轴见解析过程； （3）﹣2＜x≤3． 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来． （2）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来． （3）结合（1）（2），写出不等式组的解集即可． （2）3﹣x＜5， ﹣x＜2， x＞﹣2， 数轴表示如上图． （3）由（1）（2）知， 不等式组的解集为：﹣2＜x≤3． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式（组）及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式（组）的步骤是解题的关键． 10．（2025•湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等． （1）求A种材料和B种材料的单价； （2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？ 【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）最多能购买A种材料20件． 【分析】（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，根据购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，根据总费用不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元， 由题意得：4x＝6（x﹣3）， 解得：x＝9， ∴x﹣3＝6， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件， 由题意得：9m+6（50﹣m）≤360， 解得：m≤20， 答：最多能购买A种材料20件． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 11．（2025•苏州）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】x＞3． 【分析】先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀“同大取大”，判断不等式组的解集即可． 【解答】解：， 由①得：3x﹣x＞﹣3﹣1， 2x＞﹣4， x＞﹣2． 由②得：3（x﹣1）＞2x， 3x﹣3＞2x， 3x﹣2x＞3， x＞3， ∴不等式组的解集是x＞3． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 12．（2025•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣3＜x≤1．负整数解有：﹣2、﹣1． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：， 由①得，x≤1， 由②得，x＞﹣3， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1． 负整数解有：﹣2、﹣1． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13．（2025•甘肃）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣4≤x＜5． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集． 【解答】解：， 由①得，x≥﹣4， 由②得，x＜5， ∴不等式组的解集为：﹣4≤x＜5． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知确定不等式组解集的原则是解答此题的关键． 14．（2025•烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元，根据“购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元，则购买（40﹣m）盏乙种路灯，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，由购买甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元； （2）设购买m盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元，则购买（40﹣m）盏乙种路灯， 根据题意得：w＝60m+80（40﹣m）＝﹣20m+3200， ∵﹣20＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m（40﹣m）， ∴m≤10， ∴当m＝10时，w取得最小值，此时40﹣m＝40﹣10＝30（盏）． 答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 15．（2025•连云港）解不等式组． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣4＜x＜2． 【分析】先求出每个不等式的解，再根据大小小大中间找，求出答案． 【解答】解： 解不等式①得x＜2， 解不等式②得x＞﹣4， 所以不等式组的解集为：﹣4＜x＜2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是根据运算方法来解答． 16．（2025•遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（任务一）A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元； （任务二）共3种购买方案， 方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶； 方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶； 方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶； （任务三）方案3更省钱，最低购买费用是15200元． 【分析】（任务一）设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，根据“购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务二）设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买（200﹣m）个B型号的新型垃圾桶，根据“总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （任务三）利用总价＝单价×数量，可求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【解答】解：（任务一）设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元； （任务二）设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买（200﹣m）个B型号的新型垃圾桶， 根据题意得：， 解得：m≤120， 又∵m为正整数， ∴m可以为118，119，120， ∴共3种购买方案， 方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶； 方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶； 方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶； （任务三）选择方案1所需费用为60×118+100×82＝15280（元）； 选择方案2所需费用为60×119+100×81＝15240（元）； 选择方案3所需费用为60×120+100×80＝15200（元）， ∵15280＞15240＞15200， ∴方案3更省钱，最低购买费用是15200元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（任务一）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（任务二）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（任务三）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用． 17．（2025•成都）（1）计算：（）﹣12cos45°+|2|； （2）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；负整数指数幂．版权所有 【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）3； （2）2＜x≤8． 【分析】（1）利用负整数指数幂，算术平方根的定义，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）解各不等式得到对应的解集后再求得它们的公共部分即可． 【解答】解：（1）原式＝4﹣3+22 ＝4﹣32 ＝3； （2）解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x≤8， 故原不等式组的解集为2＜x≤8． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握解不等式组的方法及相关运算法则是解题的关键． 18．（2025•重庆）求不等式组：的所有整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣1≤x＜2，所有整数解为﹣1，0，1． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，从而得出所有整数解． 【解答】解：， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 所以不等式组的所有整数解为﹣1，0，1． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 19．（2025•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣1＜x＜2；在数轴上表示出解集见解析． 【分析】依据题意，根据，由①得，x＞﹣1；由②得，x＜2，进而可以判断得解． 【解答】解：， ∴由①得，x＞﹣1； 由②得，x＜2． ∴原不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，在数轴上表示出解集如下． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 20．（1）计算：（1）0﹣（﹣1）2+|﹣2|； （2） 【考点】解一元一次不等式；实数的运算；零指数幂；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）2； （2）x≤1，数轴表示见解答． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（1）0﹣（﹣1）2+|﹣2| ＝1﹣1+2 ＝2； 【点评】本题考查了解一元一次不等式，实数的运算，零指数幂，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【点睛】本题主要考查了求解一元一次不等式的解集的知识，掌握相应的求解方法是解答本题的关键． 45．已知方程组，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】由题意知方程组两方程相加表示出，根据大于确定出的范围即可． 【详解】解：， 得：，即， 由，得到， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 例2：解不等式2(x+1)-1≥3，引导学生先去括号，再移项、系数化为1，每一步紧扣不等式性质，规范完整解题过程。 师生共同总结：利用不等式性质解不等式的一般步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化为1（注意不等号方向）。 设计意图：由简单到复杂，通过梯度例题，讲解不等式变形的完整步骤，规范解题格式，让学生明确每一步变形的理论依据，突破系数为负数、含括号的变形难点，落实新知应用方法。 3. 归纳提炼，明确依据 引导学生总结：解不等式的核心是利用不等式的性质进行等价变形，移项依据性质1，系数化为1依据性质2、3，关键是判断系数正负，确定不等号方向是否改变。 设计意图：帮助学生梳理解题思路，提炼解题核心，明确不等式求解的本质是性质的应用，构建完整的解题逻辑，提升知识归纳能力。 （二）拓展提升 1. 基础巩固题：解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 （1）5x≤4x+3；（2）-3x>6；（3）2(x+2<8；（4）-\frac{1}{2}x+1≥0 2. 易错辨析题：指出下列解题过程中的错误，并改正 由-3x<6，得<-2，分析错误原因，强化性质3应用规则。 3. 实际应用题：某工人计划在15天内加工408个零件，最初3天，每天加工24个，以后每天至少加工多少个零件，才能在规定时间内超额完成任务？（设未知数，列不等式并求解） 引导学生找出“超额完成”这一不等关系，列出不等式3×24+(15-3)x>408，再利用性质求解。 设计意图：分层设计练习，基础题巩固不等式变形解法，辨析题直击易错点，实际应用题提升知识应用能力，实现知识到技能的转化，培养学生建模思想和解题严谨性。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $