数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题 专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列不等式恒成立求参数问题 证明数列不等式恒成立问题 s. 例1.(2026安徽安庆三模)设Sn为数列{a,}的前n项和，已知4=1，S与(S-)的等比中项为3，且n为 等差盔 奇偶数列问题 (1)求数列 a.} 的通项公式： n+3 ,n为奇数 .= n+1 2)若数列也，}满足 2“,n为偶数 ，求，}的前2n项和T 例2.(2526高二下福建泉州阶段检测)已知数列a,的前”项和为S,且，=2a,+4n-10 ④证明：数列a一号是等比数列求a的通项公式 3a,n是偶数 (2)已知 =aa,4,是奇数，求数列b,}的前2n项和B 2 1 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 2 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 3 an,n为奇数， 1=1,an+1= 2 例3.(25-26高三上山东潍坊月考)已知数列{a,}满足 2an,n为偶数. )定=a,证明：数列，为等比数列，并求”， （2求a的前2”项和 an+1,n为偶数 变武1.(2526高二下广东济圳期)）已知等差数到a}冲a,=6:4=2,且=区，为奇数。 (1)求数列 }的通项公式： 2记藏列的前”和为了，求的值（结果可以用幂的形式表示）· 3 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 变式2.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨月考)已知数列 ,}是公差为正数的等差数列，其前”项和为5，且 a243=35S4=24 )求数列a,的通项公式： an-1,n为奇数 ②数列亿，}满足，=5a为偶数，求数列，}的前n项和T: 3拷7->n 对任意n∈N 恒成立，求实数的取值范围. 2an,n为奇数 变式3.(25-26高二上安徽六安期未)已知{a,}满足4，=l,且=a,+1,n为偶数 ()求和(n∈N)】 2求a的前2项的和5， （)③若，么=。=3a,thneN,求T=b9+b6+b.,9++hc. ，求 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 考点二 数列不等式恒成立求参数问题 1 例1. (2026四川攀枝花二模)己知数列{a,}的前n项和为Sn,4=2,(1-n)S,=2na1· n (1)证明： s. 是等比数列，并求出{S}的通项公式： (2)求数列 ,}的前”项和： 2≥nSm (3)若 ”，求的取值范围 例2.(2526高=下广东广州期中)已知数列a,的前”项和为5，且25，=3a,+2n-6, (1)证明： a,-是等比数列，并求a,}的通项公式 「1,11 (②若冈表示不超过x的最大整数，如[12=-2，.]=2，记6，=2加g,a,-)-1,求安+医++的值： 62<-少4a-2) a,a，记数列{c}的前n项和为T,若对n∈N,都有元≤Tn成立，求的取值范围. 5 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 例3.(25-26高三上江西吉安月考)已知等差数列a的前m项和为S,且S,=48,。=2a,+1meN,） (④求数列a的通项公式： 2)若6=3 ,记数列 a,}的前n项和为乙： (i)求T: (i)若7-n3”<(←1k neN, 对任意恒成立，求实数k的取值范围。 变式1.(25-26高三上湖北武汉期中)正项数列a,}中，已知%=4,00，=2瓦，+1 证明：数列回是等差数列： 2没=（少a,求数列么，的前”项和5。 Q+之0+之-+之罗片对5eX酸之求和的取值意说. (3)若不等式4 6 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 变式2。（25-26商三上广东广州月考)教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列：} f(x)(neN) 满足= 这个数列被称为函数f(x)的“牛顿数列”.已知数列{xn}为函数∫(x)=x2-x的牛 板数列，>1， an=ln ,且数列a}满足 x-1 求“和”。 2证明数列a,}是等比数列，并求“： 3)若不等式[2+(-r]-a≥3n- 对任意n∈N恒成立，求实数入的取值范围. 变式3。(2026吉林自山模拟预测已知数列a,}的前n项和为5，满足S。=广+m,他，}为等比数列，首项为 1,且公比为2. (①)若”b,求数列{c}的前n项和T; 2若不等式-)a,<太：对neN恒成立，求实数太的取值范围 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 考点三 证明数列不等式恒成立问题 例1，(2026河北保定三模)已知数列{a,}的前n项和为S且 a=l,a2=5, n为等差数列. (1)求数列 {a,}的通项公式： 2)若从数列a,}的前3 的前3m(m∈N)项中任取两项，记这两项中至少有一项能被3整除的概率为P，证明： R号 创2.(2026湖南湘潭模报预测已知数列a和么清足4=a,+a++a。 0若8=”，求4-6+6 的值： 1,1 ++1≤-g (2)若an=n,且bb2bn 3恒成立，求t的取值范围： （6设5=8-2n1.若8=3动+2m-,证明：6+：=6 8 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 1,1 1 例3。（2026：辽宁辽阳二模)已知数列0， √4n2(n+2)}，Sn是{a}的前n项和. 1,1,1_111 ()若x’y>0,求证： y(x+y)xy x+y: ②求5的值 n 12 In 4+1<21 <2√n (3)求证：“(4)台S, 变式1.(2026河南开封模拟预测)已知递增数列a的各项均为正整数，4=2，第”，项满足。=3”. aa as ds (I)分别求，，的值： (2求”，的表达式，其中k∈N；(用含k的式子表示) (B)若数列私}满足(1-6)1g,4心=1，记，}的前刀项和为，证明：T<n+h22 n+2 9 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 b =dos2an 变式2.(25-26高二下·湖南永州期中)在正项数列{a.}中，记”a,若也，}为非零常数列，则称{a.}存 在等比型递推结枸，数列，为a的结构常数数列 0)试向数列3》 是否存在等比型递推结构？请说明理由. (2)已知正项数列 {a,}存在等比型递推结构，且4=山4=2，a,=64 ①求a}的通项公式 n+2 (设B.-21og,a,记{p.的前n项和为，证明：对任意neN,2(e-<e(e--2”+20.7)恒 成立 变式3.(2526高三下甘肃金吕月考)已知题数()-h0++器加，aEN,设的零点为a (1)求4的值： (2)证明： a,}为单调数列，并求a}中的最小项： 51s2n-1 (3)证明：台1+a 10数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立求参数问题、证明数列不等式恒成立问题 专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列不等式恒成立求参数问题 证明数列不等式恒成立问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 例2．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列.求的通项公式. (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由与的关系式，得到与的关系式，再利用等比数列定义证明，再结合等比数列的通项公式可求通项； （2）利用分组求和结合公式法可求. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减得，即，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列. 又，即. （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 故 . 例3．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知数列满足 (1)记，证明：数列为等比数列，并求； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）构造法，结合等比数列定义证明； （2）运用分组求和，结合等比数列求和公式计算即可． 【详解】（1）证明：， 且， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 于是； （2）解： ． 变式1．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知等差数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前和为，求的值(结果可以用幂的形式表示）. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出数列的首项和公差，再求通项公式； （2）先求数列的通项，再求前20项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以. （2）由（1）知，当为偶数时，；当为奇数时，； 所以 . 变式2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列通项公式与前项和建立方程组，求出首项与公差，进而得到通项； （2）按奇偶分类写出的具体表达式，再分别对为偶数和奇数情况求和，得到分段形式的； （3）计算的分段表达式，转化为关于的最小值问题，由此求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，，解得：， ； （2）由（1）知， 当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 所以 （3）当为偶数时，得 当时，有最小值，所以 当为奇数时，，所以 因为单调递增，单调递减，单调递减，单调递增， 则单调递增， 所以当时，有最小值，所以． 综上，实数的取值范围是 变式3．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知满足，且 (1)求和； (2)求的前项的和； (3)若，求. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）利用递推关系，得出，结合等比数列通项公式可得，再利用递推可求； （2）利用分组求和的方法分奇数项和偶数项讨论即可求得答案； （3）先分组，结合错位相减法可得答案. 【详解】（1）当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，， 于是：，，故， 即， 数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以. . （2） 奇数项的和：， 偶数项的和：， 所以. （3）， ，，则. ，， 两式相减可得， . 所以. 考点二 数列不等式恒成立求参数问题 例1．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 例2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，，记，求的值； (3)记，记数列的前项和为，若对，都有成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)1 (3) 【分析】（1）利用数列中与的关系将条件所给的关系式转化，然后根据等比数列的定义证明即可，进而求出通项公式； （2）先求出的解析式，再利用放缩法，裂项相消法及数列的单调性，求出的前项和的取值范围，再取整即可； （3）先求出的解析式，再利用裂项相消求出其前项和，然后分奇偶讨论分别求出的最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得， 即，即， 所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列， 所以，所以， 并且当时，依然成立， 所以的通项公式为； （2）令， 由（1）知，，所以， 则当时，； 当时，因为， 所以 . 又因为数列单调递增，所以，， 所以； （3）由（1）知，，所以， 当为奇数时， . 因为数列单调递增，且， 所以当时，取到最小值； 当为偶数时， . 因为数列单调递减，且， 所以当时，取到最大值， 且随着的增大，逐渐递减趋近于. 因为对，都有成立，所以要小于等于的最小值， 所以的取值范围为. 例3．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为； （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用等差数列前项和公式，将转化为关于和的方程，令，代入，得到另一个关于和的方程，联立两个方程求解即可. （2）（ⅰ）先写出的表达式，再乘以等比数列的公比得到，将两式相减，利用等比数列求和公式化简得到. （ⅱ）先将代入，化简得到关于的不等式，分为奇数和偶数两种情况讨论，取两种情况的交集得到最终的取值范围 【详解】（1）设数列的公差为d，由得， 由，令得， 联立，得，， 所以． （2）（ⅰ）由（1）可得， 所以，① ，② 得：， 所以． （ⅱ）将代入不等式得， 当n为奇数时，不等式等价于恒成立， 因为，所以； 当n为偶数时，不等式等价于恒成立， 因为，所以； 综上可知k的取值范围为． 变式1．（25-26高三上·湖北武汉·期中）正项数列中，已知，． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）化简得，结合等差数列的定义即可判断； （2）求出，再分奇偶讨论并结合等差数列的前项和公式求出即可； （3）构造数列，求其单调性，得其最大值即可. 【详解】（1）因为，则， 因为是正项数列，则，即， 所以数列是等差数列. （2）由（1）可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 则，即，则. 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 故. （3）因对都成立， 则对都成立， 令， 则 ， 当时，，即，即， 当时，，即，即， 则数列的最大值为， 则，得， 所以的取值范围为. 变式2．（25-26高三上·广东广州·月考）教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满足，这个数列被称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，，且数列满足 (1)求和； (2)证明数列是等比数列，并求； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据题设定义得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件可得，进而可得，再由等比数列的定义，即可求解； （3）由（2）可得恒成立，令，再分为奇数和偶数，求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 又，则， 又，所以，. （2）由（1）知，则， 所以， 故（非零常数），且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故. （3）由（2）知，则，由，得到， 即，也即， 令，则， 当时，，所以时，数列单调递减，且， 又不等式对任意恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，所以，得到， 当为偶数时，恒成立，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 变式3．（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系，求出的通项公式；利用等比数列通项公式求出的通项公式，再结合错位相减法求； （2）将、的通项代入不等式，整理得到关于的恒成立问题，所以构造新数列，通过研究新数列的单调性求出其最大值，进而确定的取值范围. 【详解】（1）已知：时，； 时，， 验证也满足，故. 是首项为1、公比为2的等比数列，故，. ，则：① 两边同乘得：②. ①-②得： 中间等比数列求和得， 代入整理得：. （2）不等式，对恒成立， 代入得：. 设，作差得： 时，； 时，； 时，， 故的最大值为，因此，即. 考点三 证明数列不等式恒成立问题 例1．（2026·河北保定·三模）已知数列 的前n项和为 且 为等差数列． (1)求数列 的通项公式； (2)若从数列的前项中任取两项，记这两项中至少有一项能被3整除的概率为，证明： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设，利用等差数列的概念求出，进而得到，再根据与的关系求通项即可； （2）先确定数列的前项中能被3整除的项数，再结合组合计算出，然后由单调性得到范围即可证明． 【详解】（1）解：设，则，又为等差数列， 则数列是首项为1，公差为2的等差数列， ，则， 时，， 时，， 综上，； （2）证明：，， ， 又，， 则数列的前项中有项能被3整除， ， 又函数在单调递减，且， ． 例2．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知数列和满足． (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求的取值范围； (3)设，若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由，，分别求得求解； （2）由，得到，从而，再利用裂项相消法求解； （3）由，得到，再由，得到，然后递推求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以． （2）因为， 所以， 则， 所以， 由恒成立，可得， 则，得， 则，即的取值范围为． （3）证明：由， 可得， 则， 两式相减得． 由，得， 则． 由，得， 则，即． 例3．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）计算可得其等于，即可得证； （2）结合（1）中所得，利用分组求和计算即可得解； （3）利用分组求和可得，则；构造函数，利用导数计算可得对任意恒成立，则可得，计算可得，结合可证得，利用不等式性质可得当时，有，计算可得，则可得，即可得证. 【详解】（1） ， 又，，故； （2）由（1）可得， 故 ； （3） ， 又， 故， 故，故； 令，则， 故在上单调递减，故， 即对任意恒成立，则， 则， 又，故； 当时， ， 则，即有， 则， 则， 又，则， 综上所述：可得. 变式1．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推关系结合单调性及整数的性质可求，，的值； （2）根据题设条件结合（1）的结果可得，从而可求的表达式， （3）先证明不等式，再结合（2）中结果可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为，故即，故即， 所以即，而为递增数列， 故，而为正整数，故. 综上，. （2）因为，故，故， 故. 综上. （3）因为，故，故， 下证：，. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，恒成立. 由所证不等式可得，其中， 故， 故 . 综上，. 变式2．（25-26高二下·湖南永州·期中）在正项数列中，记，若为非零常数列，则称存在等比型递推结构，数列为的结构常数数列. (1)试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由． (2)已知正项数列存在等比型递推结构，且． （i）求的通项公式； （ii）设，记的前项和为，证明：对任意恒成立. 【答案】(1)数列存在等比型递推结构，理由见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合等比型递推的定义，即可求解； （2）（i）设，，根据题意，求得，得到，结合累积法，即可求得数列的通项公式； （ii）由（i）得到，利用裂项法求和，求得转化为证明，设，利用导数求得在上递增，得到，得到在上恒成立，令，即可得证. 【详解】（1）解：由数列，设， 根据等比型递推的定义，可得数列存在等比型递推结构． （2）（i）因为数列存在等比型递推结构，可设， 设，则，所以为等比数列， 因为，则， 所以，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 所以当时，， 即，因为，所以， 又，依然成立， 所以， （ii）证明：由（i）得， 所以， 所以 则， 所以要证，只需证， 设函数，则， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 令，得， 即，所以， 即， 所以对任意恒成立． 变式3．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知函数，，设的零点为. (1)求的值； (2)证明：为单调数列，并求中的最小项； (3)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）当时，通过求导证明从而得到在上单调递增，再根据即可求出； （2）根据的零点为，将代入中，两式作差得到，令，通过求导证明在上单调递增，即可证明，即可证明为递增数列； （3）令，通过求导证明，进而得到，即，通过放缩得到时， ，即可证明. 【详解】（1）当时，的定义域为， 因，则此时在上单调递增， 又， 所以在内的唯一零点为，所以. （2）的零点为，得， 则， 两式相减，得， 所以， 令，由（1）分析可知在上单调递增，所以， 故为递增数列，且中的最小项为. （3）令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以， 因为的零点为，则， 移项得，则， 当时，有，则， 所以， 又，所以当时，， 当时，， 综上所述. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $