数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练 数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 奇偶数列问题 考点一 恒成立求参数问题 例1．（2026·云南玉溪·二模）已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积； (3)记，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3). 【分析】（1）两边同时除以即可证明数列是等差数列. （2）记梯形 的面积为 ，根据题意得 ，再根据错位相减法求和即可得面积 ; （3）结合题意代入原式可得，再根据恒成立问题转化为 ，最后根据数列的单调性求 的最小值即可得答案. 【详解】（1）因为，两边同时除以， 所以所以是首项为 ，公差为 1的等差数列. （2）过 向 轴作垂线，垂足分别为 ， 由（1）得 ，则 . 记梯形 的面积为 . 由题意得 所以 ① 又 ② ①②得 所以 . 所以由该折线与直线 所围成的区域的面积 . （3）已知 ，则 所以. 由 恒成立，即 恒成立， 即 恒成立，由 单调递增， 故当 时， ，故 ，即 ， 所以 的最大值为 . 例2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·月考）已知数列满足，． (1)求，，的值，并猜测的通项公式；（无需证明猜测） (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为．若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)，，， (2). (3) 【分析】（1）根据已知递推公式，代入，求出，，的值，然后根据等差数列的定义得出通项公式； （2）分奇偶讨论，并项求和；（3）先裂项求和求出，根据数列的单调性求出的最值，进而求出的最小值. 【详解】（1）已知，， ，，， ， 因为，，所以. 则 ，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . （2）， 为偶数时，， 为奇数时，， 所以. （3）， ， 随着的增大，减小，增大，所以， 若对任意，不等式恒成立， 所以，实数的最小值为. 例3．（25-26高二下·安徽·月考）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数．已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与的关系易得，需要检验首项是否符合； （2）利用错位相减法求和即得； （3）将代入并化简不等式，利用求解即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然也满足， 所以； （2）由（1）知， ①， ②， ①②得， ， 故． （3）把代入， 所以等价于，即， 对任意恒成立，所以， 设，显然递减， 当时，取最大值， 所以，的最小值． 变式1．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知数列满足，令且数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据退位作差即可求得的通项公式； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求得； （3）由（2）将不等式转化为对恒成立，令，判断的单调性，求出的最小值，得解. 【详解】（1）因为，① 所以，，② ①②得，整理得，， 又当时，， 所以. （2）由（1），，，， ， . （3）由（2），， 所以不等式，即对恒成立， 令，则，， 所以当时，，即， 当时，， 当时，，即， 所以， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为. 变式2．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②. 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 变式3．（25-26高二上·福建宁德·期末）已知数列满足，记. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)不等式对都成立，求实数的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用等差数列的定义得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. （3）分离参数，构造，探讨数列单调性求出最小值即可得解. 【详解】（1）由， 得，即， 又， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得，，且， 所以， 则①， ， ①-②得， 所以； （3）要证， 即 对任意正整数都成立， 令，则， 则， 因为单调递减， 当时，，所以， 当时，， 当时，单调递减，所以， 即所以实数的最小值为. 考点二 奇偶数列问题 例1．（2026·上海静安·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)数列的前项依次为 (2) 【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出和的通项，再按​的分段定义，依次代入到，区分奇偶项计算得到前项； （2）将​拆分为前项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是的前个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是的前个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到​． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． 例2．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 例3．（25-26高三上·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) ，或. (2) 【分析】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可. （2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 则，得. 又，则，得， 代入，得，因此. 设等比数列的首项为，公比为. 由，，所以， 两式相减得，联立得，解得或. 若，代入得， 因此. 若，则，因此. 综上，，或. （2）因为，所以. 由的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和： 奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列， 末项为，所以和为. 偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项， 所以和为. 因此，整理得. 变式1．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和的关系求出. 当时，利用求解出，当时，利用，计算得到，从而得到是首项为1，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式求出. （2）将分奇数项和偶数项分别求和，奇数项利用裂项求和法，偶数项利用等比数列求和公式，再将结果相加即可得解. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，因为，所以. 相减得，即. 所以. 因为是正项数列，所以， 所以， 故是首项为1，公差为1的等差数列， 所以. （2）因为，则， 即. 所以， ， 所以. 变式2．（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知等差数列前项和为．数列前项和为，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列的前项和为，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，求出，利用等差数列通项公式即可求得，利用求出； （2）令，利用错位相减法即可求解； （3）令，得，进而利用等差数列前项和公式求得，又计算，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 所以，解得， 所以， 所以， 由，当时，，解得， 当时，由有， 所以，即， 所以数列是以为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以； （2）令，设数列的前项和为， 所以①， ②， 由①②有：， 所以， 所以数列的前项和为； （3）令， 所以， 所以， 所以， 又， 因为， 所以的最小值为. 变式3．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， (1)求、； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； (3)令，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出数列的通项公式，即可得出数列的通项公式；设等差数列的公差为，根据题意可得出，结合题意可得出关于的方程，解出的值，即可得出数列的通项公式； （2）将新数列进行分组：与个分为组，假设前组共有项，求出的表达式，令，分析数列的单调性，结合以及可得出的最小值； （3）求出的表达式，计算得出，可得出，令，利用错位相减法可求得的表达式，即为所求. 【详解】（1）对任意的，，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设等差数列的公差为， 因为为与的等比中项，，由可得， 整理可得，解得或， 又因为等差数列递增，故， 所以. （2）将新数列进行分组：与个分为组， 则前组中包含中的前项，以及个， 假设一共有项，则 ， 令， 则，故单调递增， 当时，，当时，， 此时，即， 故使得的最小的值为. （3）由题意可得， 对任意的，， 所以， 令①， 则②， ①②：， 所以， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练 数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 奇偶数列问题 考点一 恒成立求参数问题 例1.(2026云南玉溪·二模)已知数列an}中，a,=2,a1=2an+21 P P P P X4 (1)证明：数列 12 是等差数列； (2)如图，在平面直角坐标系Oy中，若x,=，依次连接点P(x,,P,(x2,2…,P(x1,n+得到折线 n P…P+1,求由该折线与直线y=0,x=x,x=xn1所围成的区域的面积In; 2n-1 (3)记A,= (n+1)1-Tn） 若42久恒成立，求实数2的最大值 例2.(25-26高三上~内蒙古呼和浩特·月考)已知数列a,}满足a=1,a1=Va+2a,+1+1. (1)求a2,a,a4的值，并猜测{an}的通项公式；（无需证明猜测） (2)设b,=(-1)”·an,求数列{bn}的前n项和Tn; ③设c.=】,数列C的前项和为S.若对任意nN,不等式S.<入恒成立，求实数2的最小值。 aa 数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练 例3.(25-26高二下·安徽·月考)已知数列an}的前n项和为Sn,满足Sn=n2. (I)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=2”an,求数列{bn}的前项和，. (③)若对任意neN,不等式≤n+u恒成立，且1，“为常数，已知2=2，求从的最小值. 变式1.(25-26高二下·辽宁沈阳开学考试)己知数列an}满足a1+3a2+…+3"-an=(n-2·3”+1n∈N,令 bn=- 4n2 neN且数列{bn}的前项和为Sn, antl'an+2 (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{b}的前项和为Sn; (3)若对neN,不等式.2"<n ”,+1-S恒成立，求实数元的取值范围. （2n+1 数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练 变式2.(2026辽宁.一模)在数列an}中，记△an=a+1-an,若{△a}为等差数列，则称{an}为二阶等差数列 (1)若an=4n2-5n+3,判断{an}是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)己知二阶等差数列{an}满足4，=0，a2=1,a3=3. ①求数列{a}的通项公式； ②若不等式an<k·2-对n∈N恒成立，求实数k的取值范围. 变式3.(25-26高二上福建宁德-期末)已知数列{a,}满足a,=4,a.=2a-1+2“(n≥2，n∈N),记6，=g (1)证明：数列{bn}为等差数列： (2)求数列 b 的前项和Sn; a G)不等式1+去)儿1+去)（1+去)s22对vmeN都成立，求实数：的最小值 数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练 考点二 奇偶数列问题 例1.(2026上海静安·模拟预测)已知等差数列(an}的首项4=1，公差为2，等比数列{bn}的首项b=1,公比为 2,数列{cn}满足cn= an,当n为奇数时 b.,当n为偶数时 (n为正整数). (1)依次写出数列cn}的前6项： (2)设数列{cn}的前n项和为Sn,求S2n· 例2.(25-26高三下·湖南长沙月考)已知数列{am}的前n项和为S.,a1=1,S,=n2,数列bn}满足b=1,b1=2b,+1 (1)求数列{a},{b}的通项公式 an,n为奇数 (2)若数列{cn}满足cn= b,n为偶数’求数列c的前n项和. 数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练 例3.(25-26高三上辽宁沈阳·开学考试)数列{an}为等差数列，其前项和为S,{b}为等比数列，其前项和为 T,已知S;=15,a7=11,T2=6,T3=14 (I)求数列{a,}和bn}的通项公式； an,n为奇数 ②)若n∈N,>0,令C,=6,n为偶数，求数列c,的前2n项和R 变式1.(25-26高二上福建厦门期末)已知各项均为正数的数列{an}的前项和为Sn,且2S,=a+an· (I)求{an}的通项公式： (1n=2k-1,keN' (2)若bn={an4n+2 求数列bn}的前2n项和Tmn 3,n=2k,k∈N 5 数列：恒成立求参数问题、奇偶数列问题专项训练 变式2.(25-26高二上·江苏淮安期末)己知等差数列{an}前项和为Sn2a1+a2-a,S,=4a+3.数列{bn}前n项 和为T,Tn=2b,-2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)求数列 an b 的前项和； (3)若数列《-1)”a的前2n项和为D.,且Pn>2026,求的最小值. 变式3.(25-26高三上·重庆月考)已知数列{an}满足：对任意的n∈N,a+1=2an+1,a,=1,正项递增等差数列 {bn}中，b为b与b,的等比中项，b=1 (1)求a、bn; (2)若对数列{an}、{b,},在a与a1之间插入b个1k∈N),组成一个新数列cn},令{cn}的前项和为Sn,求使 得Sn≥535成立的的最小值； (3)令dn= -(a1+1)b,n为奇数 ,+1)b,n为偶数，求∑ 6