专题07 平面解析几何（7大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题07 平面解析几何 7大考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 考点05圆锥曲线定值定点问题 考点06圆锥曲线范围问题 考点07圆锥曲线综合问题 直线与圆 考点1 1．（2026·辽宁大连·二模）已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．与、的具体值有关 【答案】B 【详解】由题意，， 所以， 因为，， 所以. 故选:B. 2．（2026·吉林G35联合体·二模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 故选:B. 3．（2026·内蒙古包头·二模）直线与圆的交点为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，圆的半径为4， 所以圆心到直线的距离为， 由点线距离公式得，所以，解得． 故选:C. 4．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得圆心到直线的距离，且即可，计算得解. 【详解】如图，过圆心向直线作垂线，垂足为， 当时，则，又圆的半径，可得， 又直线过定点，且点在圆上， 若要使得，则圆心到直线的距离，且即可； 所以，且，解得且， 所以实数的取值范围为.    故选:D. 5．（2026·内蒙古包头·二模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据求出点的轨迹方程，再根据圆上总存在点满足该条件，得出两圆的位置关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】设点，已知，且， 所以， 化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点， 所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得， 解得. 故选:B. 6．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）圆与圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】由 ，所以圆心，半径； 由 ，所以圆心，半径. 所以，且，所以两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程为：， 即，就是. 故选：B 7．（2026·东北三省三校·二模）过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________. 【答案】 【详解】由已知可得圆心坐标，半径， 点到圆心的距离为， 则切线长. 8．（2026·哈尔滨三中·二模）已知圆经过点，且与直线相切于点，则圆的标准方程为______． 【答案】 【详解】设圆的标准方程为：， 由题意知：，解得：， 圆的标准方程为：. 椭圆及其性质 考点2 1．（2026·哈尔滨三中·二模）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意只需与同正且即可. 【详解】因为焦点在轴上的椭圆，所以有. 故选:B. 2．（2026·吉林长春六中·二模）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 3．（2026·东北三省三校·二模）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用已知条件求出，再联立椭圆方程结合即可求出. 【详解】，故点位于线段的中点，设，则， ，又，，化简得， 又M为椭圆上一点，，联立得，即， 此方程有解，则，化简得，即恒成立， 方程的两个根为和， 又，，，解得. 则C的离心率的取值范围是. 故选:C. 4．（2026·辽宁辽阳·二模）（多选）已知直线与椭圆交于、两点，轴，垂足为，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（    ） A．直线的斜率等于直线的斜率的倍 B．可能是直角 C．一定是直角 D．四边形的面积最大值是 【答案】ACD 【分析】对A：设，则，，，则可表示出与，即可得解；对B：由题意可得，联立曲线方程，可表示出点坐标，从而可得，计算可得，即可得解；对C：由题意可得，联立曲线方程，可表示出点坐标，从而可得，计算可得，即可得解；对D：借助割补法可得，从而可得，即可得，借助二次函数性质计算即可得解. 【详解】设，则，且，即，， 则，，， 对A：，， 故有，故直线的斜率等于直线的斜率的倍，故A正确； 对B：，联立， 可得，恒成立， 则，故， 则， 故， 又， 则 故不可能是直角，故B错误； 对C：，联立， 可得，恒成立， 则，故， 则， 则， 又， 则 ， 故，即一定是直角，故C正确； 对D：， 则， 故，当且仅当时，等号成立， 故四边形的面积最大值是，故D正确. 故选:ACD. 5．（2026·内蒙古兴安盟·二模）（多选）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为 C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程,求出离心率即可得选项A正误;根据蒙日圆的定义可判断,该圆过点,根据圆心坐标,即可求得半径的值,进而求得圆的方程;设出长方形的长和宽,根据长方形是蒙日圆的内接四边形,可得对角线为直径,求得长和宽的等量关系,再利用基本不等式即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知椭圆方程为:, 所以, 故选项A正确; 因为长方形R的四边均与椭圆相切, 所以点,即在蒙日圆上, 故半径为, 可得椭圆C的蒙日圆方程为; 故选项B错误,选项C正确; 设长方形R的边长为m,n, 则有, 所以长方形R的面积等于, 当且仅当时取等, 故选项D正确. 故选:ACD. 6．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 而，当且仅当点在直线上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值. 7．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，由得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，点的横坐标满足，得到不等式即可求得结果. 【详解】已知椭圆方程为，离心率，则， 如图所示，设左右焦点分别为，，椭圆上的点，， 由题意得，即， 由于都在椭圆上，则有，， 代入，得，由可得： ，整理得， 再代入得 ， 整理得， 当时，得，显然不符合条件； 当时，得，符合条件； 当且时，解得，代入，则，化简得，为了使点在椭圆范围内，则点的横坐标需要满足，即，解得. 而当或时，与平行，即点，重合，不符合条件. 综上所述，的取值范围为. 8．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及所给条件，可表示出和的长度，又因为，所以可将用和表示，进而得到离心率与的函数关系，最后结合的取值范围，根据函数的单调性可求出离心率的取值范围. 【详解】 解法一：设，因为，所以， 由圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，所以，， 因为，且，所以， 又因为， 所以，即，所以椭圆的离心率 因为函数在上，所以 即椭圆离心率的取值范围是. 解法二：切线长定理、向量条件 由椭圆定义求焦半径 根据椭圆定义，结合，解得， 应用切线长定理设圆与延长线切于，与延长线切于，与切于. 根据切线长定理：，， 设，. 从点出发的切线长 从点出发的切线长 由，得： 又在线段上，故. 联立方程，解得 由，可知. 代入和得 整理得. 因此，离心率为 已知，则.代入，得 双曲线及其性质 考点3 1．（2026·吉林长春六中·二模）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求解不等式即可. 【详解】因为表示双曲线，所以，解得或， 故选：C 2．（2026·吉林长春·质量监测(二)）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 故选:D. 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】写出直线 方程，求出点与中点的坐标，再将点坐标代入双曲线方程，利用并令求解出，进而得到离心率. 【详解】记，则：，整理得， 则，因为为的中点，所以， 因为点B在双曲线E上，则，令，得， 化简得，又，则，故离心率. 故选:C. 4．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线设双曲线方程为，再根据点即可求解. 【详解】由题意得：设以直线为渐近线的双曲线的方程为， 又双曲线过点，所以， 所以双曲线为. 故选:B. 5．（2026·内蒙古包头·二模）已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由题意可知，得， 因双曲线的渐近线方程为， 即 ​，代入得， 所以（为半焦距），即， 故焦距为. 故选:D. 6．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到焦点和渐近线方程，再由点到直线距离公式结合求出a，且由面积求出b即可计算离心率. 【详解】由题，双曲线（，）的一条渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 所以，且即， 所以双曲线的离心率为. 7．（2026·黑龙江大庆·二检）已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，再由双曲线的性质，得到，得出，结合离心率的定义，得出关于离心率的不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，可得，， 两式相加得， 因为，所以， 又因为，所以， 当轴时，此时最小，此时，所以， 因为，可得，整理得， 两边除以，可得，又因为，解得， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D    8．（2026·吉林白山·二模）已知双曲线，过左焦点F作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，以及与渐近线方程联立，进而通过，转化求解双曲线的渐近线方程. 【详解】解法一  由题意可得直线的方程为，双曲线C过第一、三象限的渐近线的方程为．由得，所以．因为，所以，整理可得，即，所以双曲线C的渐近线方程为， 解法二  设双曲线C的右焦点为，连接，因为，所以，所以为直角三角形，，因为直线的斜率为，所以，又，所以，令，则，由勾股定理得，所以，即，所以，所以，，则双曲线C的渐近线方程为. 解法三  设双曲线的右焦点为，连接，因为，所以，所以为直角三角形，，即点A在以为直径的圆上，所以．因为直线的斜率为，所以，所以，则双曲线C的渐近线方程为， 故选：B． 9．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）（多选）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 【答案】ABC 【分析】A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断. 【详解】由题意得，则，A正确． 由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确． 由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确． 假设存在实数，使得点在C上，则，． 当时，，则， 所以在上无实数解，D错误． 故选:ABC. 10．（2026·吉林G35联合体·二模）（多选）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（   ） A． B．的离心率为 C．直线的斜率为 D．的渐近线方程为 【答案】ABC 【详解】设的右焦点为，连接，由与轴垂直及对称性，得与轴垂直， 又，则，令，由，得， 对于A，，A正确； 对于B，由，得， 即，解得或（舍去）， 因此的离心率，B正确； 对于 C，由，，得直线的斜率，C正确； 对于D，，得的渐近线方程为，D错误. 抛物线及其性质 考点4 1．(2026·辽宁朝阳·二模)若抛物线的准线过点，则（    ） A．1013 B． C． D．2026 【答案】D 【详解】由题意易得，解得. 故选:D. 2．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用抛物线的定义求证，再在直角梯形中计算即可. 【详解】连接，因为，所以， 由抛物线的定义可知，，所以，则， 同理可得，，故， 由，可得，， 故在直角梯形中，， 因为为线段的中点，所以. 故选:A. 3．（2026·吉林白山·二模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性可得，即点为的准线与轴的交点，作垂直于的准线于点，结合抛物线的定义可知 ()，结合图象可得当直线与相切时，最小，求出切线的斜率即可得答案. 【详解】依题意，，，设，则，解得， 即，点为的准线与轴的交点， 由抛物线的对称性，不妨设点M位于第一象限，作垂直于的准线于点， 设 ，由抛物线的定义得，于是 ， 当直线与相切时，最大，最小，取得最小值，此时直线的斜率为正， 设切线的方程为，由消去x得 ， 则，得，直线的斜率为，倾斜角为， 于是，，所以的最小值为. 故选：A 4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义有， 又，得，设准线与轴的交点为，则有， 所以，又，故. 故选:B. 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）抛物线：的焦点为F，以为圆心，为半径得到圆D，圆D上有一点.过点F的直线与E交于P，Q两点，与圆D另交于点M，则（   ） A． B．当时，P的横坐标为3 C．当时， D． 【答案】AC 【分析】结合抛物线与圆的方程，通过向量关系、韦达定理、点到直线距离和弦长公式，逐项验证选项的正确性. 【详解】对于A，圆：，代入得，，故A正确； 对于B，记，，，显然，而，， 可得，，则，而，所以， 解得，，故B错误； 对于C，由B得，此时直线的斜率， 所以：，即， 点到的距离，故，故C正确； 对于D，设直线方程为，由，得，， ， ， 圆的弦，因此不一定小于0，D错误. 故选:AC. 6．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知抛物线： 的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______. 【答案】/2.5 【分析】先求出抛物线方程及焦点坐标，得到直线方程，联立求出点坐标，即可求出面积. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，所以，则. 所以直线的方程为，即. 与抛物线方程联立，整理得，即. 解得或. 所以. 故的面积为. 7．（2026·黑龙江大庆·二检）若抛物线的准线方程为，则___________. 【答案】4 【分析】根据准线方程，求出值，即可得答案. 【详解】因为准线方程为，故，所以. 故答案为：4. 8．（2026·吉林G35联合体·二模）抛物线的焦点到准线的距离为______. 【答案】/ 【分析】结合焦点到准线的距离与的关系求结论. 【详解】由，得，解得， 即抛物线的焦点到准线的距离为. 圆锥曲线定值定点问题 考点5 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）设O为坐标原点，A，B分别是直线和上的动点，且，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)，过曲线E的中心O作一条直线交曲线E于P，Q两点，求周长的最小值、面积的最大值； (3)若点C是曲线E上异于顶点的任意一点，若，，直线，分别交直线于点N，M.以为直径的圆是否恒经过x轴上的某两个定点?若经过，求出这两个定点的坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】(1) (2)周长最小值为，面积最大值为 (3)经过，这两个定点的坐标为， 【分析】（1）设，，，借助可得、与、的关系，再利用可得、间关系，从而可得、间关系，即可得动点P的轨迹方程； （2）借助椭圆定义及椭圆对称性可得的周长等于，则最小时，周长最小；，则最大时，面积最大； （3）设，再表示出直线、的方程后可表示、坐标，即可得为直径的圆的方程，令该圆方程中，可解出该圆与x轴交点横坐标，即可得解. 【详解】（1）设，，， ∵，∴， ∵，∴，， 则有，整理得， 故曲线E的方程为； （2）为曲线E的右焦点，则其左焦点，根据椭圆的对称性， 的周长为， 故当最小时，周长最小，因此当轴时周长最小， 此时，故的周长最小值为； 而， 故当最大时，面积最大，因此当轴时面积最大， 此时，故面积的最大值为. （3）设，∴，∴， 直线、的方程分别为，， 故，， 以为直径的圆的方程为， 令，得，即， 解得或， 故以为直径的圆恒经过x轴上的两个定点，. 2．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 【答案】(1) (2)见解析. 【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程. （2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证. 【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得， 所以抛物线的方程为. （2）设， 联立， 由韦达定理得， 所以 所以， 所以以为直径的圆经过原点O.得证 3．（2026·辽宁大连·二模）椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.    (1)若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程； (2)若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点差法计算. 设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，， 该弦中点为，将坐标代入椭圆方程，作差，然后化简得，即直径的共轭直径所在的直线方程为； （2）四边形显然为平行四边形，联立直线的方程和椭圆的方程，分别求得四点的坐标分别为，，，，然后利用两点间距离公式和点到直线距离公式，求得面积为. 【详解】（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，， 弦中点为，则，， 相减得：， 由于，，且，所以得：， 故该直径的共轭直径所在的直线方程为. （2）椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为， 四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，， 则，，而，， ，故， 由得的坐标分别为， 故，同理的坐标分别为， 设点到直线的距离为，四边形的面积为, 所以，， 则，为定值.    4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴.过点作椭圆的切线，交轴于点，过点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆的中心，求面积的最大值； (3)过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，结合半焦距求出即可得椭圆方程； （2）求出切线方程，然后可得点坐标，联立直线和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离表示出的面积，然后可得最大值； （3）通过直线方程求交点坐标，结合中点坐标公式和韦达定理化简可证. 【详解】（1）由题意可知，解得，所以椭圆的方程为. （2）易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线方程为.    联立直线与椭圆， 整理得， 令，整理得，解得. 所以过点的切线方程为：， 再令，得.所以点的坐标为. 由题知，经过点的直线的斜率不为0，设直线方程为 联立直线与椭圆，整理得 令解得 因为 点到直线的距离， 所以 令，则， 当且仅当时取到最大值为； （3）设线段的中点为， 由（2）可知所以， 直线的方程为，则. 于是， . 所以 因为，所以，即 因此点在直线上，即线段中点在定直线上. 圆锥曲线范围问题 考点6 1．（2026·东北三省三校·二模）已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和渐近线方程求出，值，即可求出标准方程. （2）①设点，，结合的外接圆过点设出外接圆方程，再结合点在双曲线上可得；设出直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，进而得到；利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离与圆的半径比较即可. ②分别求出和，结合得到，根据直线与双曲线相交求出的范围，即可求出的范围. 【详解】（1）已知双曲线实轴长为，则，所以. 因为双曲线的一条渐近线为，即，所以，即. 所以双曲线的标准方程为. （2）①设，，则，均满足. 因为的外接圆经过点，所以可设的外接圆方程为. 所以，， 两式相减得，，故外接圆方程为. 则，，所以. 又，，代入中整理得，， 因为，所以，所以直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，联立双曲线方程整理得， 当时，，，， 则，所以，即. 原点到直线的距离为，等于圆的半径， 故直线与圆相切. ②直线与渐近线交于，与渐近线交于. 则. 直线与双曲线相交的弦长. 故. 由直线与双曲线相交可得，即且， 又点、、是双曲线上不同的三点，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 综上，的取值范围为. 2．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线E相交于A，B两点，与抛物线E的准线相交于点Q．若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：； (3)若点C，D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线上，点．求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得：焦点，准线为，. 设，代入抛物线方程可得，即. 设，则. 由题意可得，解得. 所求抛物线方程为. （2）由题意可知，过焦点的直线斜率必定存在. 设过焦点的直线方程为，，. 令，可得. 将直线方程代入抛物线消可得. 由韦达定理可得，. 由抛物线定义可知. 由相似三角形可知： . 所以. （3） 设的中点为，，. 则，. 由，可得，则. 所以弦长. 由题意可知直线的斜率存在且. 所以直线的直线方程为，即. 则点到直线的距离. 所以所求面积. 令，则. 所以，令，可得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，. 所以面积的最大值为. 3．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，直接写出椭圆及直线方程. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用斜率坐标公式计算得证；（ii）由（i）求出点坐标，进而求出三角形面积关系，利用换元法，结合导数求出最大值. 【详解】（1）由椭圆的左顶点，上顶点，得， 所以椭圆的方程为，直线的方程为. （2）（i）直线斜率存在，设其方程为，点 由，得，则， 解得，即点， 直线交直线于点， 由点是线段的中点，得点， 因此直线的斜率，即， 所以直线的斜率之和为定值. （ii）由（i）同理得，， 点到直线的距离， 则的面积， 显然，，令， ，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 当时，，所以面积的最大值为. 4．（2026·哈尔滨三中·二模）已知双曲线的离心率为2，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线右支上位于轴上方的一点，直线交轴于点． （ⅰ）设双曲线的左、右顶点分别为，直线与直线分别交直线于两点，若，求点坐标； （ⅱ）设双曲线的右焦点为，点关于轴的对称点为点，直线和双曲线的右支交于点，当直线的倾斜角时，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用双曲线的离心率和焦距的定义，结合的关系，可得，从而得到标准方程； （2）（i）先设出点的坐标，写出直线的方程，求出它们与直线的交点，再利用的条件，结合双曲线方程联立求解即可； （ii）借助向量的坐标运算判断出三点共线，然后根据直线的倾斜角的范围确定斜率的范围，最后结合面积公式化简，通过换元法即得面积取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为4，即，所以， 由，得， 又因为， 因此双曲线的标准方程为. （2）（i）由题意知：双曲线的左、右顶点分别为， 设点，有， 则直线，当时，有， 直线，当时，有， 所以，即， 又，即，代入上式化简得：， 两边平方化简得，故，代入双曲线得，因此. （ii）因为右焦点，， 设直线，联立方程组，化简得：，由韦达定理得：，， 又因为，， 且 ， 所以，点三点共线， 设直线，，， 联立方程组，整理得， 所以，， 又 令， 则． 圆锥曲线综合问题 考点7 1．（2026·东北三省三校·二模）（多选）曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（   ） A． B． C．当时,的最大值是 D．当时, 【答案】ACD 【详解】当时，曲线C：，即， 当时，，即， 当时，曲线C：， 当时，，即，这是一个顶点为和的直线段， 在区间内，由于，， 故时的图象比时更靠近坐标轴，，故A正确， 当时，曲线C：，即，其面积为， 当时，曲线C：， 当时，，即， 在区间内，由于，，进而有， 故时其图像在单位圆的外部， 故，故B错误， 当时，曲线C：，易知， 由对称性可设，，则，， 当时，，即，代入上式得 ，对称轴为， 故的最大值为，故C正确， 当时，当时，曲线C：，即， 当时，，即， 令，则， ， 设，则， 易知，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，，所以D正确. 2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线． (1)求点P的轨迹方程； (2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）点到点的距离与到的距离相等，根据抛物线定义得到方程； （2）先设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，并求出，表达出的方程，得到过定点，表达出计算求解直线； 【详解】（1）由动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，可知点到点的距离与到的距离相等， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故轨迹方程为. （2）设， 由题可知斜率不为0，设， 联立曲线方程并消去可得， 显然， 因为， 所以， 所以或，当时，过定点， 所以， ，所以， 所以； 当时，过定点， 所以， ，所以， 所以； 综上，直线的方程为或. 3．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． (1)求的方程； (2)求的外接圆的标准方程； (3)若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）分析可知不与轴平行，设直线的方程为，根据直线与抛物线相切以及点在直线上，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可求出点、，由此可求出的外接圆圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的方程； （3）解法一：设，，可得出，，结合已知条件得出，设，则，，设点，利用平面向量的坐标运算可化简得出点的轨迹方程； 解法二：记，，，可得出，根据三角形的面积关系得出，可得出的值，进而得出点为的重心，再结合平面向量的坐标运算化简可得出点的轨迹方程； 【详解】（1）因为在上，所以，所以的方程为. （2）若与轴平行，则直线与轴无交点，不合题意； 若不与轴平行，则与相切于， 设直线的方程为，由，得， 所以，解得， 所以直线的方程为， 因为、、，，故为中点， 所以，线段中垂线的方程为，线段中垂线的方程为， 联立，解得，因此的外接圆圆心坐标为， 的外接圆半径等于， 所以，外接圆方程为. （3）解法一：设，， ，故， 所以，同理， 因为，所以，所以， 设，因为， 所以， 因为、、三点共线，所以，所以，则， 设，则，，设点， 因为，， 所以，所以， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为； 解法二：因为为中点，记，，， 则， 因为为中线，则且，故，所以，所以是的重心， 设，则，，设点， 所以，解得， 因为、不重合，所以，， 综上，点的轨迹方程为； 4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题意，结合即可求出； （2）分情况讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，联立得到，再求得，代入化简即可. 【详解】（1）由题意得， 又以短轴为直径的圆与直线相切， 原点到直线的距离为， 又，， 故椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不合题意，舍去； 当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为， 设，联立， 消去整理得， ，解得， 且， 而直线的斜率为，直线的斜率为， ， 又， ， . 5．（2026·吉林G35联合体·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． (1)求椭圆E的方程． (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆上一点处的切线方程为． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据题意解出即可求解； （2）①设点，利用椭圆上一点的切线方程得到点的坐标，结合二倍角的正切公式分别计算和，通过证明两者相等，结合角的范围得出角相等的结论; ②根据等腰三角形、勾股定理求得. 【详解】（1）由题意得：，解得，所以， 所以，所以椭圆E的方程为； （2）①不妨令点在第一象限，设， 所以切线的方程为：，又， 令，解得，所以， 又因为， ， 所以，所以， 又， 所以； ②因为，所以， 因为，所以，所以， 在中，. 6．（2026·内蒙古包头·二模）已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为，圆M的标准方程为； (2) 【分析】（1）根据给定的离心率及点的坐标求出即可得椭圆C标准方程，再写出圆M的标准方程. （2）利用点差法及向量垂直的坐标表示求出. 【详解】（1）由椭圆的离心率，得，则， 由点在椭圆C上，得，联立解得，， 所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为. （2）设，中点， 由在椭圆上，得， 则， 又，于是， 而，由，得， 由在圆M上，得，联立解得，， 由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N， 当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意， 所以. 7．（2026·吉林长春六中·二模）已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. (1)求该动圆圆心的轨迹方程； (2)设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意，，进而根据椭圆的定义可得； （2）由题意设直线的方程为，则，联立椭圆方程可得，进而可得，，由，进而可得. 【详解】（1）设动圆的半径为. 由题意，圆与圆的标准方程分别为和， 故，半径，，半径， 由题意得，， 故， 由椭圆的定义，得圆心的轨迹是焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆. ，，故， 故圆心的轨迹方程为. （2）    由（1）知，曲线即椭圆. 由题意，点，是椭圆的左、右顶点. 由题意知，直线的斜率一定存在，设为，则，且， 直线的方程为，则 设， 由消去，整理得. 由题意得，故， 故， 又点到直线的距离， 故 又， 由题意，化简得， 解得或 当时，，则； 当时，，则. 综上，的值为或. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面解析几何 7大考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 考点05圆锥曲线定值定点问题 考点06圆锥曲线范围问题 考点07圆锥曲线综合问题 直线与圆 考点1 1．（2026·辽宁大连·二模）已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．与、的具体值有关 2．（2026·吉林G35联合体·二模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·内蒙古包头·二模）直线与圆的交点为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古包头·二模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）圆与圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·东北三省三校·二模）过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________. 8．（2026·哈尔滨三中·二模）已知圆经过点，且与直线相切于点，则圆的标准方程为______． 椭圆及其性质 考点2 1．（2026·哈尔滨三中·二模）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春六中·二模）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·东北三省三校·二模）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁辽阳·二模）（多选）已知直线与椭圆交于、两点，轴，垂足为，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（    ） A．直线的斜率等于直线的斜率的倍 B．可能是直角 C．一定是直角 D．四边形的面积最大值是 5．（2026·内蒙古兴安盟·二模）（多选）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为 C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18 6．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 7．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 8．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________. 双曲线及其性质 考点3 1．（2026·吉林长春六中·二模）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春·质量监测(二)）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 4．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古包头·二模）已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 6．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江大庆·二检）已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·吉林白山·二模）已知双曲线，过左焦点F作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）（多选）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 10．（2026·吉林G35联合体·二模）（多选）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（   ） A． B．的离心率为 C．直线的斜率为 D．的渐近线方程为 抛物线及其性质 考点4 1．(2026·辽宁朝阳·二模)若抛物线的准线过点，则（    ） A．1013 B． C． D．2026 2．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林白山·二模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）抛物线：的焦点为F，以为圆心，为半径得到圆D，圆D上有一点.过点F的直线与E交于P，Q两点，与圆D另交于点M，则（   ） A． B．当时，P的横坐标为3 C．当时， D． 6．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知抛物线： 的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______. 7．（2026·黑龙江大庆·二检）若抛物线的准线方程为，则___________. 8．（2026·吉林G35联合体·二模）抛物线的焦点到准线的距离为______. 圆锥曲线定值定点问题 考点5 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）设O为坐标原点，A，B分别是直线和上的动点，且，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)，过曲线E的中心O作一条直线交曲线E于P，Q两点，求周长的最小值、面积的最大值； (3)若点C是曲线E上异于顶点的任意一点，若，，直线，分别交直线于点N，M.以为直径的圆是否恒经过x轴上的某两个定点?若经过，求出这两个定点的坐标；若不经过，请说明理由. 2．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 3．（2026·辽宁大连·二模）椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.    (1)若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程； (2)若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值. 4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴.过点作椭圆的切线，交轴于点，过点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆的中心，求面积的最大值； (3)过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上. 圆锥曲线范围问题 考点6 1．（2026·东北三省三校·二模）已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 2．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线E相交于A，B两点，与抛物线E的准线相交于点Q．若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：； (3)若点C，D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线上，点．求面积的最大值． 3．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 4．（2026·哈尔滨三中·二模）已知双曲线的离心率为2，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线右支上位于轴上方的一点，直线交轴于点． （ⅰ）设双曲线的左、右顶点分别为，直线与直线分别交直线于两点，若，求点坐标； （ⅱ）设双曲线的右焦点为，点关于轴的对称点为点，直线和双曲线的右支交于点，当直线的倾斜角时，求面积的取值范围． 圆锥曲线综合问题 考点7 1．（2026·东北三省三校·二模）（多选）曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（   ） A． B． C．当时,的最大值是 D．当时, 2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线． (1)求点P的轨迹方程； (2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程． 3．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． (1)求的方程； (2)求的外接圆的标准方程； (3)若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 5．（2026·吉林G35联合体·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． (1)求椭圆E的方程． (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆上一点处的切线方程为． 6．（2026·内蒙古包头·二模）已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 7．（2026·吉林长春六中·二模）已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. (1)求该动圆圆心的轨迹方程； (2)设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 专题07平面解析几何 考点1 直线与圆 2 3 4 5 6 B B C D B B 7.2 8.(x+1)2+(y-9)2=25 考点2 椭圆及其性质 3 4 5 A ACD ACD 6.7+V17/W17+7 7.(33)U{-1} 8.[导] 考点3 双曲线及其性质 2 3 4 5 6 D C B D D 考点4 抛物线及其性质 2 3 4 5 D A A B AC 6.号/2.5 7.4 8.言/0.125 考点5 圆锥曲线定值定点问题 1.【详解】(1)设P(xy),A(x,号x),8(X,-号x, 1/17 让教与学更高效 8 9 10 B ABC ABC 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :|AB1=25,(x2-x1)2+(x2+x1)2=12, :0=0A+可i,x=x+x2y=5(x1-2), 则有(-著)+x=12,整理得荒+兮=1 故曲线E的方程为器+号=1： (2)T(V万，0)为曲线E的右焦点，则其左焦点T'(-V万，0)，根据椭圆的对称性， △PTQ的周长为PT|+|PQ|+|TQ|=|T'Ql+|PQ|+|TQ|=2a+|PQ=8+2Pol, 故当OP最小时，周长最小，因此当OP上x轴时周长最小， 此时10P|=b=3,故△PTQ的周长最小值为8+2×3=14： 而S△PrQ=S△Por+S△Qor=|0T川2y=V7|yl, 故当yp最大时，面积最大，因此当OP⊥x轴时面积最大， 此时y=b=3,故△PTQ面积的最大值为3V7. T (3)设C(m,n),+号=1，“16m=6, n2 直线CG、CH的方程分别为y=品(x-4),y=(x+4), 故N(x0品(x-4)),M(xo品(x+4)), 以NM为直径的圆的方程为(x-xo)2+(y-yM)(y-yN)=0, y=0,待(x-o)2+ywyw=0,即(x+5)=品（好-16）=头， 解得x=-万或x=-2乎， 故以NM为直径的圆恒经过x轴上的两个定点(-V万，0)，（-2,0)， 2/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.【详解】(1)由双曲线方程器-器=1(1<m<5)知其焦点在x轴上且焦点坐标为 F(-2,0),F2,0),所以F2,0)为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，得号=2→p=4, 所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)设AyJ8xy (x=ty+8 联立y228xy2-8y-64=0,△=642+4×64>0 由韦达定理得y1+y2=8t,yy2=-64 所以OA.Oi=xx2+yy2=(y+8y2+8+yY2 =(2+1yy2+8y:+y+64 =(t2+1)(-64)+8t(8t)+64=0所以0A10B, 所以以AB为直径的圆经过原点O.得证 3.【详解】(1)设斜率为号的与直径平行的弦的端点坐标分别为xy,(x2y, 弦中点为x小，则爵+y?=1,翠+y?=1, 相减得： 园+y-y+y=0. 由于x=,y=垫，且=青，所以得：3x+4y=0, 故该直径的共轭直径所在的直线方程为3x+4y=0, (2)椭圆的两条共轭直径为AB和CD,它们的斜率分别为k1k2, 四边形ACBD显然为平行四边形，设与AB平行的弦的端点坐标分别为y),(2yJ, 测k=,k=,m浮+y好=1，等+yg=1, +,-yy+y)=0,放kk==-, 【y=k1x 3/17 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A=+好.月理CD的坐际分别为·（一 2k2 2k2 设点C到直线AB的距离为d,四边形ACBD的面积为S, 2k1 z 所以，d= 1-k好k kk V1+k图 V1+k好V1+4k图 kh度× 2k-kd 则S=dAB|= ×+好 张-k k+k经-2kk2 V1+4kV1+4k号 1+40+k+16k=4,为定 =8 值. c=1 4.【详解】(1)由题意可知 +京=1 a2=b2+c2 ，解得a=V2,b=1,所以椭圆C的方程为号+y2=1. (2)易知过点P且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线方程为y=k(x一-1)+号 0 y=k(x-1)+号 联立直线与椭圆 (x2+2y2-2=0 整理得(1+2k2)x2+(22k-4k2)x+（2k2-2W2k-1)=0, 令A=0,整理得2k2+2N5k+1=0,解得k=- 所以过点P的切线方程为：y=-号x+反， 再令y=0,得x=2所以点Q的坐标为(2,0) 由题知，经过点Q的直线AB的斜率不为0，设直线方程为x=ty+2,A(xy1),B(x2y2) 4/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=ty+2 联立直线与椭圆x2+2y2-2=0,整理得(t2+2)y2+4y+2=0 令△=16t2-8(t2+2)>0解得t2>2 y+2=蒂yy2= 因为A1=+y-y=y+y+y2)2-4y巧，-+ t2+2 点0到宜线AB的距离d=存， 所以a08=六+下腰=25隔 令u=e-2(u>0),则9a0s=25*-鸽≤9. 当且仅当t=±V6时SA0AB取到最大值为号： (3)设线段AD的中点为M(Xoyg), 由(2)可知y1+y2=yy2=所y+y2+2yY2=0, 直线8P胸方程y=等(x-)+号烟D(x,（x-1)+)》 2-5 于是X0=X1, ,0s+,+9)-a加*8g型 4y+ Y25y+5:=-5g+5 4y+) 4y+) =4(ty y) -5g-y识=2 y1 -2-y2y1=0=2-y,-y,+2y) 所以y=-V5y。 因为x1=y+2,所以x=-V2y。+2,即x+V2y。-2=0 因此点M(xoyg)在直线x+V2y-2=0上，即线段AD中点在定直线x+V2y-2=0上. 考点6 圆锥曲线范围问题 1.【详解】(1)已知双曲线实轴长为2W2,则2a=22,所以a=V2 因为双曲线C的一条渐近线为x-y=0,即y=x,所以唱=1，即b=a=V2 所以双曲线C的标准方程为号-号=1. 5/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①设B(xy),A(x3y2),则D(-xy),均满足号-号=1 因为△ABD的外接圆经过点0，所以可设△ABD的外接圆方程为x2+y2+px十qy=0. 所以x+y+px1十9y1=0,(-1)2+y+p(-x1)+9y1=0, 两式相减得，p=0,故外接圆方程为x2+y2+9y=0. 则好+y+9,=0,号+y+q2=0,所以- 又x好=y+2,好=y+2,代入-申整里得，(y1)(:-y2)=0, 因为y1≠y2,所以yY2=1,所以直线AB的斜率一定存在， 设直线AB的方程为y=kx+m,联立双曲线方程整理得(1-k2)x2-2kmx-(m2+2)=0, 当1-k2≠0时，△=(-2km)2+4(1-k2)(m2+2)=4m2-8k2+8,+x2=器， x2=-, 则 yy,=(k+m)(kx+m)=k3x2+km(x+x,)+m2=k2(-学)+km架+m2=器， 所以器=1，即m2=k2+1, 尿点0到直线A3的距离为d-得-品=1，等于心+y2=1的半色， Vk- 故直线AB与圆x2+y2=1相切， ②直线AB与渐近线y=x交于M(兴，景)，与渐近线y=-x交于N(-,). 则MN=V(景+#)+（吕-#） =+的 1-k9 直线AB与双曲线相交的弦长1AB=+V(架)-4×(-器) =21+k2V3k 1-k 1+2B-k AB h-k2 3k2 故MN= 1+k h-k3 由直线AB与双曲线相交可得△=4m2-8k2+8=4（k2+1)-8k2+8=12-4k2>0,即 6/17 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k2<3且k2≠1， 又点A、B、D是双曲线C上不同的三点，所以k≠0，故kE(0,1)U(1,3) 当ke(0,1)时，V-1e(1,5),即盟e(1,5): 当k2e(1,3)时，-1e(0,1),即盟e(0,1), 综上， 品的取值范围为(0,1)U(1,5). 2.【详解】(1)由题意可得：焦点F0,),准线为y=-号，|AF=y,+号= 设Ax方-号)，代入抛物线方程可得x好=p1-P),即X4=P(1-p) 设M(,0,则M萨=(-，)MA=(W1-p)-,支-号) 由题意可得M京.MA=(-1-p)-)+危-)=0，解得p= :所求抛物线方程为x2=y. (2)由题意可知，过焦点℉0，)的直线斜率必定存在. 设过焦点F0,)的直线方程为y=kx+京，Axy,Bx2y, 令y=-寺，可得Q(-录，-)k≠0)： 将直线方程y=kx+幸代入抛物线E消y可得x2-kx-=O. 由韦达定理可得x1+x2=k,X1X2=-. F4=+片= 由抛物线定义可知园=开=x· 由相似三角形可知： 周=-=密制-料 2x+这K+斗 满-周 所以QA·FB|=|QB·FA. (3》 7/17 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x/0 设CD的中点为(t,Cxy,D(x4y 则x3+x4=2t,y3十y4=2t y3=xy4=x细得x+x好=2t,则xx4=x3十x2-(+】=2t2-t 所以弦长cD=x3-x2+(y-y4)2=2y1-tN1+4(t∈0， 由题意可知直线CD的斜率存在且kcD=受=学袋=x3十x4=2t 所以直线CD的直线方程为y-t=2t(x-t),即2tx-y-2t2+t=0. 则P6,A直装cD的更d-- 所以所求面积s=V1-2t2-2t+t∈[0,0 令u=V1-可∈[0，引，则s=-23+u 所以5=-62+1，令5=0，可得u=誓 所以5=-23+6号)上单时搅指、（传，刮上单调诺支 当u=时，Sm= 6 所以△PCD面积的最大值为5。 3.【详解】(1)由椭圆E:等+爷=1的左顶点A(-2,0),上顶点80,1)，得a=2,b=1, 所以椭圆E的方程为妥+y2=1,直线AB的方程为y=x+1. (2)()直线AC斜率存在，设其方程为y=k(x+2),点Cxoy。 y=k(x+2) 由x2+4y2=4,得(4k2+1)x2+16kx+16k2-4=0,则-2xc= 4k2+11 解得xc=器y。=x+2)=普，即点d器益) 8/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直线CM:x= 器交直线y=x+1于点M器品)】 2-8 由点M是线段CN的中点， 得点N器端)， 因此直线AD的斜幸太二 器+2 =1-k,即k十k=1, 所以直线AC,AD的斜率之和为定值. 4W1+k (i)由(i)同理得D -器++ 4k2+1, k22+2 点D到直线AC:kx-y十2k=0的距离d= k214k21 4k-k k2+1 (4+1k+1’ 8k-k] 8(k+k)4kk 81-4kk 则△ACD的面积S d (4k2+14k2+1）(4kk)+4k+k)2-2k+1(4kk)2-8kk+5, 显然k+k,4kk=4k1-k)=-(2k-1)2+1<1,令V1-4kk=t>0, 9是，成特有=器。 8t 当0<t<停时，S>0:当t>V情时，s<0,函数S=票在0，胃上递塔，在得，+∞ 上递减， 当=.S---, 所以△ACD面积的最大值为o回 4.【详解】(1)因为双曲线的焦距为4，即2c=4,所以c=2, 由e=益=2，得a=1, 又因为b2=c2-a2=22-12=3, 因此双曲线的标准方程为x2-号=1。 (2)(i)由题意知：双曲线的左、右顶点分别为A(一1,0)，A1,0), 设点P(x0y。),有x2-号=1(0>1，y。>0) 则直线PA:y=品(x+1),当x=时，有y,=品， 9/17 西学科网 www.zxxk.com 直线P4:y=点(x-1),当x=时，有ye=-点， 所以DE到=y。yg即点+点=3， 又x2-琴=1，即y,2=3x2-,代入上式化简得：马(2x-)=3 两边平方化简得x。-2)2=0,故x0=2,代入双曲线得y。=3,因此P(2,3) (i)因为右焦点F2,0),N(,0), (x=y+ 设直线NQ:x=y+方，联立方程组x2-写=1，化简得：(32-1)y2+ 韦达定理得：y+yg=-器，ywYQ=一， 9 又因为=(w-2yw),币=(-2，y)=(xQ-2-yQ), ◇ yx(xQ-2)+yo(xM-2)=yM(tyg-)+yo(tVM-)=2tynVe =2-品-(-高)=-器+=0， 9t 所以F川F录，点P,M,F三点共线， 设直线PF:x=my+2,8e(等品π小，me2-V5,号)， (x=my+2 联立方程组气x2-号=1，整理得(3m2-1)y2+12my+9=0, 所以y,+yw=-器，ypyM=品， 又SAww=NFy。-yMl=×,+yN -4ypyM -器-4×品= 36m2+1) 1-3m 令t=Vm2+1e[6-V2,V5), 则SAPMN=-号4=号E[昌(2+V6),+∞）. 考点7 圆锥曲线综合问题 1.ACD 10/17 让教与学更高效 3y-星=0，由 (yw+yq) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.【详解】(1)由动点P满足到F(1,0)的距离比到直线1：x+2=0的距离少1，可知点P到点 F(1,0)的距离与到x=-1的距离相等， 所以曲线C是以F(1,0)为焦点，直线x=一1为准线的抛物线， 故轨迹方程为y2=4x. 2)设A军y(學y: 由题可知AB斜率不为0，设AB:X=my十t, (x=my+t 我立面线方程并消太x可得y2=4x→y2-4my-4t=0, 显然A=16m2+16t>0,y1+y2=4myy2=-4t, 因为0A.0B=5, 所iō-（等y小（等y,)-要+yy2-4t=5 所以t=5或t=-1,当t=5时，AB:x=my+t过定点G(5,0), 所y1+y2=4myy2=-20, SA4Br=IGF|×|y1-y2 =2V(y1+y2)2-4yy2=2W16m2+80=8Vm2+5=8V5,所以m=0, 所以AB:X=5; 当t=-1时，AB:x=y-1过定点G(-1,0), 所以y1+y2=4myY2=4, SA4BF=专|GF|×|y1-y =Vy1+y2)2-4yy2=V16m2-16=4Wm2-1=85,所以m=±V2i, 所以AB:x士V21y+1=0: 综上，直线AB的方程为x=5或x士V21y+1=0 3.【详解】(1)因为A(1,1)在E上，所以1=2p,所以E的方程为y2=x. 11/17 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若1与x轴平行，则直线1与x轴无交点，不合题意； 若1不与x轴平行，则1与E相切于A, y2=x 设直线1的方程为x=y+n,由x=my十n，得y2-my-n=0, 〔△=m2+4n=0 ∫m=2 所以1=m十n，解得=-1' 所以直线的方程为y=学， 因为B(-1,0)、F(,0)、A(1,1),D(0,),故D为AB中点， 所以，线段AB中垂线的方程为y=一2x+专，线段BF中垂线的方程为x=一言， x=- x=-景 联立y=-2x+生·解待y=星，因此△A8F的外接圆圆心坐标为(-景，是)， △A8F的外接圆半径等于V(-昌+1)+（程-0）7=5 所以，△ABF外接圆方程为(x+)2+(y-)2=器 (3)解法一：设C2=1CA(0<1<1),C0=uC(0<u<1), C=CA=(C+PA)(0<1<1),故(1-)C=λPA, 因为器+器=1，所以号+共=1，所以克+=3， 设Cd=mC⑦(0<m<1),因为ci=号cA+C克， 所以GG=婴CA+罗c市=毁C+婴C, 因为P、G、Q三点共线，所以爱+器=1，所以m=号，则C元=C⑦， 设C(xoyg),则y=xo,y≠1，设点G(xy), 12/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为C=(x-x0y-y),Ci=（-x克-y,), x=号 所以 y=令1，所以(3y-1)2=3x, 3 因为A、C不重合，所以y,≠1，y≠号， 综上，点G的轨迹方程为(3y-1)2=3x(y≠号)： 解法二：因为D为AB中点，记以=号，t=閤=1+盟，t2=哥=1+閤 则t1+t2=3, 因为CD为△ABC中线，则二=铝=克且 Sb0E二ScA0 SACAB SssE十Sce0 =(六+底)=带，故授=京，所以=，所以G是△A8C的 重心， 设C(xoyg),则y=xo,y。≠1，设点G(x,y), |x=等 所以 y三3，解得(3y-1)2=3x, 哈= 因为A、C不重合，所以y,≠1，y≠号， 综上，点G的轨迹方程为(3y-1)2=3x(y≠号)； 4.【详解】(1①)由题意得e=号=县， 又以短轴为直径的圆与直线y=x+V2相切， :原点0到直线y=X十2的距离为b=B-日=1， 2 又a2=b2+c2,aa=2,c=V5, 故椭圆E的方程为圣+y2=1. (2)由(1)可知，B(0,1), 当过点P(一2,1)的直线1斜率不存在时，直线1与椭圆E只有一个交点，不合题意，舍去； 当过点P(-2,1)的直线1斜率存在时，设直线1的方程为y-1=k(x+2), y-1=k(x+2) 设C(xy)D(x2y2),联立 翠+y2=1 13/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 消去y整理得（1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0, △=(16k2+8k)2-4(1+4k2)(16k2+16k)>0,解得k<0, 且x+x2=-1,xx= 1+4k2’ 而直线BC的斜字为k1=,直线BD的斜率为k2=号， “房+底=+是=西十西= 1 1 1(x+2十xx1+2 2x1x十x1+x2) k(x+2Xx+2) =x+2x++网’ 又2xX2+2(x1+x2)=2×164+2(-14) 16k 1+4k2 1+4k2 1+4k2, x1x2+2(1十x2)十4=16+2(- 16k+8k +4= 4 1+4k2 1+4k2 1+4k2, 16k 1+4k2 =4 D ∫e=旨= a=5 5.【详解】(1)由题意得：{A1=a+c=8,解得{c=3,所以b2=a2-c2=16, 所以器+若=1，所以椭圆E的方程为器+若=1： (2)①不妨令点P在第一象限，设B(xoy), 所以切线BP的方程为：紫+兴=1，又莞+器-1， x=5,解w=,所以P(6), 又因为anBR,A=点AR,P=写器， a∠AF1P tan2LAFP=AP,P x 205y。 25y6-45 205-y。 -125-哈45-=63， 所以tan∠BF1A=tan2∠AF1P,所以∠BF1A=2∠AF1P, 又∠BF1A=∠BF1P+∠AF1P, 所以∠BF1P=AF1P; 14/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②因为BF1//PF2,所以∠BF1P=∠F1PF2, 因为∠BF1P=∠AF1P,所以∠F1PF2=∠AF1P,所以|PF2l=|F1F2=6, 在Rt△PAF2中，AF2=2,|API=VPF2-AF22-42 B x=5 6.【解】（①）由椭版C:等+斧=1的离心羊e=号，得e2=1-三=是，则b2=京2， 由点2，)在椭图C上，待杀+言=1，联立解得2=5，b2=早。 所以椭圆C的标准方程为号+等=1；医M的标准方程为K-1)2+y2=寺 2)设P&yQ(x2y,中点Noy。, |经+4y=5 由P,Q在椭圆C:x2+4y2=5上，得3+4y3=5, (x:-x)x1+x2)+4(y-y)y:+y)=0, 又x+x2=2x0乃1+y2=2,k=0,于是x+4y。=0, 而O=(Koyo MN-=(xo-1yJ,oN1MN,得xgx。-1+y=0 由Noy在圆M上，得x0-1)2+y=克，联立解得x=,y。=土克， 由完+言<1，得点N,士)在椭圆C:晋+写=1内，即存在满足条件的点心 当点N(,)时，k=-主<0，不符合题意，当点N,-)时，k=是>0，符合题意， 所以k=京 15/17 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.【详解】(1)设动圆M的半径为R, 由题意，圆C1与圆C2的标准方程分别为C1:(x+3)2+y2=4和C2:(x-3)+y2=100, 故C1(-3,0),半径r1=2,C2(3,0),半径r2=10, 由题意得|MC1|=R+r1=R+2,|MC2=r2-R=10-R, MC+MC2=12>6=CC2l, 由椭圆的定义，得圆心M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为12，焦距为6的椭圆. a=6,c=3,故b2=a2-c2=36-9=27, 故圆心M的轨迹方程为器+罗=1. (2) 4 F O 4, 由(1)知，曲线C即椭圆；+罗=1， 由题意，点A1,A2是椭圆C的左、右顶点. 由题意知，直线AP的斜率一定存在，设为k,测k≠0，且k≠士写， 直线A1P的方程为y=k(x+6),则Q(0,6k) 设P(xpyp), 影+罗=1 y=k(x+6)消去y,整理得(3+4k2)x2+48k3x+144k2-108=0. 由 由图意待-6x,=40照，放x2=g-24 3+4k2 3+4k2, 故|PQ=V1+k21xp=8-24k+ 3+4k2 又点A2到直线A,P的距离d=2 V1+k2, 故Sa4PQ=引PQ1d=支×L8-24+×2当=时34 3+4k2 v1+k 3+4k2 又S△4，Q=|AF到yg=支×3×|6k=9k, 16/17 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意41=18k1,化简得23-4k=3+4k2,解得k2=子或k2=号 3+4k2 当k子=时，=3，则AP1=V+k1x-x4=与×9=5； 当k=号时，？=-3，则AP引-+k1p-x4=四x3=四 综上，AP的值为5或四 17/17