精品解析：内蒙古兴安盟2026届高三年级（二模）模拟考试数学试题

兴安盟2026年高三年级模拟考试试题 数学 （本试卷共4页，试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】因，又， 故，故其子集个数为. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，虚部为. 3. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以 4. 已知，则的值（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式进行化简求解即可. 【详解】， 故选C. 5. 函数的极小值点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点. 【详解】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是. 故选：C. 6. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得到焦点和渐近线方程，再由点到直线距离公式结合求出a，且由面积求出b即可计算离心率. 【详解】由题，双曲线（，）的一条渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 所以，且即， 所以双曲线的离心率为. 8. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数与的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可. 【详解】由可得，，所以函数关于点对称. 函数的定义域为. 因为， 所以函数关于点对称. 因此函数与函数的图象的交点也关于点对称. 若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点， 那么，. 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件相互独立，则 C. 对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，可判定A正确；根据，可判定B不正确；将样本中心代入回归方程，求得的值，可判定C错误；根据，拒绝“与的独立”的原假设，可判定D正确. 【详解】对于A，随机变量，可得，即正态分布曲线关于对称， 因为，所以，所以A正确； 对于B，若事件相互独立，可得， 只有事件和事件互斥时，满足，所以B不正确； 对于C，对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为， 若样本数据的中心点为，可得，解得，所以C错误； 对于D，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到， 依据的独立性检验，可得， 此时拒绝“与的独立”的原假设，可判断变量与不独立，所以D正确. 10. 加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程,求出离心率即可得选项A正误;根据蒙日圆的定义可判断,该圆过点,根据圆心坐标,即可求得半径的值,进而求得圆的方程;设出长方形的长和宽,根据长方形是蒙日圆的内接四边形,可得对角线为直径,求得长和宽的等量关系,再利用基本不等式即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知椭圆方程为:, 所以, 故选项A正确; 因为长方形R的四边均与椭圆相切, 所以点,即在蒙日圆上, 故半径为, 可得椭圆C的蒙日圆方程为; 故选项B错误,选项C正确; 设长方形R的边长为m,n, 则有, 所以长方形R的面积等于, 当且仅当时取等, 故选项D正确. 故选:ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 球面经过四点的球的半径的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C错误； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2， 则，设，球心，半径为， 由，得到， 解得，，所以， 又，且，所以当时，取到最小值为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为30，则a的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二项式通项公式结合条件即得. 【详解】由题可得展开式通项公式为， 令，解得，则有，其系数， 所以． 故答案为：6. 13. 如图，已知在三棱柱中，分别为的中点，则截面分三棱柱的体积比______. 【答案】 【解析】 【分析】通过设，三棱柱的高为，来求出棱台的体积，进而求出三棱锥的体积，计算比值. 【详解】设，三棱柱的高为. ， . . 14. 一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率____________，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】列举次运动过程中仅次经过顶点的情况，再由古典概率公式即可求解； 记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为，分别求得相应概率，列出分布列，再求期望，即可求解. 【详解】因为质点次运动过程中仅次经过顶点的情况有：， ，， ，，共种， 第四次回到顶点有种，所以质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率. 记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为， 质点4次运动，共有种情况， 当X=0时，，共有1种情况，则， 当X=1时，， ， ， ， ，，，共有7种情况， 所以，又， 所以X的分布列为： ， 故答案为：，. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求； （2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 【小问2详解】 由已知，所以. 因为，所以， 可得， 所以 ， 又， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 16. 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可. 【小问1详解】 设公差为，则，即 解得或 ，所以或； 【小问2详解】 因为数列为递增数列，，，， 所以 ； 所以. 17. 如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】（1） 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． （2）1； 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 18. 已知双曲线：的一个焦点与抛物线 ：的焦点重合. （1）求抛物线 的方程； （2）若直线：交抛物线 于A、B两点，O为原点，求证：以 为直径的圆经过原点O. 【答案】（1） （2）设， 联立， 由韦达定理得， 所以 所以， 所以以 为直径的圆经过原点O.得证 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程. （2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证. 【小问1详解】 由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线 ：的焦点，得， 所以抛物线 的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，令，求得的根，结合定义域，即可求得函数的单调区间； （3）根据题意，得到不等式，当时，转化为，令，求得，结合，求得，利用导数求得，得到递增，得到，求得，再由，求得时，不等式也成立，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，其定义域为， 可得，则且，即切点坐标为，斜率为， 所以曲线在点处的切线方程，即. 【小问2详解】 解：由函数，其定义域为， 且，令， 令，即，可得， 解得， 由（舍去），， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为. 【小问3详解】 解：由不等式，可得， 当时，，满足； 当时，不等式可化为 令，可得， 令，可得， 令，可得， 当时，可得，在上单调递增； 当时，可得，在上单调递减， 因为， 所以存在，使得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 又由， 所以当时，，所以单调递增， 所以，则； 可得， 令，可得， 所以在上单调递增，所以， 综上可得，当时，不等式，即恒成立， 所以实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴安盟2026年高三年级模拟考试试题 数学 （本试卷共4页，试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 4. 已知，则的值（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 5. 函数的极小值点是（ ） A. B. C. D. 6. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A. 8 B. C. 12 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件相互独立，则 C. 对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立 10. 加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 球面经过四点的球的半径的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为30，则a的值为______． 13. 如图，已知在三棱柱中，分别为的中点，则截面分三棱柱的体积比______. 14. 一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率____________，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 16. 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 17. 如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 18. 已知双曲线：的一个焦点与抛物线 ：的焦点重合. （1）求抛物线 的方程； （2）若直线：交抛物线 于A、B两点，O为原点，求证：以 为直径的圆经过原点O. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $