学易金卷：八年级数学下学期5月学情自测卷（新教材北京版，范围：八年级下册第14～16章）

**基本信息** 聚焦函数、几何与方程核心知识，通过赵爽弦图等文化素材、“联合方程”新定义及数学史情境，考查抽象能力、推理意识与创新应用，适配八年级学情自测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|坐标确定、函数图像、平行四边形判定|结合杨辉三角等传统文化素材（2题）| |填空题|8/16|菱形性质、一元二次方程解、新定义“max”|设置动态几何最值问题（16题）| |解答题|11/68|一次函数应用（20题）、矩形折叠证明（19题）、方程实际应用（22题）|融入数学史几何解法（25题）、“接近度”探究（27题）|

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 -------------------------------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂【×！【W1【/ 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[AIIBIICIIDI 5.1A]IBIIC]IDI 2.[AJ[B][CIID] 6.[A]IBI[C]ID] 3.[AJIBIICJID] 7.AIIBIIC]IDI 4.[AI[BIICIIDI 8.[A]IBI[C]ID] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 10. 13, 16 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(4分) E 1 B D 人2 19.(5分) P E F 20.(5分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) O ⊙ 22.(6分) y(千克) 140 120 0 1 34x(元) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) 24.(7分) E D A E D F H B C B C 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(7分) x+5 2 x+5 x+5 4--7--1--f----1--1 c x+5 ........ 图1 图2 r-4- - " - --1- L-L ① ② ③ 第(2)题图 26.(8分) N B C p A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) Jm° 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版八年级下册第14~16章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共24分。 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（5，2） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣6，4） D．（2，﹣5） 【答案】D． 【解析】解：根据各象限内点的坐标特征解答即可，由图得点位于第四象限. 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．赵爽弦图 B．杨辉三角 C．科克曲线 D．菜洛三角形 【答案】C． 【解析】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意． 故选：C． 3．如图所示曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B符合题意； C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意； 故选：B． 4．下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解析】解：①2x2﹣1＝0是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ②ax2+bx+c＝0中当a＝0时，它不是一元二次方程， ③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3整理得﹣x﹣6＝﹣3，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个， 故选：B． 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 【答案】B． 【解析】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 6．如图，已知一次函数与y＝kx+m（k≠0，且k，m为常数）的交点坐标为P（1，a），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：把P（1，a）代入yx得a1， ∴P（1，1）， ∴一次函数与y＝kx+m的交点坐标为P（1，1）， ∴关于x，y的方程组的解． 故选：C． 7. 如图，在△AOB中，∠O＝90°，将△AOB绕着点A顺时针旋转得到△ADC，连接BC，记∠ABO＝α，∠OAD＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B． C．α+β＝90° D．2α+β＝180° 【答案】B． 【解析】解：∵在△AOB中，∠O＝90°，∠ABO＝α， ∴∠OAB＝90°﹣∠ABO＝90°﹣α， ∵BC∥OA， ∴∠ABC＝∠OAB＝90°﹣α， ∵将△AOB绕点A顺时针旋转得到△ADC， ∴∠DAC＝∠OAB＝90°﹣α，AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC＝90°﹣α， ∵∠OAD＝β， ∴∠OAC＝∠DAC+∠OAD＝90°﹣α+β， ∵∠ACB+∠OAC＝180°， ∴90°﹣α+90°﹣α+β＝180°， ∴αβ， 故选：B． 8．如图，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，E为对角线AC上一点，AE＝2，连接DE并延长至点F，使得FE＝DE，连接BF，且BF＝6，则DF的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B． 【解析】解：在EC上截取EP＝AE＝2，连接FP交AB于点H，FP的延长线交CD于点K，连接AF，DP，如图所示： ∴AP＝EP+AE＝4， ∵FE＝DE， ∴四边形AFPD是平行四边形， ∴AD∥FP，AD＝FP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴FP∥BC，FP＝BC， ∴四边形FPCB是平行四边形， ∴PC＝BF，∠BFP＝∠ACB， ∵∠ACB＝30°，BF＝6， ∴∠BFP＝∠ACB＝30°，PC＝BF＝6， ∵FP∥BC， ∴∠FHB＝∠BHK＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴△FBH是直角三角形，四边形BHKC是矩形， ∴CK＝BH，HK＝BC， 在Rt△FBH中，FB＝6，∠BFP＝30°， ∴BHFB＝3， 由勾股定理得：FH， ∴CK＝BH＝3， 在Rt△ABC中，AC＝AP+PC＝4+6＝10，∠ACB＝30°， ∴ABAC＝5， 由勾股定理得：BC， ∴CD＝AB＝5，HK＝BC， ∴DK＝CD﹣CK＝5﹣3＝2，FK＝FH+HK， 在Rt△FDK中，由勾股定理得：DF14． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．函数的自变量x的取值范围是 　 ． 【答案】x≠2． 【解析】解：根据题意得，x﹣2≠0， 解得x≠2． 故答案为：x≠2． 10．对于直线y＝﹣2x+b，当x1＜x2时，y1　　 y2． 【答案】＞． 【解析】解：由条件可知一次函数y随着x的增大而减小， ∵x1＜x2， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝7，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝　 　 ． 【答案】4． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝7，AB＝CD＝3， ∴∠ABE＝∠CFE， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴∠CBF＝∠CFB， ∴CF＝BC＝7， ∴DF＝CF﹣CD＝7﹣3＝4． 故答案为：4． 12．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个解为0，则k的值为　　 ． 【答案】-2． 【解析】解：由条件可知k﹣2≠0，即k≠2． ∵x＝0是该一元二次方程的一个解， ∴将x＝0代入方程得，k2﹣4＝0． 解得k＝2（舍去）或k＝﹣2． ∴k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为　 　 米． 【答案】1． 【解析】解：设石板小径的宽度为x米， 根据题意得：（2×12+2×8）x﹣4x2＝12×8， 整理得：x2﹣10x+9＝0， 解得：x1＝1，x2＝9（不符合题意，舍去）， ∴石板小径的宽度为1米． 故答案为：1． 14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 　 　 ． 【答案】． 【解析】解：∵F是DE的中点， ∴DF＝EF． ∵∠BCD＝90°， ∴CFDE， ∴EF＝CF． ∵CE＝5，△CEF的周长是18， ∴CF+EF＝18﹣5＝13， ∴EF＝CF＝6.5， ∴DE＝2EF＝13， ∴CD12． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝12，O为BD的中点， ∴OF是三角形BDE的中位线， ∴OF（BC﹣CE）（12﹣5）． 故答案为：． 15．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{4，2}＝4，max{﹣2，5}＝5，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣12的解是 　 ． 【答案】x＝4或x＝﹣4． 【解析】解：①当x≥﹣x，即x≥0时，max{x，﹣x}＝x， ∴x＝x2﹣12， 解得x1＝4，x2＝﹣3（舍去）； ②当x＜﹣x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣12， 解得x3＝﹣4，x4＝3（舍去）； 故答案为：x＝4或x＝﹣4． 16．如图，在菱形ABCD中，AB＝17，对角线AC＝16，点E为边BC上一动点（不与点C重合），CF平分∠ACB交AB于点F，过点E作EG⊥CF于点G，连接DE，点M为DE的中点，连接MG，则MG的最小值为　 ． 【答案】． 【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，延长EG交AC于点N，连接DN， 由条件可知， ∵AB＝17， ∴， ∴OD＝15， ∵CF平分∠ACB，EG⊥CF， ∴∠ECG＝∠NCG，∠CGE＝∠CGN＝90°， ∵CG＝CG， ∴△ECG≌△NCG（ASA）， ∴EG＝NG， ∵点M为DE的中点， ∴GM为△DEN的中位线， ∴， ∴当GM最小时，DN最小， 当DN⊥AC时，DN最小，此时点N与点O重合， 即DN的最小值为15， ∴GM的最小为． 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：第17题、21~23题每题6分，第18题4分，19~20题每题5分，24~25题每题7分，26~27题每题8分。 17．（6分）解方程 （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）x（x﹣2）＝x﹣2． 【解析】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2， 则， 所以，； （2）x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝1，x2＝2． 18．（4分）如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形． 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EDC＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠EDC＝∠2， ∴DE∥BF， ∵DF∥EB， ∴四边形DEBF是平行四边形． 19．（5分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E． （1）求证：AE＝CE； （2）如果AB＝3，AD＝6，求AE的长． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由折叠的性质可得∠FAC＝∠DAC， ∴∠FAC＝∠ACE， ∴AE＝CE； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠B＝90°， 设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝6﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2， ∴x2＝32+（6﹣x）2， 解得， ∴． 20．（5分）如图，直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，﹣4）． （1）求直线AB的表达式； （2）若点C是直线AB上的一个动点，当△BOC的面积为16时，求点C的坐标． 【解析】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b， ∵直线AB与y轴交于点B（0，﹣4），与x轴交于点A（2，0）， ∴， ∴， ∴y＝2x﹣4； （2）∵B（0，﹣4）， ∴OB＝4， ∵△BOC的面积为16， ∴， ∴|xC|＝8， ∴xC＝±8， 在y＝2x﹣4中，当x＝8时，y＝12，当x＝﹣8时，y＝﹣20， ∴点C的坐标为（﹣8，﹣20）或（8，12）． 21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC． ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝ODBD＝5，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OA12， ∴AC＝2OA＝24， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝12． 22．（6分）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克90元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜30）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利3750元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【解析】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b， 由题意得：， 解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得：（90﹣60﹣x）（10x+100）＝3750， 整理得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x1＝5，x2＝15， 答：商贸公司要想获利3750元，则这种干果每千克应降价5元或15元． 23．（6分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 【解析】解：（1）该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程2x2+9x+7＝0中，a＝2，b＝9，c＝7， ∵a﹣b+c＝2﹣9+7＝0， ∴一元二次方程2x2+9x+7＝0是“联合方程”； （2）由条件可知3﹣（﹣m）+n＝0， ∵﹣2是此“联合方程”的一个根， ∴3×（﹣2）2﹣m×（﹣2）+n＝0， 即， 解得， ∴m的值为﹣9，n的值为6． 24．（7分）在矩形ABCD中，BD为矩形对角线，E在AD边上，连接EC． （1）如图1，若∠DCE＝45°，BC＝CE，CD＝1，求BD； （2）如图2，CF⊥EC，CF＝CD，连接BF交EC于H，当H为BF的中点时，求证：DE＝2HC． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵∠DCE＝45°， ∴∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴ED＝CD＝1， ∴BC＝CECD， ∴BD， ∴BD的长是． （2）证明：如图2，作BP⊥CE于点P，则∠CDE＝∠BPC＝90°， ∵CF⊥EC， ∴∠FCH＝∠BPH＝90°， ∵AD∥CB， ∴∠DEC＝∠PCB， ∵H为BF的中点， ∴FH＝BH， 在△CHF和△PHB中， ， ∴△CHF≌△PHB（AAS）， ∴CF＝PB，HC＝HP， ∴PC＝2HC， ∵CF＝CD， ∴CD＝PB， 在△DEC和△PCB中， ， ∴△DEC≌△PCB（AAS）， ∴DE＝PC， ∴DE＝2HC． 25. （7分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中，到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法，赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是（x+x+5）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+5）＝14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得x＝2． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，对于方程x2﹣4x﹣12＝0可构造四个全等的小矩形的面积x2﹣4x＝　 　 ． （2）请在下面三个构图中选择能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　 　 （从序号①②③中选择）． （3）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程x2+2x﹣15＝0（写出必要的思考过程）． 【解析】解：（1）将方程x2﹣4x﹣12＝0构造四个全等的小矩形的面积x2﹣4x＝12； 故答案为：12； （2）∵应构造面积是（x+x﹣4）2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x﹣4）＝12，中间的小正方形面积为42， ∴大正方形的面积又可表示为4×12+42＝64， ∴大正方形的边长为8，所以x+x﹣4＝8， ∴x＝6， 故正确构图②， 故答案为：②； （3）首先构造了如图所示的图形， 图中的大正方形面积是（x+x+2）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+2）＝15，中间的小正方形面积为22， ∴大正方形的面积又可表示为4×15+22＝64， 进一步可知大正方形的边长为8， ∴x+x+2＝8，得x＝3． 26. （8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA，OC的长分别为x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OC），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，同时动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，MN，当点N运动到点C时，点M也同时停止运动，当两动点运动了t秒时，记△MPN的面积为S． （1）求直线AC的解析式； （2）求S关于t的函数关系式； （3）点P在运动过程中，坐标平面内是否存在一点Q，使以C，O，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）解x2﹣7x+12＝0得x＝3或x＝4， ∵OA，OC的长分别为x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OC）， ∴OA＝4，OC＝3， ∴A（4，0），C（0，3）， 设直线AC解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AC解析式为yx+3； （2）根据题意，BN＝2t（个单位长度），OA＝t（个单位长度）， ∴N（4﹣2t，3），M（t，0）， ∵（4﹣2t）+3t， ∴P（4﹣2t，t）， ∴NP＝3t， 当4﹣2t＝t，即t时，N，P，M共线，S＝0， 当0≤t时，S（4﹣2t﹣t）×（3t）t2t+6； 当t≤2时，S（t﹣4+2t）×（3t）t26； ∴S； （3）设Q（m，n），而C（0，3），O（0，0），P（4﹣2t，t）， ①当QC，OP为对角线时，QC，OP中点重合，且OC＝PC， ∴， 解得（此时N不在边BC上，舍去）或， ∴Q的坐标为（，）； ②当QO，CP为对角线时，QO，CP的中点重合，且OP＝OC， ∴， 解得（Q与P重合，舍去）或， ∴Q的坐标为（，）； ③当QP，CO为对角线时，QP，CO的中点重合，且OP＝CP， ∴， 解得， ∴Q的坐标为（﹣2，）； 综上所述，Q的坐标为（，）或（，）或（﹣2，）． 27. （8分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”＝　 　 ； ②当菱形的“接近度”＝　 　 时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①菱形的一个内角为60°时，“接近度”＝　　 ； ②在这种情况下，菱形的“接近度”＝　 　 时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ②乙：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ． 【解析】解：（1）①∵内角为70°， ∴与它相邻内角的度数为110°． ∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40， 故答案为：40； ②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形， 故答案为：0； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①当菱形的一个内角为60°时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”＝1时，菱形就是正方形， 故答案为：1； （3）①×． 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等． ②√，理由如下： ∵a≤b， ∴1， ∴当1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形，于是越小，矩形越接近于正方形， 故答案为：√． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B B B C B B 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．x≠2 10. ＞ 11. 4 12. -1 13. 1 14. 15. x＝4或x＝﹣4 16. 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：第17题、21~23题每题6分，第18题4分，19~20题每题5分，24~25题每题7分，26~27题每题8分。 17. 【解析】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2， 则， 所以，；（3分） （2）x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝1，x2＝2．（6分） 18．【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EDC＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠EDC＝∠2， ∴DE∥BF， ∵DF∥EB， ∴四边形DEBF是平行四边形．（4分） 19．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由折叠的性质可得∠FAC＝∠DAC， ∴∠FAC＝∠ACE， ∴AE＝CE；（2分） （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠B＝90°， 设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝6﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2， ∴x2＝32+（6﹣x）2， 解得， ∴．（5分） 20．【解析】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b， ∵直线AB与y轴交于点B（0，﹣4），与x轴交于点A（2，0）， ∴， ∴， ∴y＝2x﹣4；（2分） （2）∵B（0，﹣4）， ∴OB＝4， ∵△BOC的面积为16， ∴， ∴|xC|＝8， ∴xC＝±8， 在y＝2x﹣4中，当x＝8时，y＝12，当x＝﹣8时，y＝﹣20， ∴点C的坐标为（﹣8，﹣20）或（8，12）．（5分） 21．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC． ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形；（3分） （2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝ODBD＝5，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OA12， ∴AC＝2OA＝24， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝12．（6分） 22．【解析】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b， 由题意得：， 解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；（2分） （2）根据题意得：（90﹣60﹣x）（10x+100）＝3750， 整理得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x1＝5，x2＝15， 答：商贸公司要想获利3750元，则这种干果每千克应降价5元或15元．（6分） 23．【解析】解：（1）该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程2x2+9x+7＝0中，a＝2，b＝9，c＝7， ∵a﹣b+c＝2﹣9+7＝0， ∴一元二次方程2x2+9x+7＝0是“联合方程”；（2分） （2）由条件可知3﹣（﹣m）+n＝0， ∵﹣2是此“联合方程”的一个根， ∴3×（﹣2）2﹣m×（﹣2）+n＝0， 即， 解得， ∴m的值为﹣9，n的值为6．（6分） 24．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵∠DCE＝45°， ∴∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴ED＝CD＝1， ∴BC＝CECD， ∴BD， ∴BD的长是．（3分） （2）证明：如图2，作BP⊥CE于点P，则∠CDE＝∠BPC＝90°， ∵CF⊥EC， ∴∠FCH＝∠BPH＝90°， ∵AD∥CB， ∴∠DEC＝∠PCB， ∵H为BF的中点， ∴FH＝BH， 在△CHF和△PHB中， ， ∴△CHF≌△PHB（AAS）， ∴CF＝PB，HC＝HP， ∴PC＝2HC， ∵CF＝CD， ∴CD＝PB， 在△DEC和△PCB中， ， ∴△DEC≌△PCB（AAS）， ∴DE＝PC， ∴DE＝2HC．（7分） 25. 【解析】解：（1）将方程x2﹣4x﹣12＝0构造四个全等的小矩形的面积x2﹣4x＝12； 故答案为：12；（1分） （2）∵应构造面积是（x+x﹣4）2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x﹣4）＝12，中间的小正方形面积为42， ∴大正方形的面积又可表示为4×12+42＝64， ∴大正方形的边长为8，所以x+x﹣4＝8， ∴x＝6， 故正确构图②， 故答案为：②；（3分） （3）首先构造了如图所示的图形， 图中的大正方形面积是（x+x+2）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+2）＝15，中间的小正方形面积为22， ∴大正方形的面积又可表示为4×15+22＝64， 进一步可知大正方形的边长为8， ∴x+x+2＝8，得x＝3．（7分） 26. 【解析】解：（1）解x2﹣7x+12＝0得x＝3或x＝4， ∵OA，OC的长分别为x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OC）， ∴OA＝4，OC＝3， ∴A（4，0），C（0，3）， 设直线AC解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AC解析式为yx+3；（2分） （2）根据题意，BN＝2t（个单位长度），OA＝t（个单位长度）， ∴N（4﹣2t，3），M（t，0）， ∵（4﹣2t）+3t， ∴P（4﹣2t，t）， ∴NP＝3t， 当4﹣2t＝t，即t时，N，P，M共线，S＝0， 当0≤t时，S（4﹣2t﹣t）×（3t）t2t+6； 当t≤2时，S（t﹣4+2t）×（3t）t26； ∴S；（5分） （3）设Q（m，n），而C（0，3），O（0，0），P（4﹣2t，t）， ①当QC，OP为对角线时，QC，OP中点重合，且OC＝PC， ∴， 解得（此时N不在边BC上，舍去）或， ∴Q的坐标为（，）； ②当QO，CP为对角线时，QO，CP的中点重合，且OP＝OC， ∴， 解得（Q与P重合，舍去）或， ∴Q的坐标为（，）； ③当QP，CO为对角线时，QP，CO的中点重合，且OP＝CP， ∴， 解得， ∴Q的坐标为（﹣2，）； 综上所述，Q的坐标为（，）或（，）或（﹣2，）．（8分） 27. 【解析】解：（1）①∵内角为70°， ∴与它相邻内角的度数为110°． ∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40， 故答案为：40； ②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形， 故答案为：0；（2分） （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①当菱形的一个内角为60°时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”＝1时，菱形就是正方形， 故答案为：1；（4分） （3）①×． 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等． ②√，理由如下： ∵a≤b， ∴1， ∴当1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形，于是越小，矩形越接近于正方形， 故答案为：√．（8分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版八年级下册第14~16章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（5，2） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣6，4） D．（2，﹣5） 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．赵爽弦图 B．杨辉三角 C．科克曲线 D．菜洛三角形 3．如图所示曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 4．下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 6．如图，已知一次函数与y＝kx+m（k≠0，且k，m为常数）的交点坐标为P（1，a），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△AOB中，∠O＝90°，将△AOB绕着点A顺时针旋转得到△ADC，连接BC，记∠ABO＝α，∠OAD＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B． C．α+β＝90° D．2α+β＝180° 8．如图，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，E为对角线AC上一点，AE＝2，连接DE并延长至点F，使得FE＝DE，连接BF，且BF＝6，则DF的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．函数的自变量x的取值范围是 　 ． 10．对于直线y＝﹣2x+b，当x1＜x2时，y1　 　 y2． 11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝7，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝　 　 ． 12． 若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个解为0，则k的值为　 　 ． 13．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为　 　 米． 14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 　 　 ． 15．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{4，2}＝4，max{﹣2，5}＝5，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣12的解是 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，AB＝17，对角线AC＝16，点E为边BC上一动点（不与点C重合），CF平分∠ACB交AB于点F，过点E作EG⊥CF于点G，连接DE，点M为DE的中点，连接MG，则MG的最小值　 ． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：第17题、21~23题每题6分，第18题4分，19~20题每题5分，24~25题每题7分，26~27题每题8分。 17．（6分）解方程 （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）x（x﹣2）＝x﹣2． 18．（4分）如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形． 19．（5分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E． （1）求证：AE＝CE； （2）如果AB＝3，AD＝6，求AE的长． 20．（5分）如图，直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，﹣4）． （1）求直线AB的表达式； （2）若点C是直线AB上的一个动点，当△BOC的面积为16时，求点C的坐标． 21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 22．（6分）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克90元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜30）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利3750元，则这种干果每千克应降价多少元？ 23．（6分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 24．（7分）在矩形ABCD中，BD为矩形对角线，E在AD边上，连接EC． （1）如图1，若∠DCE＝45°，BC＝CE，CD＝1，求BD； （2）如图2，CF⊥EC，CF＝CD，连接BF交EC于H，当H为BF的中点时，求证：DE＝2HC． 25. （7分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中，到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法，赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是（x+x+5）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+5）＝14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得x＝2． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，对于方程x2﹣4x﹣12＝0可构造四个全等的小矩形的面积x2﹣4x＝　 　 ． （2）请在下面三个构图中选择能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　 　 （从序号①②③中选择）． （3）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程x2+2x﹣15＝0（写出必要的思考过程）． 26. （8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA，OC的长分别为x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OC），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，同时动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，MN，当点N运动到点C时，点M也同时停止运动，当两动点运动了t秒时，记△MPN的面积为S． （1）求直线AC的解析式； （2）求S关于t的函数关系式； （3）点P在运动过程中，坐标平面内是否存在一点Q，使以C，O，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 27. （8分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”＝　 　 ； ②当菱形的“接近度”＝　 　 时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①菱形的一个内角为60°时，“接近度”＝　　 ； ②在这种情况下，菱形的“接近度”＝　 　 时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ②乙：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【/1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1[A][BI[CJ[D] 5[A][B][CI[D] 2JAJIB]ICJID] 6[A][B]ICI[D] 3.[A][B][C][D] 7[AJ[B][CI[D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9 10 13 16. 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(4分) E A B 人2 19.(5分) B E 20.(5分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) A B 22.(6分) y(千克) 140 120 111111111111 12 3 4x(元) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) 24.(7分) E D F 夕 B C B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(7分) x+5 - x+5 x+5 .-t- i--F x+5 : 图1 图2 - ① ② ③ 第(2)题图 26.(8分) N B C A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) Jm° b 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版八年级下册第14~16章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共24分。 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（5，2） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣6，4） D．（2，﹣5） 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．赵爽弦图 B．杨辉三角 C．科克曲线 D．菜洛三角形 3．如图所示曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 4．下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 6．如图，已知一次函数与y＝kx+m（k≠0，且k，m为常数）的交点坐标为P（1，a），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 7. 如图，在△AOB中，∠O＝90°，将△AOB绕着点A顺时针旋转得到△ADC，连接BC，记∠ABO＝α，∠OAD＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B． C．α+β＝90° D．2α+β＝180° 8．如图，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，E为对角线AC上一点，AE＝2，连接DE并延长至点F，使得FE＝DE，连接BF，且BF＝6，则DF的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．函数的自变量x的取值范围是 　 ． 10．对于直线y＝﹣2x+b，当x1＜x2时，y1　 　 y2． 11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝7，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个解为0，则k的值为　　 ． 13．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为　 　 米． 14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 　 　 ． 15．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{4，2}＝4，max{﹣2，5}＝5，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣12的解是 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，AB＝17，对角线AC＝16，点E为边BC上一动点（不与点C重合），CF平分∠ACB交AB于点F，过点E作EG⊥CF于点G，连接DE，点M为DE的中点，连接MG，则MG的最小值　 ． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：第17题、21~23题每题6分，第18题4分，19~20题每题5分，24~25题每题7分，26~27题每题8分。 17．（6分）解方程 （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）x（x﹣2）＝x﹣2． 18．（4分）如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形． 19．（5分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E． （1）求证：AE＝CE； （2）如果AB＝3，AD＝6，求AE的长． 20．（5分）如图，直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，﹣4）． （1）求直线AB的表达式； （2）若点C是直线AB上的一个动点，当△BOC的面积为16时，求点C的坐标． 21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 22．（6分）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克90元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜30）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利3750元，则这种干果每千克应降价多少元？ 23．（6分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 24．（7分）在矩形ABCD中，BD为矩形对角线，E在AD边上，连接EC． （1）如图1，若∠DCE＝45°，BC＝CE，CD＝1，求BD； （2）如图2，CF⊥EC，CF＝CD，连接BF交EC于H，当H为BF的中点时，求证：DE＝2HC． 25. （7分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中，到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法，赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是（x+x+5）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+5）＝14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得x＝2． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，对于方程x2﹣4x﹣12＝0可构造四个全等的小矩形的面积x2﹣4x＝　 　 ． （2）请在下面三个构图中选择能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　 　 （从序号①②③中选择）． （3）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程x2+2x﹣15＝0（写出必要的思考过程）． 26. （8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA，OC的长分别为x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OC），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，同时动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，MN，当点N运动到点C时，点M也同时停止运动，当两动点运动了t秒时，记△MPN的面积为S． （1）求直线AC的解析式； （2）求S关于t的函数关系式； （3）点P在运动过程中，坐标平面内是否存在一点Q，使以C，O，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 27. （8分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”＝　 　 ； ②当菱形的“接近度”＝　 　 时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①菱形的一个内角为60°时，“接近度”＝　　 ； ②在这种情况下，菱形的“接近度”＝　 　 时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ②乙：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $