22.1&22.2 函数的概念及表示（讲义）数学新教材人教版八年级下册

第二十二章 函数 22.1&22.2 函数的概念及表示 知识点一 变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 【补充】 1）变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. 2）区分常量和变量，要看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 即学即练 1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【答案】B 【分析】本题主要考查了变量与常量的定义，明确在变化过程中，可变的量为变量，固定不变的量为常量，结合球的体积公式即可． 【详解】解：在球的体积公式中，和是固定不变的数值，的数值随的变化而变化，可取不同的数值， ∴变量是、，常量是、． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）已知某棵树苗的高度和生长月数之间满足，则下列说法正确的是（    ） A．9是变量 B．60是变量 C．是常量 D．和是变量 【答案】D 【分析】根据概念判断关系式中各量的属性即可得到答案 【详解】解：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量； ∵ 关系式中，和数值固定不变，是生长月数会发生变化，随的变化而变化， ∴ 和是常量，和是变量 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．以上都不是 【答案】C 【详解】解：付款金额随购物数量的变化而变化， 数量和金额是变量， 矿泉水的单价固定不变， 单价是常量． 知识点二 函数 定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 【函数概念的解读】①有两个变量.②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化. ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应. 即学即练 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（  ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 【答案】A 【分析】根据定义判断5和m的属性即可得到结果． 【详解】解：沃柑的零售价5元/斤是固定不变的数值，故5是常量． 购买沃柑的斤数可以取不同的数值，故是变量． 因此5是常量，是变量． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； B．对于的每一个确定的值，可能有多个值，故不是的函数，不符合题意； C．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； D．对于的每一个确定的值，只有一个值，故是的函数，符合题意． 3．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在式子①，②，③，④中，y是x的函数的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断，即对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．统计符合定义的式子个数即可解得． 【详解】解：①对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③对于，当在范围内，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ④对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数． 综上，4个式子都满足y是x的函数． 知识点三 函数自变量的取值范围 即学即练 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ∴对于，可得， ∴． 2．（25-26八年级下·海南·期中）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式函数自变量的取值范围，用到的知识点为分式的分母不为0，只需令分母不等于0求解即可． 【详解】解：∵该函数是分式，分式的分母不能为0， ∴， 解得， 即自变量的取值范围是． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）函数 中自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 知识点四 函数的解析式 函数解析式：像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式或函数关系式. 【解读】函数解析式具有顺序性，通常函数解析式等号右边的代数式中的变量是自变量，等号左边的变量是因变量. 即学即练 1．（25-26八年级下·北京·期中）一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵菱形的四条边相等，原菱形边长为，新菱形边长增加， ∴新菱形的边长为， ∴新菱形周长，整理得． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后，手表显示的电量为．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知的初始电量和充电后的电量可得到每分钟充电量，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意得：每分钟充电量为， ∴手表的电量与充电时间之间的函数关系式为． 3．（2025·山西忻州·三模）数学兴趣课上，同学们设计试验，探究沙漏下面瓶子内沙子的质量m（克）和沙子下漏的时间t（秒）之间的关系．某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内： 时间t（秒） 20 40 60 80 100 质量m（克） 11 17 23 29 35 则m与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察表中数据变化特征，设解析式()，运用待定系数法，解二元一次方程组求解． 【详解】解：由表格知，m随t的增大而增大， 设函数表达式为 ()， 则， 解得， ∴． 故选：A． 知识点五 函数的图像 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 函数图像上的点与其解析式之间的关系：函数图像上的任一点的横坐标与纵坐标一定是这个函数的自变量x和函数y的一对对应值；反之，以这一对对应值为横、纵坐标的点必在函数的图像上. 画函数图像的一般步骤: 1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. 3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来. 即学即练 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在物理课测量金属块A的体积实验中，将金属块A匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下列图象中，适合表示容器内液面高度h与金属块A被提起的时间t的对应关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：液面高度h变化，分三个阶段： 第一阶段：金属块A完全浸没在水中时，随着时间t变大，h不变； 第二阶段：金属块A从开始部分露出水面，到完全露出水面，随着时间t变大，h逐步变小； 第三阶段：金属块A完全露出水面后，随着时间t变大，h保持不变． 故选D． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）周末，小亮8时骑自行车从家里出发到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离与时间之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象有下列说法： ①小亮行驶了14时后到达离家最远的地方； ②小亮一共休息了； ③11时到12时小亮的行驶速度，小于13时到14时他的行驶速度； ④返回时，小亮的平均速度为． 其中正确的说法有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①小亮在14时或行驶了小时后到达离家最远的地方，说法错误； ②小亮一共休息了，说法正确； ③11时到12时小亮的行驶速度为，小于13时到14时他的行驶速度为，则11时到12时小亮的行驶速度等于 13时到14时他的行驶速度，说法错误； ④返回时，小亮的平均速度为，说法正确； 综上可知，正确的说法有2个． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）在清明祭英烈活动中，某中学组织学生代表，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，历时50分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟，离学校的距离为米，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】分三个部分：第一部分从学校出发前往纪念馆，第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，第三部分从纪念馆返回学校，得出每个部分y随x的变化情况，结合函数图象可得答案． 【详解】解：整个函数图象可以分为三部分：第一部分从学校出发前往纪念馆，此时y随x的增大而增大； 第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，此时y不发生变化； 第三部分从纪念馆返回学校，此时y随x的增大而减小，且变化的速度比第一部分的慢； ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意； 知识点六 函数的表示方法 即学即练 1．（25-26八年级下·重庆·期中）下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【答案】C 【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断． 【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法适合直观展示变化趋势． 又∵ A选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B选项反映各月份的平均降雨量，为离散对应数据，优先选列表法；D选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法． C选项中h为定值，体积与底面半径有明确关系式，符合解析法的适用特征，优先用解析法． 2．（23-24八年级下·广东佛山·月考）已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长为10，得，整理得，根据矩形的长，宽都是正数，确定与坐标轴的交点都是空心点，解答即可． 本题考查了函数的表达式，图象的画法，熟练掌握表达式和画图象是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的周长为10， ∴， ∴， 根据矩形的长，宽都是正数， ∴与坐标轴的交点都是空心点， 故选：D． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断． 【详解】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． 题型01 函数的识别 代入一个x值，去求y的值，如果可以求出两个y值，那么就不是函数，否则就是函数关系式. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列曲线不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一判断即可求解，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 【详解】解：根据函数的定义可得： A、B、D都符合函数的定义，故不符合题意； C、对x的一个值y的值不是唯一的，则不能表示y是x的函数，故符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量 的每一个值， 都有唯一确定的值与之对应.在图象上体现为：作垂直于 轴的直线，该直线与函数图象最只有一个交点. A. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有多个交点，故 不是 的函数； B. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 不是 的函数； C. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 不是 的函数； D. 作垂直于 轴的直线，与图象只有一个交点，故 是 的函数. 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系中：①；②；③；④．其中y是x的函数的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义，解题思路是根据函数定义判断每个关系式：若对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】① 可整理为 ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故①中y是x的函数； ② ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故②中y是x的函数； ③ ，对任意不为0的x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故③中y是x的函数； ④，即 ，当x取正数值时，例如，可得或，一个x对应两个不同的y值，y不唯一， 故④中y不是x的函数； 因此y是x的函数的是①②③． 3．（25-26八年级下·北京·期中）对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（   ） A．圆的面积y与半径x B．乘坐摩天轮的游客离地面的高度y与时间x C．某天的气温y与时间x D．某款手机的销售量y与进货数量x 【答案】D 【分析】函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，否则y不是x的函数． 【详解】解：根据函数定义判断各选项: ∵选项A中，任意给定一个半径x，都有唯一确定的圆面积y与之对应，因此y是x的函数； 选项B中，任意给定一个时间x，都有唯一确定的游客高度y与之对应，因此y是x的函数； 选项C中，任意给定一个时间x，都有唯一确定的气温y与之对应，因此y是x的函数； 选项D中，任意给定一个进货数量x，销售量y不是唯一确定的值，不存在唯一的y与确定的x对应， ∴y不是x的函数的是D． 题型02 自变量和因变量的识别 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（    ） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．油量是常量 D．油量是单价的函数 【答案】A 【分析】此题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，此时y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义依次判断． 【详解】解：油量是自变量，金额是因变量，单价是常量，金额是油量的函数， 观察四个选项，只有A正确． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的面积 D．的长度 【答案】D 【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【详解】解：在转动过程中，的度数，的面积，的长度都在变化，属于变量， ∴常量为的长度． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 【答案】 x，y 10 【分析】根据变量与常量的定义，判断在放置书籍的过程中数值发生变化的量和保持不变的量，即可求解． 【详解】解：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量， 由题意可知，书的总数是固定不变的，所以常量为， 第一个抽屉放入的本数和第二个抽屉放入的本数会随着放置情况的不同而变化，所以变量为，． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是固定不变的量，变量是随过程变化的量是解题的关键．依据变量的概念，判断汽车匀速行驶过程中各量是否发生变化，进而确定变量的个数． 【详解】解：由于汽车匀速行驶，所以①行驶速度是常量，数值保持不变． ②行驶时间会随行驶过程持续变化，是变量． ③行驶路程随行驶时间的变化而变化，是变量． ④汽车油箱中的剩余油量随行驶时间的增加而减少，是变量． 综上，变量共有3个， 故答案为3个． 题型03 确定自变量的取值范围 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·河北衡水·期中）函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围. 【详解】解：要使函数有意义，根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数需大于0，即： 移项得 系数化为1得 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）函数，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：由题意得，，解得且． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，函数是分式，分母是二次根式，因此需要分母不为零，且被开方数大于或等于零，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，自变量x的取值需满足 即， 解得 ． 故答案为：． 题型04 求自变量的值或函数值 一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）根据如图所示的程序计算函数值．若输入的x的值为，则输出的函数值为________． 【答案】 【详解】解：若输入的x的值为，则输出的函数值为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 【答案】15 【分析】将的数值代入函数关系式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将代入得， 解得， 因此它的摄氏度数是． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点P离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题． (1)①由图2得，当时，______m；摩天轮转一圈需要______； ②在3到6分钟时，点P离地面高度y随着时间的增加而______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，______m； (3)摩天轮的周长为______m． 【答案】(1)①70；6；②减小 (2) (3) 【分析】（1）根据函数图像分析即可； （2）和时高度一致； （3）根据周长公式即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， ∴摩天轮转一圈需要， ②在3到6分钟时，点P离地面高度y随着时间的增加而减小； （2）解：由题可知，和时高度一致， 则当时，， 则当时，； （3）解：由题可知，摩天轮的直径为：， 则摩天轮的周长为：． 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 【答案】20 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据，落下的高度与时间满足关系，将代入即可求解． 【详解】解：观察表格，当时，， 当时，， 以此类推，， 当时，， 故果子开始落下时离地面的高度大约是20米． 故答案为：20． 4．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）已知函数，当时，函数值，则_________． （只填最后结果） 【答案】2 【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入到函数表达式中进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：2． 题型05 根据实际问题列函数关系式 探求实际问题中的函数关系式，与列方程相类似，关键是依照题意，找出两个变量之间的等量关系而建立函数关系式.在列函数关系式时，一般应指出自变量的取值范围.而对函数自变量取值范围的确定，应视实际问题的具体情况而定，但一般而言，自变量的起点值和令因变量为0而求得的自变量的相应值是两个具有重要意义的参考数据. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 【答案】 【分析】根据长方形的周长公式列出等式，整理即可得到与的关系式． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴ 整理得：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为_________． 【答案】 【分析】根据活动方案，应付款等于加上超出元的部分的费用之和，列出函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵超过100元的部分按八折优惠， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 【答案】 ，12 x，y 【详解】解：设x张白纸粘合后的总长度为， ∴， 其中常量是，12，变量是x，y． 3．（25-26七年级下·全国·周测）一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查用关系式表示变量间的关系，找到等量关系是解题的关键． 根据剩余油量总油量消耗油量，列出函数关系式即可． 【详解】解：总油量为，每行驶耗油， 行驶消耗油量为，因此剩余油量， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数表达式，解题关键是找到台阶数量与侧面宽度、竖直高度的关系． 【详解】解：∵每个台阶宽，侧面宽度为， ∴台阶的数量． 又∵每个台阶高，竖直高度为， ∴． 将代入，得． 故答案为：． 题型06 从函数图像中获取信息 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： 1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 【答案】D 【分析】根据当时，可判断A；求出每千米消耗的电量，再乘以即可判断B；求出消耗电量时，行驶的路程可判断C；根据当时，可判断D． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，， ∴电池电量最多可充，故A错误，不符合题意； ∵由函数图象可知，一次性充满电后，共享电动车最多行驶，电池能量最多， ∴ ∴， ∴共享电动车每行驶消耗电量，故B错误，不符合题意； ∵， ∴共享电动车充满电后，行驶超过将自动报警，故C错误，不符合题意． ∵由函数图象可知，当时，， ∴一次性充满电后，共享电动车最多行驶，故D正确，符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河北衡水·期中）甲、乙两车同时从A地出发前往B地，A，B两地相距，它们离出发地的距离与时间之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息，下列结论中错误的是（    ） A．乙车先到达B地 B．甲、乙两车相遇时，乙车的速度是 C．当时，乙车比甲车慢 D．两车行驶了相遇 【答案】D 【分析】根据函数图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：A、由图可知，乙车到达B地，甲车到达B地，则乙车先到达B地，故结论正确，不符合题意； B、两车相遇时乙车的速度为，故结论正确，不符合题意； C、由图象可知，当时，乙车的函数图象在甲车的下方，则乙车比甲车慢，故结论正确，不符合题意； D、由图象可知，甲车的速度为，当两车相遇时可得，解得，则两车行驶了相遇，故结论错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 【答案】①③④ 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离． 【详解】解：由题意可得， 甲货车的速度为：（米/分钟），故①正确； 由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（米/分钟），故②错误； 乙货车从B地到A地用的时间为：（分钟），故③正确； 当乙到达A地时，甲行驶时间为分钟，此时离B地的距离为（米），故④正确； 正确的有①③④． 3．（25-26八年级下·山东日照·期中）4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟； (3)图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； (4)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)5 (2)25 (3)2；15 (4)25米 【分析】（1）根据图象直接计算即可得到答案； （2）根据分钟图象数据求解即可得到答案； （3）根据（3）中的速度代入行程公式即可得到答案； （4）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可得： 分钟无人机在米高的上空停留， ∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟； （2）解：由分钟图象可得： 无人机的速度为：（米/分钟）； （3）解：由（2）可得， ，， 解得：，； （4）解：由（2）可得， ， ∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米）， 答：第分钟时无人机的飞行高度是米． 题型07 函数图像的识别 对于已知的函数图像，要弄清楚函数图像上点的意义，对于实际问题，要正确理解图像的横纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位，图像的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）某地一天内的气温与时刻之间的关系如图所示．令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数图象大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据的图像，分段分析时间段内的最高温度和最低温度，从而确定温差的变化情况，结合选项即可得出答案． 【详解】解：由图像可知：当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从上升到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从上升到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，为定值； 当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且 综上所述，的图像在上为水平线段，其余时间段递增，且． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为非0的定值，故选项A、D不合题意；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意；选项C不合题意； 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数与时间的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的识别，由铁块露出水面越多浮力越小得出答案是解题的关键．分析整个铁块上升的过程，由此即可得出结论． 【详解】解：当铁块上面的面还在水中时，弹簧秤的读数不变； 当铁块上面的面浮出水面，下面的面还在水下时，随着铁块上浮，弹簧秤的读数逐渐变大； 当铁块下面的面浮出水面时，弹簧秤的读数不变． 根据弹簧秤的读数保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．得出函数的图象．选项中C的图像与描述一致． 3．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    【答案】24.5 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据题意和函数图像可知圆柱容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为，从开始注水，到水刚漫过第一个实心圆柱用了9s，高度为，可先求出注水的速度为，再求出漫过“几何体”到注满所用时间，然后求和即可． 【详解】解：水流速度，则从实心圆柱上方至注满水所需时间为， ∴． 故答案为：24.5． 题型08 动点问题的函数图像 方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图像的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图像进行判断； 方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·海南·期中）如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的周长为 B．的面积为 C． D．秒时，线段最短 【答案】D 【分析】根据函数图象可知当时，点在上运动，即得，当时，点在上运动，保持不变，即得，再根据平行四边形的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动，保持不变， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ∴的周长，故选项正确； 当时，，即， 设为边上的高，则， ， ∴的面积，故选项正确； 当时，点在上运动， ∴运动时间为秒， ，故选项正确； 当 时，线段最短，此时， 在 中，∵，， ， 秒， 即秒时，最短，故选项错误． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发，沿匀速运动，回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（    ） A．27 B．27.5 C．28.5 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了动点函数图象，菱形的性质，三角形中位线的性质等，取的中点，连接，由三角形中位线的性质可得，且，得到，由函数图象可知，，进而由得，又由得，设，则，利用勾股定理可得，得到，，再根据解答即可求解，理解题意，看懂函数图象是解题关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 由三角形中位线的性质可得，且， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由函数图象可知，，， 由函数图象可得，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 由图象可知，当动点运动到点时，即为拐点， ∴， 故选：C． 2．（2026·甘肃平凉·一模）如图①，在矩形中，点N为的中点，点M以的速度沿从点A运动到点B，设A、M两点间的距离为，点M运动时y随x变化的关系图像如图②所示，则点M从点A运动到点B所需的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像的数据可得，，再代入消元解出，进而得到即可． 【详解】解：由图可知，当在点处时，， 即，则， 由图像可知：当点在点处时，， ，即， 把代入得， 整理得，解得或（舍去）， 点N为的中点， ， 则点M从点A运动到点B所需的时间为． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 【答案】/厘米 【分析】过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接，由函数图象得，点C到的距离是线段的长，进而求得，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H， 设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接， 由图2知，和时的函数值都为4，即，当时，函数值最小，即点C到的距离为线段的长， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 即点C到的距离是． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在中，，动点P和Q均从点A出发，沿的方向运动，两点出发后相遇时运动停止．已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍．记两点之间的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示． （1）______； （2）当两点停止运动时，______． 【答案】 2 【分析】（1）根据图2可得点Q在时候运动到点，即可解答； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点，计算此时的距离，即可解答． 【详解】解：（1）根据图2可得点Q在时候运动到点， ； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点， ， 此时， ， 点到达点C后其速度将变为每秒6个单位长度， ∴当两点停止运动时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 函数 22.1&22.2 函数的概念及表示 知识点一 变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 【补充】 1）变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. 2）区分常量和变量，要看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 即学即练 1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）已知某棵树苗的高度和生长月数之间满足，则下列说法正确的是（    ） A．9是变量 B．60是变量 C．是常量 D．和是变量 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．以上都不是 知识点二 函数 定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 【函数概念的解读】①有两个变量.②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化. ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应. 即学即练 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（  ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在式子①，②，③，④中，y是x的函数的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点三 函数自变量的取值范围 即学即练 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·海南·期中）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）函数 中自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 知识点四 函数的解析式 函数解析式：像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式或函数关系式. 【解读】函数解析式具有顺序性，通常函数解析式等号右边的代数式中的变量是自变量，等号左边的变量是因变量. 即学即练 1．（25-26八年级下·北京·期中）一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后，手表显示的电量为．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西忻州·三模）数学兴趣课上，同学们设计试验，探究沙漏下面瓶子内沙子的质量m（克）和沙子下漏的时间t（秒）之间的关系．某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内： 时间t（秒） 20 40 60 80 100 质量m（克） 11 17 23 29 35 则m与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 知识点五 函数的图像 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 函数图像上的点与其解析式之间的关系：函数图像上的任一点的横坐标与纵坐标一定是这个函数的自变量x和函数y的一对对应值；反之，以这一对对应值为横、纵坐标的点必在函数的图像上. 画函数图像的一般步骤: 1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. 3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来. 即学即练 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在物理课测量金属块A的体积实验中，将金属块A匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下列图象中，适合表示容器内液面高度h与金属块A被提起的时间t的对应关系是（   ） A．B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）周末，小亮8时骑自行车从家里出发到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离与时间之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象有下列说法： ①小亮行驶了14时后到达离家最远的地方； ②小亮一共休息了； ③11时到12时小亮的行驶速度，小于13时到14时他的行驶速度； ④返回时，小亮的平均速度为． 其中正确的说法有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）在清明祭英烈活动中，某中学组织学生代表，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，历时50分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟，离学校的距离为米，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A．B．C．D． 知识点六 函数的表示方法 即学即练 1．（25-26八年级下·重庆·期中）下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 2．（23-24八年级下·广东佛山·月考）已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A．B．C． D． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 题型01 函数的识别 代入一个x值，去求y的值，如果可以求出两个y值，那么就不是函数，否则就是函数关系式. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列曲线不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系中：①；②；③；④．其中y是x的函数的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 3．（25-26八年级下·北京·期中）对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（   ） A．圆的面积y与半径x B．乘坐摩天轮的游客离地面的高度y与时间x C．某天的气温y与时间x D．某款手机的销售量y与进货数量x 题型02 自变量和因变量的识别 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（    ） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．油量是常量 D．油量是单价的函数 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的面积 D．的长度 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 题型03 确定自变量的取值范围 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·河北衡水·期中）函数的自变量的取值范围是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）函数，自变量x的取值范围是________． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）在函数中，自变量的取值范围是________． 题型04 求自变量的值或函数值 一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）根据如图所示的程序计算函数值．若输入的x的值为，则输出的函数值为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点P离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题． (1)①由图2得，当时，______m；摩天轮转一圈需要______； ②在3到6分钟时，点P离地面高度y随着时间的增加而______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，______m； (3)摩天轮的周长为______m． 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 4．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）已知函数，当时，函数值，则_________． （只填最后结果） 题型05 根据实际问题列函数关系式 探求实际问题中的函数关系式，与列方程相类似，关键是依照题意，找出两个变量之间的等量关系而建立函数关系式.在列函数关系式时，一般应指出自变量的取值范围.而对函数自变量取值范围的确定，应视实际问题的具体情况而定，但一般而言，自变量的起点值和令因变量为0而求得的自变量的相应值是两个具有重要意义的参考数据. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为_________． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 3．（25-26七年级下·全国·周测）一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为____________． 4．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是__________． 题型06 从函数图像中获取信息 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： 1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河北衡水·期中）甲、乙两车同时从A地出发前往B地，A，B两地相距，它们离出发地的距离与时间之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息，下列结论中错误的是（    ） A．乙车先到达B地 B．甲、乙两车相遇时，乙车的速度是 C．当时，乙车比甲车慢 D．两车行驶了相遇 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 3．（25-26八年级下·山东日照·期中）4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟； (3)图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； (4)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 题型07 函数图像的识别 对于已知的函数图像，要弄清楚函数图像上点的意义，对于实际问题，要正确理解图像的横纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位，图像的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）某地一天内的气温与时刻之间的关系如图所示．令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数图象大致是（     ） A．B．C．D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数与时间的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    题型08 动点问题的函数图像 方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图像的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图像进行判断； 方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·海南·期中）如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的周长为 B．的面积为 C． D．秒时，线段最短 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发，沿匀速运动，回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（    ） A．27 B．27.5 C．28.5 D．30 2．（2026·甘肃平凉·一模）如图①，在矩形中，点N为的中点，点M以的速度沿从点A运动到点B，设A、M两点间的距离为，点M运动时y随x变化的关系图像如图②所示，则点M从点A运动到点B所需的时间为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在中，，动点P和Q均从点A出发，沿的方向运动，两点出发后相遇时运动停止．已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍．记两点之间的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示． （1）______； （2）当两点停止运动时，______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $