22.2.3 函数的表示方法-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.3 三角形的中位线三角形的中位线 一、学习目标 1. 掌握**三角形中位线的定义**，能准确区分三角形中位线与中线； 2. 3. 熟练掌握三角形中位线定理（位置关系+数量关系），理解定理的推导过程； 4. 5. 能运用三角形中位线定理进行证明、计算，解决与平行四边形结合的综合问题； 6. 7. 体会转化思想，能将三角形问题转化为平行四边形问题进行解决。 8. 二、知识回顾 1. 平行四边形核心判定与性质（推导定理必备） ① 判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ② 性质：平行四边形的对边平行且相等。 2. 三角形中线的定义 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线（铺垫：区分中位线与中线）。 三、三角形中位线的定义 文字语言：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 几何语言：在$$\triangle ABC$$中，点$$D$$、$$E$$分别是$$AB$$、$$AC$$的中点，连接$$DE$$，则线段$$DE$$是$$\triangle ABC$$的中位线。 注意1：一个三角形有3条中位线（连接三边中点，可画出3条中位线），3条中位线可将三角形分成4个全等的小三角形； 注意2：中位线 vs 中线（核心区别）：中位线连接两边中点，中线连接一个顶点和对边中点，二者端点位置不同，不可混淆； 注意3：三角形的中位线不与三角形的第三边相交，且始终在三角形内部。 四、三角形中位线定理（核心） 文字语言：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在$$\triangle ABC$$中，∵ 点$$D$$、$$E$$分别是$$AB$$、$$AC$$的中点（即$$DE$$是$$\triangle ABC$$的中位线），∴ $$DE\parallel BC$$，且$$DE=\frac{1}{2}BC$$。 补充：定理包含两层关系——① 位置关系：中位线∥第三边；② 数量关系：中位线长度=第三边长度的一半，二者缺一不可，运用时可根据需求选用其中一种关系。 五、定理推导（重点，利用平行四边形判定证明） 已知：在$$\triangle ABC$$中，点$$D$$、$$E$$分别是$$AB$$、$$AC$$的中点，连接$$DE$$。 求证：$$DE\parallel BC$$，且$$DE=\frac{1}{2}BC$$。 证明过程（构造平行四边形，转化思想）： 1. 延长$$DE$$到点$$F$$，使$$EF=DE$$，连接$$CF$$； 2. 在$$\triangle ADE$$和$$\triangle CFE$$中： $$\begin{cases} DE=EF（已作） \\ \angle AED=\angle CEF（对顶角相等） \\ AE=CE（E是AC中点） \end{cases}$$$$\begin{cases} DE=EF（已作） \\ \angle AED=\angle CEF（对顶角相等） \\ AE=CE（E是AC中点） \end{cases}$$$$\begin{cases} DE=EF（已作） \\ \angle AED=\angle CEF（对顶角相等） \\ AE=CE（E是AC中点） \end{cases}$$$$\begin{cases} DE=EF（已作） \\ \angle AED=\angle CEF（对顶角相等） \\ AE=CE（E是AC中点） \end{cases}$$$$\begin{cases} DE=EF（已作） \\ \angle AED=\angle CEF（对顶角相等） \\ AE=CE（E是AC中点） \end{cases}$$ 3. ∴ $$\triangle ADE\cong\triangle CFE（SAS）$$； 4. ∴ $$AD=CF$$，$$\angle ADE=\angle F$$（全等三角形对应边、对应角相等）； 5. ∴ $$AD\parallel CF$$（内错角相等，两直线平行）； 6. ∵ $$D$$是$$AB$$中点，∴ $$AD=BD$$，∴ $$BD=CF$$； 7. 又∵ $$BD\parallel CF$$，∴ 四边形$$BCFD$$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 8. ∴ $$DF\parallel BC$$，$$DF=BC$$（平行四边形对边平行且相等）； 9. ∵ $$DE=EF=\frac{1}{2}DF$$，∴$$DE\parallel BC$$，且$$DE=\frac{1}{2}BC$$（等量代换）。 补充推导方法：也可通过构造其他平行四边形（如延长DE至F，使EF=DE，连接AF、DC），或利用相似三角形性质进行证明，核心思路均为“转化为平行四边形问题”求解。 六、典型例题 例1（基础应用：定理直接运用） 在$$\triangle ABC$$中，$$DE$$是$$\triangle ABC$$的中位线，已知$$BC=10cm$$，求$$DE$$的长度；若$$DE\parallel BC$$，$$\angle ADE=60^\circ$$，求$$\angle B$$的度数。 解： ∵ $$DE$$是$$\triangle ABC$$的中位线， ∴ $$DE=\frac{1}{2}BC$$（三角形中位线定理）， 又∵ $$BC=10cm$$，∴ $$DE=\frac{1}{2}\times10=5cm$$； ∵ $$DE\parallel BC$$（三角形中位线定理）， ∴ $$\angle ADE=\angle B$$（两直线平行，同位角相等）， 又∵ $$\angle ADE=60^\circ$$，∴ $$\angle B=60^\circ$$。 例2（进阶应用：求边长与周长） 在$$\triangle ABC$$中，$$D$$、$$E$$、$$F$$分别是$$AB$$、$$AC$$、$$BC$$的中点，已知$$\triangle ABC$$的周长为$$36cm$$，求$$\triangle DEF$$的周长。 解： ∵ $$D$$、$$E$$、$$F$$分别是$$AB$$、$$AC$$、$$BC$$的中点， ∴ $$DE=\frac{1}{2}BC$$，$$EF=\frac{1}{2}AB$$，$$DF=\frac{1}{2}AC$$（三角形中位线定理）， ∴ $$\triangle DEF$$的周长$$=DE+EF+DF=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$$， 又∵ $$\triangle ABC$$的周长为$$36cm$$，即$$AB+BC+AC=36cm$$， ∴ $$\triangle DEF$$的周长$$=\frac{1}{2}\times36=18cm$$。 例3（综合应用：与平行四边形结合） 如图，在四边形$$ABCD$$中，$$E$$、$$F$$、$$G$$、$$H$$分别是$$AB$$、$$BC$$、$$CD$$、$$DA$$的中点，求证：四边形$$EFGH$$是平行四边形。 解： 连接$$AC$$， ∵ $$E$$、$$F$$分别是$$AB$$、$$BC$$的中点， ∴ $$EF$$是$$\triangle ABC$$的中位线，∴ $$EF\parallel AC$$，且$$EF=\frac{1}{2}AC$$（三角形中位线定理）； 同理，∵$$G$$、$$H$$分别是$$CD$$、$$DA$$的中点， ∴ $$GH$$是$$\triangle ADC$$的中位线，∴ $$GH\parallel AC$$，且$$GH=\frac{1}{2}AC$$； ∴ $$EF\parallel GH$$，且$$EF=GH$$， ∴ 四边形$$EFGH$$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 七、易错提醒 1. 混淆三角形中位线与中线：牢记“中位线连两边中点，中线连顶点与对边中点”，避免误用； 2. 3. 运用定理时遗漏条件：必须明确“线段是三角形的中位线”（即端点是两边中点），才能套用“平行且等于第三边一半”的结论； 4. 5. 错误理解定理：中位线是“等于第三边的一半”，而非“第三边是中位线的一半”，计算时注意比例关系； 6. 7. 综合应用中，忘记构造辅助线（如连接三角形的对角线），无法将问题转化为平行四边形或三角形问题求解。 8. 八、课堂练习 1. 在$$\triangle ABC$$中，$$DE$$是中位线，若$$DE=5cm$$，则$$BC=$$________$$cm$$；若$$\angle C=70^\circ$$，$$DE\parallel BC$$，则$$\angle AED=$$________$$^\circ$$。 2. 3. 已知$$\triangle ABC$$的三边长分别为$$6cm$$、$$8cm$$、$$10cm$$，则连接三边中点所得三角形的周长为________$$cm$$。 4. 5. 如图，在$$\triangle ABC$$中，$$D$$、$$E$$分别是$$AB$$、$$AC$$的中点，$$CF\parallel AB$$，交$$DE$$的延长线于点$$F$$，求证：$$DE=EF$$。 6. 九、课堂小结 1. 核心概念：三角形中位线（连接两边中点的线段），区分于三角形中线； 2. 核心定理：三角形中位线∥第三边，且等于第三边的一半（两层关系：位置+数量）； 3. 推导思路：通过构造平行四边形，将三角形问题转化为平行四边形问题，体现转化思想； 4. 应用场景：求线段长度、角度、三角形周长，解决与平行四边形结合的综合问题。 教学设计 教学目标 课题 21.2.3 三角形的中位线 授课人 素养目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 2.通过对三角形中位线的观察、测量获得猜想，进一步验证猜想，提高学生合情推理能力和逻辑思维能力. 3.能熟练运用三角形的中位线定理进行证明和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点 三角形中位线定理的理解及应用. 教学难点 三角形中位线定理的探索和证明. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 如图，将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何切割?这个问题与三角形的中位线有关，学完本节课就可以解决这个问题. 【教学建议】 从 实 际 问 题 出 发，引导学生思考，留下疑问. 设计意图 借助生活情境引入对三角形中位线的探究. 活动二：动手操作，探究新知 探究点 1 三角形的中位线的概念 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边AB,AC 的中点,连接DE. 概念引入：像DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 思考： 1.一个三角形有几条中位线?自己试着画一画. 答：一个三角形有三条中位线. 2.三角形的中位线和中线一样吗? 答：不一样.三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，而中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段. 【教学建议】 提醒学生注意中位线与中线的区别，可以动手画出三角形的各条中线及中位线，以加深印象. 设计意图 让学生了解三角形的中 位 线 的概念. 设计意图 探究点 2 三角形的中位线定理 在纸上画一个三角形，记作△ABC，分别取AB，AC 边的中点D,E,连接DE. 1.借助量角器测量∠ADE 与∠B 的大小,并猜想 DE 与 BC之间的位置关系. 答:∠ADE=∠B,由同位角相等,两直线平行,猜想 DE∥BC. 2.用直尺分别测量 DE 与BC 的长，它们之间存在怎样的数量关系? 答： 下面我们来证明上面的结论. 如图,D,E 分别是△ABC 的边AB,AC 的中点.求证:DE∥BC,且 证法1:如图①,延长DE 到点F,使 EF=DE,连接FC,DC,AF. ∵AE=EC,DE=EF, ∴四边形 ADCF 是平行四边形.∴CF⊥DA. 【教学建议】 学生自己动手操作，验证三角形的中位线定理，通过证明三角形的中位线定理巩固前面所学的平行四边形的判定定理和性质定理，加强知识之间的联系. 利用动手操作和几何证明探究三角形的中位线定理，引导学生发现三角形的中位线与平行四边形之间的紧密联系. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 又 D 是 AB 的中点,∴CF⊥BD. ∴四边形 DBCF 是平行四边形.∴DF⊥BC. 又 ∴DE∥BC,且 证法2:如图②,延长DE 到点 F,使 EF=DE,连接FC. ∵AE=CE,∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS). ∴AD=CF,∠ADE=∠F.∴AD∥CF. 又AD=BD,∴BD⊥CF. ∴四边形 BCFD 是平行四边形.∴DF⊥BC. 又DE= DF,∴DE∥BC,且 归纳总结：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 【对应训练】 1.如图,D,E,F 分别是△ABC 各边的中点,且 AB=11cm,BC=8cm,AC=6cm,则DE= 3 cm,DF= 4 cm,EF= 5.5 cm,△DEF 的周长是 12.5 cm. 2.教材P65练习第1,3题. 3.解答活动一中提出的问题. 解：沿三角形的三条中位线切割即可. 如图，D，E，F 分别是AB，AC，BC 的中点，根据三角形的中位线定理，易证△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. 活动三：巩固新知，灵活运用 例 (教材P64例6)求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形. 证明：连接AC. ∵AH=HD,CG=GD, ∴HG∥AC,且 同理EE∥AC,且 ∴HG⊥EF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 【对应训练】 1.教材P65练习第2题. 【教学建议】 提醒学生：(1)遇到两边中点，可考虑三角形的中位线，若题中没有对应的三角形，可考虑作辅助线，以构造合适的三角形；(2)需注意的是，当在多个三角形中运用中位线定理时，三角形的公共边是一个关键的突破口，它能作为桥梁，建立不同中位线之间的关系. 设计意图 加强学生对三角形中位线定理的理解与运用. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 2.如图,在▱ABCD 中,E 是 AD 的中点,点 F 在BA 的延长线上,且 AF= AB,连接EF,BD. (1)请用无刻度的直尺作出△ABD 中与AB 平行的中位线EG(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的基础上，判断四边形 AGEF 的形状，并说明理由. 解:(1)如图,EG 即为所求. (2)四边形 AGEF 是平行四边形.理由如下： ∵EG 是△ABD 的中位线, 又 又 EG∥AF,∴四边形 AGEF 是平行四边形. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是三角形的中位线?三角形的中位线定理是什么?怎么证明三角形的中位线定理? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P66习题21.2第6题,教材P81习题21.3第17 题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 21.2.3 三角形的中位线 1.三角形的中位线的概念. 2.三角形的中位线定理. 教学反思 本节课利用实际情境引入新课，为学生提供自主探索的空间，通过动手操作引导学生探究三角形的中位线定理，增强了课堂的趣味性. 学科网（北京）股份有限公司 $