10.3 几个三角恒等式 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.3　几个三角恒等式 A层 基础达标练 1.若cos 2α=-,且α∈[,π],则sin α=(　　) A. B. C. D.- 2.已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)=(　　) A. B.- C. D.- 3.设5π<θ<6π,cos =a,则sin 等于(　　) A. B. C.- D.- 4.计算:=　　　　　.  5.已知A+B+C=180°,求证:sin A+sin B+sin C=4coscoscos. B层 能力提升练 6.若sin 74°=m,则cos 8°=(　　) A. B.± C. D.± 7.若3π<x<4π,则=(　　) A.cos() B.-cos() C.sin() D.-sin() 8.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　) A.- B.- C. D. 9.(多选题)下列四个关系式中错误的是(　　) A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ D.sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ 10.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,则tan(α+β)的值为　　　　.  11.已知2cos(2x+)cos(x-)-cos 3x=,则sin(-2x)=　　　　.  12.化简:=　　　　.　  13.设cos(x+y)sin x-sin(x+y)cos x=,且y是第四象限角,求tan 的值. C层 拓展探究练 14.若锐角α满足,则角α的度数为　　　.  15.由公式cos 2x=2cos2x-1,可知cos 2x可以表示为关于cos x的二次多项式.对于cos 3x,我们有cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2(sin xcos x)·sin x=2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x. 可见cos 3x可以表示为关于cos x的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cos nx=Pn(cos x),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式. (1)请求出P4(t),即用一个cos x的四次多项式来表示cos 4x; (2)利用结论cos 3x=4cos3x-3cos x,求出sin 18°的值. 参考答案 1.A　因为α∈[,π],所以sin α≥0.由半角公式可得sin α=故选A. 2.D　因为cos α+cos β=,所以2coscos因为α-β=,所以,所以cos,所以cos,所以cos(α+β)=2cos2-1=-故选D. 3.D　∵5π<θ<6π,, ∴sin =-=-故选D. 4 5.证明 因为A+B+C=180°,所以C=180°-(A+B),=90°-, 所以sin A+sin B+sin C=2sincos+sin(A+B)=2sincos+2sincos=2sin(cos +cos)=2sin2coscos=2sin(90°-)·2coscos=4coscoscos 6.C　∵sin 74°=m=cos 16°,∴cos 8°=故选C. 7.C　因为3π<x<4π, 所以<2π,所以sin<0,cos>0. 于是=|cos|+|sin| =cos-sincossin) =sin().故选C. 8.D　∵α,β∈(0,π),∴sin α+sin β>0.∵sin α+sin β=(cos β-cos α),∴cos β-cos α>0,∴cos β>cos α.又∵y=cos x在(0,π)上单调递减,∴β<α,∴0<α-β<π,0<<π.由原式可知2sincos=-2sinsin2sinsin,∴tan,,故α-β=故选D. 9.BCD　利用和差化积公式得sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ,A正确;B错误,右边应是2sin 4θsin θ;C错误,右边应是-2cos 4θsin θ;D错误,由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论,如果从和差化积角度考虑,左边为异名三角函数,要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积,即sin 5θ+cos 3θ=sin 5θ+sin(-3θ)=2sin(θ+)cos(4θ-).故选BCD. 10　由sin α+sin β=,cos α+cos β=,得2sincos,2coscos,两式相除得,tan,则tan(α+β)= 11.-　因为2cos(2x+)cos(x-)-cos 3x=cos 3x+cos(x+)-cos 3x=, 所以cos(x+)=,则sin(-2x)=cos[-(-2x)]=cos(2x+)=2cos2(x+)-1=- 12.tan 　原式==tan 故答案为tan 13.解 因为cos(x+y)sin x-sin(x+y)cos x=,所以sin[x-(x+y)]=sin(-y)=-sin y=,即sin y=- 因为y是第四象限角,所以cos y=, 由半角公式得tan =-=- 14.50°　原式可化为-2=2tan 10°=2tan 10°+2=2+2tan 10°⇒sin α==cos 40°=sin 50°.因为α为锐角,所以α=50°.故答案为50°. 15.解 (1)cos 4x=cos(2×2x)=2cos22x-1=2(2cos2x-1)2-1=2(4cos4x-4cos2x+1)-1=8cos4x-8cos2x+1. (2)∵sin 36°=cos 54°,cos 54°=4cos318°-3cos 18°, ∴sin 36°=2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°, ∴2sin 18°=4cos218°-3, ∴4sin218°+2sin 18°-1=0,∴sin 18°= 5 学科网（北京）股份有限公司 $