10.3几个三角恒等式同步练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

苏教版高一下册数学必修第二册-10.3几个三角恒等式 同步练习 [A　基础达标] 1．函数f(x)＝cos x sin 的最小正周期为(　　) A．4π B．2π　　　 C．π　 D． 2．若cos 2α＝－且α∈，则sin α＝(　　) A． B． C． D．－ 3．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos (α＋β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 4．已知sinα＝－，α是第三象限角，则tan ＝(　　) A．±2 B．± C．－2 D．－ 5．已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 6．已知sin α＝－且π＜α＜，则sin ＝________． 7．已知sin ＝，则cos2＝________． 8．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan (α＋β)的值为________． 9．化简：(0<α<π). 10．已知A＋B＋C＝180°，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos cos . [B　能力提升] 11．(多选)下列四个关系式中错误的是(　　) A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ 12．设cos (x＋y)sin x－sin (x＋y)cos x＝，且y是第四象限角，则tan 的值是(　　) A．－ B．± C．－ D．± 13．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　) A．tan (α＋β)＝3tan (α－β) B．tan (α＋β)＝2tan (α－β) C．3tan (α＋β)＝tan (α－β) D．3tan (α＋β)＝2tan (α－β) 14．f(x)＝－2sin sin ＋sin2＋sincos . (1)若f>，求x的取值范围； (2)若f(α)＝，cos ＝－，且<α<，<β<，求sin (α－β). [C　拓展探究] 15．已知点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？ 参考答案 [A　基础达标] 1．解析：选C．由积化和差公式可以得到函数f(x)＝sin ＋，其最小正周期为T＝＝π.故选C． 2．解析：选A．因为α∈，所以sin α≥0.由半角公式可得sin α＝＝. 3．解析：选D．因为cos α＋cos β＝， 所以2cos cos ＝. 因为α－β＝，所以＝，所以cos ＝.所以cos ＝， 所以cos (α＋β)＝2cos2－1＝－.故选D． 4．解析：选C．因为sin α＝－，α是第三象限角，所以cos α＝－，由半角公式tan ＝－2，故选C． 5．解析：选B．设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝.又β＝－，所以cos β＝cos ＝sin ＝ ＝，故选B． 6．解析：因为sin α＝－，π＜α＜， 所以cos α＝－.又＜＜， 所以sin ＝ ＝ ＝. 答案： 7．解析：因为cos＝sin ＝sin ＝， 所以cos2＝＝＝. 答案： 8．解析：由sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝得， 2sin cos ＝，2cos cos ＝，两式相除得，tan ＝，则 tan (α＋β)＝＝＝. 答案： 9．解：因为tan ＝， 所以(1＋cos α)tan ＝sin α. 又因为cos ＝－sin α， 且1－cos α＝2sin2， 所以原式＝＝＝－. 因为0＜α＜π， 所以0＜＜.所以sin ＞0. 所以原式＝－2cos . 10．证明：因为A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－(A＋B)，＝90°－， 所以sin A＋sin B＋sin C＝2sin cos ＋sin (A＋B)＝2sin cos ＋2sin cos ＝2sin ·＝2sin ×2cos cos ＝2sin ×2cos ·cos ＝4cos cos cos . [B　能力提升] 11．解析：选BCD．利用和差化积公式得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，A正确；B错误，右边应是2sin 4θsin θ；C错误，右边应是－2cos 4θsin θ；D错误，由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑．左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin ＝2sin cos .故选BCD． 12．解析：选A．因为cos (x＋y)sin x－sin (x＋y)·cos x＝， 所以sin y＝sin [(x＋y)－x]＝sin (x＋y)cos x－cos (x＋y)sin x＝－， 因为y是第四象限角，所以cos y＝＝＝， 由半角公式得tan ＝＝＝－×＝－，故选A． 13．解析：选A．因为sin 2α＝2sin 2β， 所以＝ ＝＝＝3，即tan (α＋β)＝3tan (α－β)，故选A． 14．解：(1)f(x)＝－2×＋＋sin x. ＝cos x＋sin x＝sin (x＋). 若f>，则×sin x>，sin x>， 所以x∈(k∈Z). (2)f(α)＝sin ＝，sin＝， 因为<α<，所以<α＋<π，cos ＝－， 因为<β<，所以0<β－<π，sin ＝， sin (α－β＋π)＝sin ＝sin cos －cos ·sin ＝－， sin (α－β)＝－sin (α－β＋π)＝. [C　拓展探究] 15．解：如图所示．因为AB为半圆的直径， 所以∠APB＝.又AB＝1， 所以PA＝cos α，PB＝sin α. 又PT切半圆于P点， 所以∠TPB＝∠PAB＝α. 所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin α ＝sin αcos α＋sin2α＝sin2α＋(1－cos 2α) ＝sin ＋. 因为0＜α＜， 所以－＜2α－＜， 所以当2α－＝， 即α＝时，S四边形ABTP取得最大值＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$