10.2 二倍角的三角函数 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.2　二倍角的三角函数 A层 基础达标练 1.sin 15°sin 105°的值是(　　) A. B.- C. D.- 2.下列各式的值等于的是(　　) A.sin 15°cos 15° B.cos2-sin2 C. D.2cos215°-1 3.已知tan α=-2,则sin 2α=(　　) A.- B.- C. D. 4.=(　　) A.-2cos 5° B.2cos 5° C.-2sin 5° D.2sin 5° 5.若,则tan 2α=(　　) A.- B. C.- D. 6.已知θ∈(0,π),且cos θ=-,则cos(2θ-)=　　　　.  7.已知sin -2cos =0. (1)求tan x的值; (2)求的值. B层 能力提升练 8.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则=(　　) A.4 B.+1 C.2 D.-1 9.已知sin θ+cos θ=(0<θ<π),则cos 2θ=(　　) A.± B.- C.± D.- 10.已知sin(α-)=,则cos(2α+)=(　　) A. B.- C. D.- 11.(2023新高考Ⅰ)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C. - D. - 12.(多选题)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x,若α∈(0,π),且f(α)=,则α的值为(　　) A. B. C. D. 13.若tan 10°-1=0,则实数m的值为(　　) A.3 B.2 C. D.1 14.(多选题)下列计算或化简结果正确的是(　　) A.=2 B.若sin αcos α=,则tan α+=2 C.若tan α=,则=1 D.若α为第一象限角,则 15.已知θ∈(,π),=2,则sin 2θ=　　　　,sin(2θ+)=　　　　.  16.设函数f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωx·cos ωx+λ的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的最值. C层 拓展探究练 17.如图所示,在点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿由点B到点E的方向前行30 m至点C,测得顶端A的仰角为2θ,再沿刚才的方向继续前行10 m到点D,测得顶端A的仰角为4θ.求θ的大小和建筑物AE的高. 18.如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD并开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?最大值是多少? (2)沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D,如何选择A,D的位置,使步行小路的距离最远? 参考答案 1.A　因为sin 105°=sin(90°+15°)=cos 15°, 所以sin 15°sin 105°=sin 15°cos 15°=sin 30°= 故选A. 2.C　对于A,sin 15°cos 15°=sin 30°=,故A不正确;对于B,cos2-sin2=cos ,故B不正确;对于C,tan 45°=,故C正确;对于D,2cos215°-1=cos 30°=,故D不正确.故选C. 3.A　∵tan α=-2,则sin 2α==-故选A. 4.C　原式=(cos 50°-sin 50°)=2×(cos 50°-sin 50°)=2sin(45°-50°)=-2sin 5°.故选C. 5.B　等式左边的分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0),得,解得tan α=-3, ∴tan 2α=故选B. 6　由θ∈(0,π),且cos θ=-,可得sin θ=,故sin 2θ=2sin θcos θ=-,则cos=-sin 2θ= 7.解 (1)由sin -2cos =0,知cos 0, ∴tan =2,∴tan x==- (2)由(1)知tan x=-, = = = = 8.C　由题可知2sin 18°=m=,所以m2=4sin218°.则=2.故选C. 9.D　由sin θ+cos θ=两边平方得,sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=, 即2sin θcos θ=-<0,而0<θ<π,sin θ>0,则cos θ<0, 因此sin θ-cos θ=, 所以cos 2θ=cos 2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)==-故选D. 10.D　因为cos(2α+)=cos[2(α+)]=2cos2(α+)-1,sin(α-)=,cos(α+)=cos(+α-)=-sin(α-)=-,所以cos(2α+)=2×(-)2-1=-故选D. 11.B　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,而cos αsin β=,所以sin αcos β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2故选B. 12.AC　由题意知f(x)=cos 2xsin 2x+cos 4x =sin 4x+cos 4x=sin 4x+cos 4x) =sin, 所以f(α)=sin,即sin(4α+)=1, 所以4α++2kπ,k∈Z,即α=,k∈Z. 因为α∈(0,π),所以α=或α=故选AC. 13.D　m=cos 40°(1+tan 10°)=cos 40°=cos 40°=cos 40°=1.故选D. 14.ABD　对于A,=2,故A正确;对于B,tan α+=2,故B正确;对于C,=2,故C错误;对于D,由α为第一象限角,则cos α>0,sin α>0,则)=,故D正确.故选ABD. 15.-=2=2sin θ+cos θ=2sin θcos θ⇒1+sin 2θ=2sin22θ. 因为θ∈(,π(,所以2θ∈(π,2π),sin 2θ=-,可得2sin θcos θ<0,即sin θ+cos θ<0, 所以θ∈(,π),所以2θ∈(,2π),所以cos 2θ=, 所以sin(2θ+)=sin 2θcos+cos 2θsin 16.解 (1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωxcos ωx+λ=sin 2ωx-cos 2ωx+λ=2(sin 2ωx-cos 2ωx)+λ=2sin+λ. 因为f(x)的图象关于直线x=π对称, 所以2πω-+kπ(k∈Z), 所以ω=(k∈Z). 又,令k=1,ω=符合要求, 所以函数f(x)的最小正周期为 (2)因为f=0, 所以2sin+λ=0,则λ=-, 所以f(x)=2sin 由0≤x,知-x-, 所以当x-=-,即x=0时,f(x)取最小值-1-; 当x-,即x=时,f(x)取最大值2- 17.解 因为∠ACD=θ+∠BAC=2θ, 所以∠BAC=θ,所以AC=BC=30 m. 又∠ADE=2θ+∠CAD=4θ,所以∠CAD=2θ, 所以AD=CD=10 m. 所以在Rt△ADE中,AE=AD·sin 4θ=10sin 4θ(m). 在Rt△ACE中,AE=AC·sin 2θ=30sin 2θ(m), 所以10sin 4θ=30sin 2θ, 即20sin 2θcos 2θ=30sin 2θ,所以cos 2θ= 又2θ∈(0,),所以2θ=,所以θ= 所以AE=30sin=15(m). 所以θ=,建筑物AE的高为15 m. 18.解 (1)连接OB,如图所示,设∠AOB=θ,则AB=OBsin θ=20sin θ,OA=OBcos θ=20cos θ,且, 因为点A,D关于原点对称, 所以AD=2OA=40cos θ, 设矩形ABCD的面积为S, 则S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ, 因为,可得2θ∈(0,π), 所以当sin 2θ=1,2θ=, 即θ=时,Smax=400 m2,此时AO=DO=10 m, 故当点A,D距离圆心O为10 m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400 m2. (2)由(1)知AB=20sin θ,AD=40cos θ, 所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ =40sin θ+cos θ) =40sin, 又,所以θ+, 当θ+,即θ=时,(AB+BC+CD)max=40, 此时AO=DO=10 m, 即当点A,D距离圆心O为10 m时,步行小路的距离最远. 9 学科网（北京）股份有限公司 $