10.1.3 两角和与差的正切分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.1.3　两角和与差的正切 A层 基础达标练 1.tan 255°=(　　) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 2.已知cos(+α)=2cos(π-α),则tan(-α)=(　　) A.-4 B.4 C.- D. 3.已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.(多选题)下列式子结果为的是(　　) A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35° B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°) C. D. 5.已知α+β=,则(1+tan α)(1+tan β)的值是　　　　.  6.如图,某书中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思如下:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断尖端落在地上,竹尖与竹根的距离为三尺,问折断处离地面的高为多少尺?现假设折断的竹子与地面的夹角(锐角)为θ,则tan=　　　　.  7.已知α,β∈(0,),且sin(α+2β)=sin α. (1)求证:tan(α+β)=6tan β; (2)若tan α=3tan β,求α的值. B层 能力提升练 8.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=(　　) A. B. C. D. 9.(多选题)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是(　　) A.A+B=2C B.tan(A+B)=- C.tan A=tan B D.cos B=sin A 10.(多选题)已知不等式x2+16x+2<0的解集为(tan α,tan β),则(　　) A.tan α+tan β=16 B.tan αtan β=2 C.tan(α+β)=16 D.=-8 11.已知tan α=,tan(β-α)=-2,且<β<π,则β的值是　　　　.  12.(1+tan 19°)(1+tan 26°)的值为　　　　.  13.已知α+β+γ=π,β为锐角,tan α=3tan β,当tan β=　　　　时,取最小值　　　　. 14.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为. (1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值. C层 拓展探究练 15.三国时期东吴的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若小正方形面积为1,大正方形面积为25,直角三角形中较大的锐角为θ,则tan(θ-)=(　　) A.2 B. C. D. 16.如图所示,某学校积极开展美丽校园建设,现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设小型生态园,点M,N分别在边AB,AD上. (1)当点M,N分别是边AB的中点和AD靠近D的三等分点时,求∠MCN的余弦值; (2)实地勘察后发现,由于地形等原因,△AMN的周长必须为1.2千米,请研究∠MCN是否为定值,若是,求此定值;若不是,请说明理由. 参考答案 1.D　tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)==2+故选D. 2.C　因为cos(+α)=2cos(π-α),所以-sin α=-2cos α⇒tan α=2,所以tan(-α)==- 3.D　∵2tan θ-tan(θ+)=2tan θ-=7,∴2tan θ(1-tan θ)-(tan θ+1)=7-7tan θ,整理得(tan θ-2)2=0,∴tan θ=2.故选D. 4.ABC　对于选项A,利用正切的变形公式可得原式=;对于选项B,原式可化为2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=;对于选项C,原式==tan 60°=;对于选项D,原式==tan(45°-15°)=tan 30°=故选ABC. 5.2　因为α+β=,可得tan(α+β)=tan=1, 又由tan(α+β)==1,可得tan α+tan β=1-tan αtan β,即tan α+tan β+tan αtan β=1, 所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=2. 6.-　由题意,设折断处离地面的高为x尺,则由勾股定理得x2+32=(10-x)2,化简得20x=91,解得x=所以tan θ=,所以tan=-故答案为- 7.(1)证明 由sin(α+2β)=sin α,得sin[(α+β)+β]=sin[(α+β)-β], 整理得6cos(α+β)sin β=sin(α+β)cos β. 又α,β∈(0,),所以两边同时除以cos(α+β)cos β得,tan(α+β)=6tan β. (2)解 由(1)知=6tan β,又tan α=3tan β, 所以=2tan α,整理得tan α(tan2α-1)=0. 又α∈(0,),所以tan α=1,所以α= 8.B　由题可知∠DEA=,tan ∠CEB=,所以有tan∠CED=tan(∠DEA-∠CEB)=tan,再根据同角三角函数关系式,可求出sin∠CED=故选B. 9.CD　∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C, ∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误; ∵tan(A+B)=, ∴tan A+tan B=(1-tan Atan B)=, ∴tan Atan B=,　① 又tan A+tan B=,　② ∴联立①②解得tan A=tan B=,即A=B=30°, ∴cos B=sin A,故选项C,D正确.故选CD. 10.BCD　因为不等式x2+16x+2<0的解集为(tan α,tan β),所以tan α+tan β=-16,tan αtan β=2,所以选项A错误,选项B正确;又tan(α+β)==16,所以选项C正确;因为=-8,所以选项D正确.故选BCD. 11　tan β=tan[α+(β-α)]==-1.又因为<β<π,所以β= 12.2　tan 45°=tan(19°+26°)==1, 得tan 19°+tan 26°=1-tan 19°·tan 26°, ∴(1+tan 19°)(1+tan 26°)=1+tan 19°+tan 26°+tan 19°·tan 26°=1+1-tan 19°·tan 26°+tan 19°·tan 26°=2.故答案为2. 13　∵α+β+γ=π, ∴tan γ=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=-=-,, 当且仅当tan β=,即tan β=时取等号, 所以的最小值为 14.解 (1)由条件得cos α=,cos β=, ∵α,β为锐角,∴sin α=,sin β=, ∴tan α=7,tan β= ∴tan(α+β)==-3. (2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β] ==-1, ∵α,β为锐角,∴0<α+2β<,∴α+2β= 15.D　如图,设BC=x,AC=y(y>x),则解得所以tan θ= 所以tan(θ-)=故选D. 16.解 (1)当点M,N分别是边AB的中点和AD靠近D的三等分点时,tan∠DCN=,tan∠MCB=, 所以tan(∠DCN+∠MCB)==1, 所以∠DCN+∠MCB=,所以∠MCN=, 所以cos∠MCN= (2)设AM=x,AN=y,则MN2=x2+y2=(1.2-x-y)2,可得xy=1.2(x+y)-0.72, 又tan∠DCN=,tan∠MCB=, 所以tan(∠DCN+∠MCB)=,将xy=1.2(x+y)-0.72代入上式,计算得tan(∠DCN+∠MCB)=1, 所以∠DCN+∠MCB=,所以∠MCN=为定值. 8 学科网（北京）股份有限公司 $