精品解析：四川省成都市青羊实验中学2025--2026学年下学期七年级 数学 期中试卷

七年级数学 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，，∴A错误； 对于选项B，，∴B错误； 对于选项C，，∴C错误； 对于选项D，，∴D正确． 2. 现藏于成都金沙遗址博物馆的“太阳神鸟”金饰为商周时期的文物，它的加工采用了热锻、锤摸、剪切、打磨、镂空等多种工艺，厚度仅有米，体现了我国古代匠人的高超技艺，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将数据用科学记数法表示为． 3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式为，即两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐一判断选项即可． 【详解】A、，两项都互为相反数，没有相同项，不能用平方差公式计算，不符合要求； B、，两项都相同，没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合要求； C、，相同项是，相反项是和，符合平方差公式的结构特点，能用平方差公式计算，符合要求； D、 ，不存在完全相同的项，不能用平方差公式计算，不符合要求； 故选：C． 4. 下列各图中，正确画出边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高线，熟练掌握三角形高线的画法是解题的关键；因此此题可根据三角形的高线进行排除选项即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段”可知只有D选项符合边上的高； 故选D． 5. 如图，下列条件能判断两直线和平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，依据平行线的判定一一判断各选项即可． 【详解】解：， ，选项不符合题意； ， ，选项不符合题意； ， ，选项符合题意； ，无法判断两直线平行，选项不符合题意． 6. 如图，空调外机安装在墙壁上时，有时会用三角形支架固定在墙壁上，这种做法蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 用三角形支架把空调外机固定在墙壁上，是应用了三角形的稳定性． 【详解】由图可知，这种方法蕴含的数学原理是：三角形的稳定性． 故选：C． 7. 下列结论正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两点之间的线段的长度就是这两点间的距离 C. 同位角相等 D. 三角形的三条角平分线交于三角形外部一点 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如两个不同位置的直角相等但不是对顶角，∴A错误； B、根据两点间距离的定义，两点之间的线段的长度就是这两点间的距离，∴B正确； C、∵只有两直线平行时，同位角才相等，未给出前提条件时同位角相等的结论不成立，∴C错误； D、∵三角形的三条角平分线一定交于三角形内部一点，∴D错误． 8. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知：，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据得到，根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 若一个角的余角为，则这个角的度数为_____． 【答案】##54度 【解析】 【分析】本题考查余角的定义．根据两个角的和是，那么这两个角互为余角解答即可． 【详解】解：根据余角的定义知，这个角的度数为， 故答案为：． 11. 已知，则的值为__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解：， ∴． 12. 若是一个完全平方式，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ， 解得 故答案为： 13. 将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为__________度． 【答案】72 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如下图所示，设折叠前长方形上边虚线部分上一点为 ，   四边形是长方形纸片折叠而成，   折叠前上边平行于下边，  ， 由折叠的性质可知， ， ， ， 在 中，． 三、解答题（共7小题） 14. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ； ∴当时，则原式． 16. 如图，已知． （1）填空求证：； 证明：∵， ∴_________， ∴_________（_________________________）， ∵， ∴_________， ∴（_________________________）． （2）若平分，于点，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质与判定进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为39米． （1）猜想、两点间的距离为___________米． （2）请你利用数学方法说明此方案正确的理由 【答案】（1）39 （2） 解：理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴测得的长就是A、B两点间的距离，即39米． 【解析】 【分析】证明，推出，即可得到结论． 【小问1详解】 解：猜想、两点间的距离为39米； 【小问2详解】 略 18. 如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，分别在射线上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的角平分线与的角平分线相交于点，求证与之间的数量关系； （3）如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的边，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1） 解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2） 解：，理由如下： 如图，延长交于点G，设、交于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）延长交于点G，设、交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （3）分四种情况，分别画出图形，表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，则 ∴，， 由题意可知，， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时， ， ∴， 如图，当时，， ， ∴； 综上所述，或或或． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 20. 有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴可知，，进而可得，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，，， ∴ ． 21. 已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用配方法把已知式子化为平方和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值．然后根据等腰三角形的定义进行分类计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当a为腰时，，不能构成三角形； ②当b为腰时，该三角形的周长为：． 故答案为：12． 22. 如图，为直线外一动点，，连接，点、分别是、的中点，连接交于点，___________（填“”或“”或“”）；则当四边形的面积为10时，线段的长度的最小值为___________． 【答案】 ①. = ②. 12 【解析】 【分析】连接，根据三角形中线的性质得出，利用面积的和差关系推出；根据中线将三角形分成面积相等的两部分，结合四边形的面积求出的面积，再利用三角形面积公式求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点  ∴ ∴ ∵， ， ∴； ∵是的中点, ∴， ∵是的中点, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵是的中点， ∴, 过点作于点，  ∴， ∵， ∴，  ∴，  ∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为12． 23. 如图，等腰中，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至．当点在射线上运动时，连接与射线交于点，，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点F作或，交线段于点H（交射线于点G），构造全等三角形（或）和，根据全等三角形的性质，对应边、对应角相等，再结合条件以及，转换线段，从而得到的值． 【详解】当点E在线段上时， 过点F作，垂足为点H， ∵将绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 设，，则， ， ， ． 当点E在射线上时， 过点F作，垂足为点G， 将绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 设，，则， ， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、全等三角形辅助线的构造、等腰三角形性质、线段和差关系，解决本题的关键是根据点E的位置分类讨论． 二、解答题（共3小题） 24. 数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． 由图2，可得出三个代数式：之间的等量关系； （1）根据上述方法，若要拼出一个面积为的长方形，则需要种纸片2张，种纸片2张，种纸片___________张． （2）根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】（1）5 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）通过计算，然后问题可求解； （2）①根据完全平方公式的变形可进行求解； ②根据完全平方公式的变形进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴需要C种纸片5张； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）2 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 26. 如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． （1）如图1，当点在的内部时，求证：； （2）如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； （3）如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）12 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，证明即可得出结论； （2）先证明，得出，，再证明，即可求出结论； （3）以为边作等边，连接，然后可得，，进而可得，最后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长； 【小问3详解】 解：以为边作等边，连接，如图所示： ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系可得：， 当B、E、F三点共线时，可取等号， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 现藏于成都金沙遗址博物馆的“太阳神鸟”金饰为商周时期的文物，它的加工采用了热锻、锤摸、剪切、打磨、镂空等多种工艺，厚度仅有米，体现了我国古代匠人的高超技艺，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图中，正确画出边上的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件能判断两直线和平行的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，空调外机安装在墙壁上时，有时会用三角形支架固定在墙壁上，这种做法蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 7. 下列结论正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两点之间的线段的长度就是这两点间的距离 C. 同位角相等 D. 三角形的三条角平分线交于三角形外部一点 8. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知：，则的值为___________． 10. 若一个角的余角为，则这个角的度数为_____． 11. 已知，则的值为__________． 12. 若是一个完全平方式，则k的值为______． 13. 将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为__________度． 三、解答题（共7小题） 14. 计算 （1） （2） （3） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，已知． （1）填空求证：； 证明：∵， ∴_________， ∴_________（_________________________）， ∵， ∴_________， ∴（_________________________）． （2）若平分，于点，，求的度数． 17. 学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为39米． （1）猜想、两点间的距离为___________米． （2）请你利用数学方法说明此方案正确的理由 18. 如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，分别在射线上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的角平分线与的角平分线相交于点，求证与之间的数量关系； （3）如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的边，请直接写出所有满足条件的的值． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值是___________． 20. 有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 21. 已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 22. 如图，为直线外一动点，，连接，点、分别是、的中点，连接交于点，___________（填“”或“”或“”）；则当四边形的面积为10时，线段的长度的最小值为___________． 23. 如图，等腰中，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至．当点在射线上运动时，连接与射线交于点，，则___________． 二、解答题（共3小题） 24. 数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． 由图2，可得出三个代数式：之间的等量关系； （1）根据上述方法，若要拼出一个面积为的长方形，则需要种纸片2张，种纸片2张，种纸片___________张． （2）根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 25. 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 26. 如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． （1）如图1，当点在的内部时，求证：； （2）如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； （3）如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $