专题05 概率中的比赛、决策问题（压轴题4大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修三

专题05 概率中的比赛、决策问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、概率中的决策问题 2 类型二、简单比赛问题 5 类型三、复杂条件比赛问题 7 类型四、多人比赛问题 9 压轴专练 12 一、游戏、比赛等问题中随机变量的分布列 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？ （2）“谁赢了”； （3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 3、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． ④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布． 类型一、概率中的决策问题 决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。 1．（24-25高二下·河南信阳·月考）某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 2．（25-26高二下·山东临沂·期中）某高校少年班复试选拔有甲､乙两类问题，每位参加复试的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学复试结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学复试结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分，已知小明能正确回答甲类问题的概率为0.8，能正确回答乙类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)求小明复试得分为100分的概率； (2)若小明先回答甲类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； (3)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 3．2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 4．为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》．某地为响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地单个家庭生育婴儿的数量与概率如表： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在的情况． (1)若采用补贴方案，随机选取一家庭，若该家庭的补助不低于1100元／月，求该家庭共生育2个婴儿的概率； (2)试从均值的角度讨论哪套补贴方案的补助额更高； (3)若采用补贴方案的概率为，采用补贴方案的概率为，记单个家庭每月收到的补助额为，求的分布列与期望． 5．（25-26高二下·河北承德·月考）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． (1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； (2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 6．随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 类型二、简单比赛问题 1．（24-25高二下·江苏常州·期末）甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. (1)若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； (2)若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 2．甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率. 3．（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． (1)求乙队以的比分获胜的概率； (2)设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 4．人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (2)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列和期望. 5．（24-25高二下·上海崇明·期末）甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 6．（25-26高二上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 7．2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响． (1)若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率； (2)记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望． 8．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 类型三、复杂条件比赛问题 1．（24-25高二下·河北衡水·月考）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. (1)求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率； (2)设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望. 2．甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． (1)若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； (2)设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. 3．某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋手赢机器人，则棋手得1分；若棋手输给机器人，则棋手得分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手得分不低于1分，则棋手获胜．在每局比赛中，棋手赢机器人的概率为，棋手输给机器人的概率为，平局的概率为．每局比赛的结果互不影响． (1)求三局比赛结束后棋手得2分的概率； (2)在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金1000元，输给机器人或平局都没有奖金．记三局比赛结束后棋手获得的奖金为元，求的分布列与数学期望． 4．阶梯挑战赛中的排名跃迁，某电竞比赛采用阶梯挑战赛制，共有5个阶梯（从低到高为阶），初始时10支队伍随机分布在各阶梯上，分布情况为：1阶2队、2阶2队、3阶2队、4阶2队、5阶2队． 比赛规则： 1．每轮比赛，各阶梯内随机配对进行比赛（若某阶梯队伍数为奇数，则有一队轮空） 2．比赛胜者上升1阶，败者下降1阶（5阶胜者保持5阶，1阶败者保持1阶） 3．每轮结束后，重新按阶梯排序，进行下一轮比赛 4．比赛共进行3轮 假设每支队伍实力相当，任意两队比赛获胜概率均为，且各场比赛结果相互独立． (1)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后仍位于3阶的概率； (2)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后升至5阶的概率； (3)若某支队伍希望最大化3轮后位于5阶的概率，应选择从哪一阶开始比赛？证明你的结论． 5．小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 6．概率论的发展起源于17世纪中叶，最初与帕斯卡提出的“赌徒分金”问题密切相关，“如何分配奖金”这一问题也成为了概率论中的经典问题．现有一俱乐部组织了一场大型的羽毛球对抗赛活动，为了吸引更多的选手参赛，该俱乐部给予参赛选手一定的奖励，并按获胜局数的比例分配奖金，具体规则与方案如下：每场比赛设立奖金600元，最终比赛结束后，由两人按照比分进行分配，如甲乙比分为2：1，则甲乙两人分别获得400元与200元．每场比赛采用五局三胜制，每局比赛获胜者获得1分，失败者获得0分，有选手率先获得3分，则强行终止该场比赛，该选手取得该场比赛的胜利．现有甲乙两人参加对抗赛，根据以往经验，第一局两人获胜概率相同，从第二局开始，若上一局甲获胜则该局甲获胜概率为，若上一局乙获胜则该局乙获胜概率为． (1)求只比赛三局结束比赛的概率； (2)若甲乙两人只进行一场比赛，求甲所获奖金高于乙所获奖金的概率； (3)为了增加比赛的趣味性，俱乐部临时调整方案，在甲乙比赛完三局之后发起线上投票决定是否终止比赛，选项为：“是”或“否”．假如你是投票者之一，在仅知甲乙比分为2：1的条件下，请你从甲所获奖金期望更大的角度做出选择． 类型四、多人比赛问题 1．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． (1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 3．（25-26高二上·湖北武汉·月考）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和乙胜丙的概率均为，甲胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛乙轮空. (1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； (2)求只需四场比赛就决出冠军的概率； 4．某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 5．甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 6．某足球俱乐部举行罚点球表演赛，规定：每组四人，且该组每人最多出场一次，每次出场只派一名队员，一旦有队员出场罚中点球，则该组的表演结束，否则派下一名队员出场.现有甲组的，，，四人组队参加表演赛，他们各自罚中的概率分别为，，，，且，，，互不相等. (1)已知，，，. （i）若甲组每名队员能否罚中相互独立，求甲组的四名队员按，，，的顺序都出场的概率； （ii）若前面一人未罚中，则后面紧挨着出场的队员多少受到一些干扰，从而导致罚中的概率变为原罚中概率的.求甲组恰好派，两名队员先后出场的概率； (2)已知每名队员能否罚中相互独立，且.若计划安排，分别在第二个、第三个出场，从，中选一个在第一个出场，要使派出的队员人数的期望较小，试确定安排谁第一个出场. 1．某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立. (1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率. (2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率. (3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由. 2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 3．为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 4．（25-26高二下·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 5．甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 6．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 7．某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． (1)求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． (2)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 8．（25-26高二上·江西景德镇·期末）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为，，，且每人能否闯关成功互不影响. (1)已知，， （ⅰ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ⅱ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率. (2)若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由. 9．（25-26高二上·黑龙江·期末）2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 10．（24-25高二上·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 11．在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． (1)求队全胜夺冠的概率； (2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 12．11分制乒乓球单打比赛的规则如下：在每球中，赢球方得1分，输球方不得分.当比赛双方打成后，每球均需交换发球权，直到一方得分领先对手2分时，该局比赛结束，得分多的一方在该局获胜.现有甲､乙两人进行单打比赛，假设发球方赢得该球的概率均为，且各球得分情况相互独立.已知在某局比赛中，前20个球恰好打成，第21个球由甲发球. (1)记事件“甲在该局获胜，且甲得分不超过13分”为，当时，求； (2)设，记事件“在后又打了个球，该局比赛结束”为，“乙在该局获胜”为，求； (3)记事件“该局比赛结束时，甲､乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数”为，证明：. 13．（24-25高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 14．（24-25高二下·浙江宁波·期末）为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. (1)若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. (2)若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ (3)为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 15．某学校围棋社团举行选拔赛，甲､乙､丙､丁四人角逐冠军，有以下2种方案： 方案1甲､乙､丙､丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军. 方案2甲､乙､丙､丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军. 第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组； 第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰； 第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰； 第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军. 设甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立. (1)如果采用方案1，当时，求甲获得冠军的概率； (2)如果采用方案2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.当时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望； (3)采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明. 16．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 17．某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程.      18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率中的比赛、决策问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、概率中的决策问题 2 类型二、简单比赛问题 11 类型三、复杂条件比赛问题 20 类型四、多人比赛问题 29 压轴专练 36 一、游戏、比赛等问题中随机变量的分布列 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？ （2）“谁赢了”； （3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 3、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． ④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布． 类型一、概率中的决策问题 决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。 1．（24-25高二下·河南信阳·月考）某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 【答案】(1)； (2)选择投票给学生甲；理由见解析． 【分析】（1）结合二项分布定义进行求解即可； （2）根据超几何分布求出“甲回答问题的正确个数”的分布列、数学期望和方差，结合二项分布的定义求出“乙回答问题的正确个数”的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为：. （2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则；；． 所以． 由题意，随机变量，所以． 又，． 所以，， 可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定， 所以选择投票给学生甲． 2．（25-26高二下·山东临沂·期中）某高校少年班复试选拔有甲､乙两类问题，每位参加复试的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学复试结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学复试结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分，已知小明能正确回答甲类问题的概率为0.8，能正确回答乙类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)求小明复试得分为100分的概率； (2)若小明先回答甲类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； (3)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)应选择先回答甲类问题 【分析】（1）借助概率公式计算即可得； （2）得到的可能取值后计算对应概率即可得其分布列； （3）结合（2）中所得可得先回答甲类问题时得分期望，再求出先回答乙类问题时得分期望后，比较大小即可得. 【详解】（1）若小明复试得分为100分， 概率为. （2）的可能取值为、、， ， ， ， 故其分布列为： （3）由（2）可得，若小明先回答甲类问题， 得分期望为分； 若小明先回答乙类问题，设为小明的累计得分，则的可能取值为、、， 则， ， ， 则得分期望为， 则，故小明应选择先回答甲类问题. 3．2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)不能，建议见解析 【分析】（1）利用比例关系即可求出概率. （2）利用二项分布求出的分布列，利用期望公式即可得到答案. （3）利用条件概率求出今年冰块的利用率约为0.67，即可得到判断给出建议. 【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块 中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的. 因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5， 所以若只取1块，它是B队所采的概率为. （2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响， 即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取. 设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的， 与（1）同理可求得若只取1块，则， 由B，C两队所采的概率为. 依题意可知的取值为0，1，2，且. 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 P 数学期望. （3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，. 所以，，. 又 ，即今年冰块的利用率约为0.67. 可见，今年冰块的利用率比往年提升了约. 但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著， 可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断. 4．为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》．某地为响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地单个家庭生育婴儿的数量与概率如表： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在的情况． (1)若采用补贴方案，随机选取一家庭，若该家庭的补助不低于1100元／月，求该家庭共生育2个婴儿的概率； (2)试从均值的角度讨论哪套补贴方案的补助额更高； (3)若采用补贴方案的概率为，采用补贴方案的概率为，记单个家庭每月收到的补助额为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)方案B的补助额更高 (3)的分布列为 X 0 300 1000 1100 2600 P 的期望为. 【分析】（1）求出事件“补贴方案中，一家庭的补助不低于1100元/月”和事件“一家庭共生育2个婴儿”与事件M的交事件的概率，即可由条件概率公式计算得解； （2）分别求出方案每月获得的补助额的期望值即可得解； （3）求出随机变量的所有取值和相应概率即可求分布列，再由期望计算公式计算期望即可得解. 【详解】（1）记事件“补贴方案中，一家庭的补助不低于1100元/月”，事件“一家庭共生育2个婴儿”， 则， 所以选取的该家庭的补助不低于1100元/月条件下该家庭共生育2个婴儿的概率为； （2）设采用补贴方案每月获得的补助额为，则， 故由题可得， 采用补贴方案每月获得的补助额为，则， 因为，所以方案B的补助额更高； （3）由题可得， 且，， ，， ， 所以的分布列为 X 0 300 1000 1100 2600 P 所以的期望为. 5．（25-26高二下·河北承德·月考）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． (1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； (2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 【答案】(1) (2)当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多； 当时，，两种方式得到的奖金一样多； 当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多． 【分析】（1）分析得10元奖金的猜谜情况，可得其相应的概率； （2）分别求出先猜谜A和先猜谜B，所得到的奖金的期望值，再根据期望作决策； 【详解】（1）当，甲得10元奖金，即甲猜对A谜语，没有猜对B谜语， 所以甲得10元奖金的概率为. （2）记甲“先猜A谜语，后猜B谜语”所得奖金为，则可取0，10，30， ． 所以的期望 记甲“先猜B谜语，后猜A谜语”所得奖金为，则可取0，20，30， . 所以的期望 故 当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多； 当时，，两种方式得到的奖金一样多； 当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多． 6．随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 【答案】(1)智能体甲成功完成任务的概率为，智能体乙成功完成任务的概率为； (2) (3)选购智能体甲。 【分析】（1）先分别计算甲、乙成功完成任务的频率，再用频率估计概率可得； （2）先分别计算甲、乙成功完成类任务的概率，进而可确定类任务由乙完成，类任务由甲完成，再结合相互独立事件的概率计算可得； （3）分别计算得甲、乙成功任务的期望值的大小，通过期望大小判断可得. 【详解】（1）智能体甲总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此甲成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以甲成功完成任务的概率估计为 智能体乙总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此乙成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以乙成功完成任务的概率估计为. 所以智能体甲成功完成任务的概率为、智能体乙成功完成任务的概率. （2）先计算两款智能体完成不同类型任务的成功率： 甲完成类：​，甲完成类：； 乙完成类：，乙完成类：. 比较概率大小得：，由比较可知类任务乙更擅长，类任务甲更擅长. 因此分配为：类由乙完成，2项类由甲完成。 设“3项任务恰有2项成功”为事件，分两种互斥情况： ①类任务成功，仅1个类任务成功： ， ②类任务失败，2类任务成功：， 因此： . 所以估计这项任务中恰有项被成功完成的概率为. （3）因为类任务占比，类任务占比， 甲完成类的概率​，甲完成类的概率， 所以甲完成任务的期望为； 同理乙完成类任务的概率，乙完成类的概率， 所以乙完成任务的期望为. 所以，故该企业应选购智能体甲. 类型二、简单比赛问题 1．（24-25高二下·江苏常州·期末）甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. (1)若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； (2)若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 【答案】(1)分布列见解析，. (2) 【分析】（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1 ，3由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解； （2）利用对立事件的概率计算方法，求出总分小于3分的概率，计算即可得出结果. 【详解】（1）的可能取值为，， . . . 所以得分的概率分布列为： 数学期望. （2）至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2. 总分得0分的概率为： 总分得1分的概率为： 总分得2分的概率为： 所以总分小于3分的概率为： 所以至少得3分的概率： 2．甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式，结合互斥事件概率加法来计算； （2）利用独立事件概率乘法公式，结合分类讨论，可得互斥事件概率加法来计算. 【详解】（1）根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中，甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局， 第三局由前两局中胜一局的一方获胜， 所以比赛3局结束的概率为：， （2）根据题意可知，甲最终获胜的可能性有： ①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为； ②三局后获胜，且前两局有一局没获胜， 此时概率为； ③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败，此时概率为； ④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为； 所以设“甲最终获胜”为事件，则 3．（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． (1)求乙队以的比分获胜的概率； (2)设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）依题意可知前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜，根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）乙队以的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜， 故乙队以的比分获胜的概率． （2）由题意，的可能取值为、、， 所以； ； ． 所以的分布列为 4．人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (2)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）设出事件，利用条件概率的公式可得答案； （2）求出的取值，分别求解对应的概率，利用期望公式可得答案. 【详解】（1）设事件“小明以获得比赛胜利”， “第二局比赛中小明获胜”， 若小明以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况， 所以， ， ，即在小明以获得比赛胜利的条件下，在第二局比赛中小明获胜的概率为. （2）由题意的所有取值为0,1,2. ， ， ； 的分布列为 0 1 2 的期望为. 5．（24-25高二下·上海崇明·期末）甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)，理由见解析 【分析】(1) 通过统计甲获胜的场数，利用古典概型概率公式计算甲获胜的概率； (2) 先确定甲得分不低于分的场次，乙得分大于丙得分的场次，进而确定的可能取值，计算相应的概率，得到分布列，最后根据数学期望公式计算期望； (3) 先根据已知场比赛的获胜频率得到每人获胜的概率，由于接下来的比赛获胜场数符合二项分布，利用二项分布的方差公式计算并比较方差大小. 【详解】（1）甲获胜的场次为第五场(分)和第八场(分)，共场， 故从上述8场比赛中随机选择一场，甲获胜的概率； （2）甲得分的场次：，共场， 乙得分丙得分的场次：，共场. 的可能取值：0,1,2， 总选法：， ：选场乙丙，，概率， ：选场乙丙和场乙丙，，概率， ：选场乙丙，，概率， 分布列如下： 0 1 2 数学期望：. （3）以频率估计获胜概率：甲：，乙：，丙：， 三人获胜场数符合二项分布， ，， 所以 6．（25-26高二上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解； （2）随机变量的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可求出分布列、期望与方差. 【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . （2）依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 7．2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响． (1)若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率； (2)记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用事件的相互独立，根据连续答对4道题的要求，分两类进行求解； （2）确定的可能取值为，分别求出，，，再列出分布列即可求解． 【详解】（1）用表示张某第道题答对， 用表示张某第道题答错， 由题意得， 记张某得到直升卡为事件， 则 ． 即张某得到直升卡的概率为． （2）由题可得的可能取值为． ， ， ， ， 则的分布列如下， 2 3 4 5 所以． 8．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)分布列见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可； （2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则， 所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 类型三、复杂条件比赛问题 1．（24-25高二下·河北衡水·月考）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. (1)求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率； (2)设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，分析的可能取值，计算对应的概率，分析事件“甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等”所包含的情况可得结果. （2）根据（1）分析的取值，计算对应概率可得分布列和期望. 【详解】（1）用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，的可能取值均为，则 ，，， ，，. 设甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等为事件， 则. （2）由题意得，随机变量的所有可能取值为. 由（1）得，，， ∴， ∴的分布列为： ∴. 2．甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． (1)若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； (2)设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)或 【分析】（1）（i）应用独立事件乘积公式计算求解；（ii）应用n次独立重复试验应用互斥事件概率和公式计算； （2）应用n次独立重复试验和互斥事件概率和公式计算得出概率范围. 【详解】（1）（i）乙获胜有两种情况： ①乙连胜四局，概率为， ②乙第三局到第六局胜三局且第七局胜， 概率为， 所以当甲先赢了前两局时，乙获胜的概率为. （ii）记“比赛打满七局甲胜”为事件，“比赛打满七局乙胜”为事件， 则， ， 所以比赛打满七局的概率为. （2）， ， 由已知整理得： ， 解得：或， 因为， 所以或， 综上：或时，． 3．某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋手赢机器人，则棋手得1分；若棋手输给机器人，则棋手得分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手得分不低于1分，则棋手获胜．在每局比赛中，棋手赢机器人的概率为，棋手输给机器人的概率为，平局的概率为．每局比赛的结果互不影响． (1)求三局比赛结束后棋手得2分的概率； (2)在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金1000元，输给机器人或平局都没有奖金．记三局比赛结束后棋手获得的奖金为元，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1000 2000 3000 【分析】（1）要使三局比赛结束后棋手得2分，则棋手在三局比赛中赢了2局，平了1局，进而结合独立重复试验的概率公式求解即可； （2）由题意，的可能取值为，分别求出每个值对应的概率，即可得到分布列，再结合期望的公式求解即可. 【详解】（1）由题意，要使三局比赛结束后棋手得2分， 则棋手在三局比赛中赢了2局，平了1局， 所以三局比赛结束后棋手得2分的概率为. （2）由题意，的可能取值为， 而棋手每局赢机器人的概率为，输给机器人或平局的概率为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1000 2000 3000 则. 4．阶梯挑战赛中的排名跃迁，某电竞比赛采用阶梯挑战赛制，共有5个阶梯（从低到高为阶），初始时10支队伍随机分布在各阶梯上，分布情况为：1阶2队、2阶2队、3阶2队、4阶2队、5阶2队． 比赛规则： 1．每轮比赛，各阶梯内随机配对进行比赛（若某阶梯队伍数为奇数，则有一队轮空） 2．比赛胜者上升1阶，败者下降1阶（5阶胜者保持5阶，1阶败者保持1阶） 3．每轮结束后，重新按阶梯排序，进行下一轮比赛 4．比赛共进行3轮 假设每支队伍实力相当，任意两队比赛获胜概率均为，且各场比赛结果相互独立． (1)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后仍位于3阶的概率； (2)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后升至5阶的概率； (3)若某支队伍希望最大化3轮后位于5阶的概率，应选择从哪一阶开始比赛？证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)3轮后，证明见解析 【详解】（1）设表示该队第n轮后所处的阶梯，． 要使，需满足3轮中胜场数等于负场数，即1胜2负或2胜1负（因为3轮总比赛场次为3）． 计算1胜2负的路径：—（概率：）—（概率：）—（概率：）—（概率：） 计算2胜1负的路径：—（已计算）（概率：）—（概率：）—（已计算） 注意：部分路径重复计算，实际不同路径为：—— 每条路径概率均为，共有6条路径，因此： （2）要使，需满足3轮中至少2胜且路径不违反阶梯边界． 可能路径：—（3胜，但第3轮在5阶胜后仍为5阶）：概率—（2胜1负）：概率—（2胜1负）：概率， 因此：， （3）设从k开始，3轮后位于5阶的概率为． 对于—必须3连胜：，概率， 对于—3连胜：，概率—2胜1负（不影响最终到5阶）：（无法到5阶）（无法到5阶）（无法到5阶）（已计入3连胜）因此，， 对于—如（2）所计算，， 对于—至少1胜：（概率）—1胜2负：（概率）—2胜1负：（无法到5阶）（概率）（已计入）因此，，对于—无需胜场：（概率1） 比较：， 因此，从5阶开始比赛，3轮后位于5阶的概率最大（为1）.这符合直观，因为高阶梯起点意味着离目标更近，且5阶胜者保持5阶的规则使得从5阶开始的队伍不会下降． 5．小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 【答案】(1)①；②一局定胜负对小明更有利，理由见解析 (2)，函数在上的单调递增；意义见解析 【分析】（1）①根据独立事件概率的乘法公式即可计算小明比赛结果依次为“赢、输、赢”的概率； ②分别计算“一局定胜负”和“三局两胜”赛制下小明获胜的概率，比较大小来确定哪种赛制对小明更有利； （2）先根据“五局三胜”的规则，分情况讨论小明获胜的情况，利用独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公式，求出的表达式，再通过求导判断函数的单调性，并分析现实意义. 【详解】（1）①根据题意，比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4，所以三局比赛相互独立，且小明每局输的概率为0.6， 所以小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率为； ②根据题意，一局定胜负时，小明赢得比赛的概率为， 三局两胜时，小明赢得比赛有两种情况： 情况一：前两局获胜，概率为， 情况二：前两局胜一局，输一局，第三局获胜，其概率为， 根据互斥事件的加法公式，所以在“三局两胜”的赛制下， 小明获胜的概率为， 因为，所以从小明的角度考虑，一局定胜负对小明更有利； （2）“五局三胜”的赛制下，小明获胜有以下几种情况： 情况一：前三局获胜，概率为， 情况二：前三局胜两局输一局，第四局获胜，则， 情况三：前四局胜两局输两局，第五局获胜，则， 所以小明赢的概率为： ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以函数在上的单调递增； 现实意义：在“五局三胜”的比赛中，小明每局获胜的概率越大，他最终获胜的概率就越大，即小明实力越强，他获胜的可能性就越大. 6．概率论的发展起源于17世纪中叶，最初与帕斯卡提出的“赌徒分金”问题密切相关，“如何分配奖金”这一问题也成为了概率论中的经典问题．现有一俱乐部组织了一场大型的羽毛球对抗赛活动，为了吸引更多的选手参赛，该俱乐部给予参赛选手一定的奖励，并按获胜局数的比例分配奖金，具体规则与方案如下：每场比赛设立奖金600元，最终比赛结束后，由两人按照比分进行分配，如甲乙比分为2：1，则甲乙两人分别获得400元与200元．每场比赛采用五局三胜制，每局比赛获胜者获得1分，失败者获得0分，有选手率先获得3分，则强行终止该场比赛，该选手取得该场比赛的胜利．现有甲乙两人参加对抗赛，根据以往经验，第一局两人获胜概率相同，从第二局开始，若上一局甲获胜则该局甲获胜概率为，若上一局乙获胜则该局乙获胜概率为． (1)求只比赛三局结束比赛的概率； (2)若甲乙两人只进行一场比赛，求甲所获奖金高于乙所获奖金的概率； (3)为了增加比赛的趣味性，俱乐部临时调整方案，在甲乙比赛完三局之后发起线上投票决定是否终止比赛，选项为：“是”或“否”．假如你是投票者之一，在仅知甲乙比分为2：1的条件下，请你从甲所获奖金期望更大的角度做出选择． 【答案】(1)； (2)； (3)选“是”． 【分析】（1）由题意可分为两种情况：甲连胜三局，或乙连胜三局，利用独立事件乘法公式求解即可； （2）由题意知，一场比赛甲所获奖金高于乙所获奖金则甲获胜，甲乙两人比分可为：或或，分别求出概率，再求和即可； （3）分别求出选“是”和选“否”的期望，进行比较可得. 【详解】（1）由题意可分为两种情况：甲连胜三局，或乙连胜三局． 因为第一局两人获胜概率相同， 从第二局开始，若上一局甲获胜则该局甲获胜概率为，若上一局乙获胜则该局乙获胜概率为， 故概率为. （2）由题意知，一场比赛甲所获奖金高于乙所获奖金则甲获胜， 甲乙两人比分可为：或或，记事件为第局甲胜，事件第局乙胜． ①当比分为时，即甲连胜三局，概率为； ②当比分为时，概率为 ； ③当比分为时，概率为 ． 所以，甲奖金高于乙奖金的概率为． （3）记甲所获奖金为． ①选“是”：终止比赛． 此时元． ②选“否”：继续比赛，此时的可能取值为：450，360，240 记事件，事件，事件，事件． 则有事件， ，故． 则有 ， ， 则． 则有， 所以的分布列为： 450 360 240 所以， 综上，，所以，选“是”． 类型四、多人比赛问题 1．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． (1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)“双败淘汰制”对甲夺冠有利，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算甲获得第四名的概率；分别计算甲打第2、3、4轮的概率，进而利用期望公式计算求解； （2）分别计算单败淘汰制和双败淘汰制下甲夺冠的概率，通过比较概率大小得出结论． 【详解】（1）（ⅰ）记“甲获得第四名”为事件A，则． （ⅱ）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4． 连败两局：． 可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负， ， ，故X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率：， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为：， ， “双败淘汰制”对甲夺冠有利． 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 3．（25-26高二上·湖北武汉·月考）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和乙胜丙的概率均为，甲胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛乙轮空. (1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； (2)求只需四场比赛就决出冠军的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式及互斥事件和的概率公式求解； （2）决出冠军为四个互斥事件的和，分别求概率，利用互斥事件和的概率公式得解. 【详解】（1）记事件为甲胜乙，则，， 事件为甲胜丙，则，， 事件为乙胜丙，则，， 前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况分两种：      丙被淘汰的概率为. （2）只需四场比赛就决出冠军的情况有四种：                所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为： . 4．某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； （2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 （3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 5．甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 【答案】(1) (2) (3)对甲有利 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解. （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件和概率公式计算求解. （3）根据甲的最终获得名次的数学期望与乙或丙获得名次的数学期望比较判断即可. 【详解】（1）在全局比赛中，由于每场比赛双方获胜的概率均为， 由于比赛规则对于乙和丙是对称的，因此他们获得任一特定名次的概率是相等的， 记事件：甲在败者组比赛中被淘汰，事件：乙或丙在败者组比赛中被淘汰， 事件发生的概率，甲需要在②，③两场比赛中连续失败，则， 由事件与事件互为对立事件，且乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 所以乙在败者组比赛中被淘汰的概率为. （2）甲最终获胜有如下两种情况：第②，④场比赛甲全胜，此时概率为； 第②场比赛甲失败，第③，④场比赛甲胜利，此时概率为， 所以甲最终获胜的概率为. （3）设甲获得的最终名次为， 由（2），（1）得，，则， 因此； 设乙或丙获得的最终名次为，而乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 因此， 又，则甲的最终获得名次的数学期望比乙或丙更靠前，所以该比赛规则确实对甲有利. 6．某足球俱乐部举行罚点球表演赛，规定：每组四人，且该组每人最多出场一次，每次出场只派一名队员，一旦有队员出场罚中点球，则该组的表演结束，否则派下一名队员出场.现有甲组的，，，四人组队参加表演赛，他们各自罚中的概率分别为，，，，且，，，互不相等. (1)已知，，，. （i）若甲组每名队员能否罚中相互独立，求甲组的四名队员按，，，的顺序都出场的概率； （ii）若前面一人未罚中，则后面紧挨着出场的队员多少受到一些干扰，从而导致罚中的概率变为原罚中概率的.求甲组恰好派，两名队员先后出场的概率； (2)已知每名队员能否罚中相互独立，且.若计划安排，分别在第二个、第三个出场，从，中选一个在第一个出场，要使派出的队员人数的期望较小，试确定安排谁第一个出场. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)A 【分析】（1）（i）应用独立事件乘法公式计算求解；（ii）应用条件概率乘法公式计算求解； （2）先应用独立事件乘法公式计算概率，再得出分布列，进而再得出数学期望作差比较计算判断. 【详解】（1）（i）甲组的四名队员按，，，的顺序都出场的概率为. （ii）记事件表示“未罚中且罚中”，则. （2）若安排第一个出场，记派出的队员人数为， 由题意可知的可能取值为1，2，3，4， 则，， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 则， 若安排第一个出场，记派出的队员人数为， 同理可得， 则 ， 因为， 所以，，， 则， 所以，即， 所以要使派出队员人数的期望较小，甲组应安排第一个出场. 1．某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立. (1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率. (2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率. (3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由. 【答案】(1)0.1 (2)0.0486 (3)应该引进，理由见解析 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中结果，结合独立重复性实验的概率公式运算求解即可； （3）根据题意求使用自动化检测系统时每日总支出的期望，并与每日故障损失的期望对比分析即可. 【详解】（1）设某日检测结果与设备实际状态不符为事件， 由全概率公式可得， 故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1. （2）由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1， 设恰有2天检测结果与实际不符为事件， 则， 故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486. （3）应该引进该自动化检测系统，理由如下： 设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元. 设备故障且被判为故障的概率为， 设备正常却被判为故障的概率为， 设备故障却被判为正常的概率为， 则. 因为，所以应该引进该系统. 2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意分析出甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，即可求解； （2）根据题意可取，分别计算出概率，即可求解分布列及数学期望． 【详解】（1）甲队以获胜，已知甲队在第一场比赛中获胜，则甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，则甲队以获胜的概率为． （2）根据题意可取， 当时，即甲再连胜2场，所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 所以的分布列为： 3 4 5 所以数学期望． 3．为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 4．（25-26高二下·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) 20 30 50 数学期望为29 (2)①；②选打折 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①顾客B抽奖三次，获得90元返现的情况有两种：三次返现均为30元，或者一次返现50元、两次返现20元，计算这两种情况的概率之和即可； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题知，随机变量的可能取值为. 则，. 分布列如下： 20 30 50 . （2）①根据题意得消费1000元可以抽3次，返现金额为90元. 获得90元返现的情况有两种：三次抽奖的返现金额均为30元；或其中一次返现50元、两次返现20元. 因此 ②九折省100元，抽奖期望，选打折. 5．甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】(1)的分布列见解析 (2)甲应该选择项目二，理由见详解 【分析】（1）根据题意分析X、Y可取的值，进而可得X，Y的分布列； （2）分别求X，Y的期望和方差，进而比较大小，即可分析判断. 【详解】（1）由题意可知：X可取的值为：，10， 其分布列为 X 10 P Y可取的值为：，0，6， 其分布列为 Y 0 6 P （2）对于项目一：（万元）， ； 对于项目二：（万元）， ； 因为，， 即两个项目的期望值相同，但项目一的波动性较大，所以甲应该选择项目二． 6．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 【答案】(1)0.8 (2)选择方案二，理由见解析 【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可； （2）根据相互独立事件的概率公式求解方案二的分布列，即可求解期望，比较期望大小即可求解. 【详解】（1）记事件“安静环境”，“嘈杂环境”，“语音识别成功”， 则,，，， ，且，互斥， 所以． 即测试结果为语音识别成功的概率为． （2）因为每次测试成本固定，所以测试次数越少，测试成本越低． 设方案一和方案二测试成本分别为X，Y， 方案一：测试4次，则； 方案二：Y可取3，5， ， ， 随机变量Y的分布列如下表所示： Y 3 5 P 0.512 0.488 所以；所以， 即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二． 7．某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． (1)求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． (2)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 【答案】(1)13.4 (2)（i）0.85（ii）能，理由见解析 【分析】（1）先求出每一段的概率，再利用期望公式求解； （2）（i）利用二项分布分析求解即可；（ii）分别求出方案中日启用推车数量的数学期望分析比较即可得结论. 【详解】（1）题意得， ， 故. （2）（i）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于600本的概率降低0.05，得， 设未来10个工作日中，日借阅总量不高于600本的天数为，则， 所以， 故未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率约为0.85． （ii）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05， 得， ， 此时日启用推车数量的数学期望为： ， 若日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车，日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车， 则此时日启用推车数量的数学期望为： 因为，所以调整方案能降低日均运维成本． 8．（25-26高二上·江西景德镇·期末）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为，，，且每人能否闯关成功互不影响. (1)已知，， （ⅰ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ⅱ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率. (2)若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由. 【答案】(1)（ⅰ）15；（ⅱ） (2)乙在丙前，理由见解析 【分析】（ⅰ）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望；（ⅱ）根据全概率公式计算可得； （2）分别求出乙在前与丙在前时的期望，即可判断. 【详解】（1）（ⅰ）依题意的可能取值为，，，， 则， ， ，. 所以； （ⅱ）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以该队比赛结束后所获积分的概率为. （2）若顺序为“甲乙丙”：积分的可能取值为，，，， 则，， ，. 所以 若顺序为“甲丙乙”：积分的可能取值为，，，， 则，， ，. 所以 ， 由于，，所以，， 所以乙在丙前参赛. 9．（25-26高二上·黑龙江·期末）2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理 【分析】（1）求条件概率即可求出答案； （2）（i）设顾客所获得的优惠金额为元，的取值有，，，，分别求得概率，即可求出分布列，利用期望公式即可求出期望； （ii）求出，比较与的大小，即可求解. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球， 若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球， 从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种， 所以，即能够享受优惠的概率为. （2）（i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元， 的取值有，，，， 从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，. 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 100 200 400 所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为 . （ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元， 的取值有，，， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 250 500 所以， 所以， 所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理. 10．（24-25高二上·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）完成一局比赛即为甲、乙、丙各出一次石头剪刀布，再分析其中甲得0分的各种情况，即可得解； （2）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）甲在一局比赛中得0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有种情况 ②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况 故所求概率为 （2）在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知； 设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知； 设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知 设游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）为事件，第一局比赛中三人均得0分为事件为． 事件包含以下情况： ①第一局为时，概率 ②第一局为或，第二局为时，概率 ③第一局为或，第二局为或，第三局为时，概率 ④第一局为，第二局为，第三局为时，概率 则 又事件包含以下情况： ①第一局为，第二局为时，概率， ②第一局为，第二局为或，第三局为时，概率 则 故 【点睛】关键点点睛：本题关键在于需要分类讨论游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的各种情况，利用互斥事件、相互独立事件同时发生的概率公式求出概率，再求出第一局比赛中三人均得0分且游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的概率，再利用条件概率公式求解. 11．在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． (1)求队全胜夺冠的概率； (2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【分析】（1）由题意可知队参加的三轮比赛并全部获胜，进而即可求出队全胜夺冠的概率； （2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，计算出每种取值的概率，进而即可得到的分布列，并可求出其数学期望． 【详解】（1）由队全胜夺冠，即队在所有参加的比赛中均获胜， 所以队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜， 所以队全胜夺冠的概率为． （2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5， 若，即队在第一轮，第二轮均失败， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有两种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为； ②队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为， 所以， 所以的分布列为： 2 3 4 5 故的数学期望为． 12．11分制乒乓球单打比赛的规则如下：在每球中，赢球方得1分，输球方不得分.当比赛双方打成后，每球均需交换发球权，直到一方得分领先对手2分时，该局比赛结束，得分多的一方在该局获胜.现有甲､乙两人进行单打比赛，假设发球方赢得该球的概率均为，且各球得分情况相互独立.已知在某局比赛中，前20个球恰好打成，第21个球由甲发球. (1)记事件“甲在该局获胜，且甲得分不超过13分”为，当时，求； (2)设，记事件“在后又打了个球，该局比赛结束”为，“乙在该局获胜”为，求； (3)记事件“该局比赛结束时，甲､乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数”为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）事件对应两种情况第1轮中甲连赢2球或第1轮中甲､乙双方各赢1球，第2轮中甲连赢2球，根据独立事件、互斥事件的概率公式可求概率； （2）求出乙连赢2球的概率和甲､乙双方均各赢1球的概率后可求； （3）利用（2）的结果可求题设中事件的概率，结合等比数列的前项和公式和不等式的性质可证. 【详解】（1）由比赛规则可知，当双方打成后，若又打了个球比赛结束，则必为偶数， 不妨设，且将个球依次记为，以下将，这两球称为一轮，其中. 事件对应两种情况： （1）第1轮中甲连赢2球； （2）第1轮中甲､乙双方各赢1球，第2轮中甲连赢2球， . （2）在每一轮中：乙连赢2球的概率记为；甲､乙双方均各赢1球的概率记为， 则， 当时，乙获胜，即在第1轮中乙连赢2球， 此时，， 当时，乙获胜，即在前轮中，每轮甲､乙双方均各赢1球， 在第轮中，乙连赢2球， 此时，， 时，， ∴当时，. （3）由（2）中结果可得甲连赢2球的概率为， 故甲或乙连赢2球的概率为. 比赛结束时，甲､乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数， 则有如下情形: （1）双方比分为或，此时概率为； （2）双方比分为或，比赛结束前有两轮平局， 故此时概率为； （3）双方比分为或，比赛结束前有4轮平局， 故此时概率为； （4）双方比分为或，比赛结束前有6轮平局， 故此时概率为； （5）双方比分为或，比赛结束前有8轮平局， 故此时概率为； ， ，命题得证. 13．（24-25高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 14．（24-25高二下·浙江宁波·期末）为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. (1)若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. (2)若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ (3)为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 【答案】(1) (2)6 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意的所有可能取值为：，再利用独立事件的乘法公式计算出所有情况的概率，接着计算期望即可； （2）由，再确定最大概率的项即可； （3）先判断事件的关系，得到条件①②下独立，再利用独立性计算两班得分相同的概率，即同时答对或同时打错的概率之和即可. 【详解】（1）的所有可能取值为：， ， ， ， ， ， . （2），假设最有可能答对题目的数量是次，则， ，即， ， 解得，又，所以，即乙班最有可能答对6个题. （3）选择①：， 知 ， 故，即相互独立. 选择②：，由已知等式知， 则， ，即相互独立， 用表示“经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同”， ， 经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率为. 15．某学校围棋社团举行选拔赛，甲､乙､丙､丁四人角逐冠军，有以下2种方案： 方案1甲､乙､丙､丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军. 方案2甲､乙､丙､丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军. 第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组； 第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰； 第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰； 第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军. 设甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立. (1)如果采用方案1，当时，求甲获得冠军的概率； (2)如果采用方案2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.当时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望； (3)采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明. 【答案】(1) (2) (3)当时，采用方案1对甲获得冠军更有利；当时，采用两种方案中任一种皆可；当时，采用方案2对甲获得冠军更有利. 【分析】（1）设甲获得冠军为事件 ,甲需连赢两场,即先赢半决赛、再赢决赛,由甲对任意对手胜率均为 ,且 ,得 . （2）设甲参赛场数为 ,可能取值为2,3,4,分别计算： 对应甲连输两场,概率 ； 对应两种路径（即第一场负第二场胜第三场胜或第一场胜第二场负第三场胜）,概率各为 ,即 ； ,代入 得期望 . （3）分别计算方案1和方案2下甲夺冠的概率,表示为 的函数,作差比较,根据差值符号判断 在何范围时哪种方案更有利,最后说明对甲而言方案2整体更优或给出临界值. 【详解】（1）设“采用方案1甲获得冠军”. 因为甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为，且， 所以. 即采用方案1甲获得冠军的概率为. （2）设甲参与对阵的比赛场数为随机变量，则的所有可能取值为. ； （即第一场负第二场胜第三场胜或第一场胜第二场负第三场胜）； . 故的数学期望. （3）因为甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为， 所以采用方案1甲获得冠军的概率为； 采用方案2甲获得冠军的概率为. . 因为，所以当时，； 当时，；当时，. 故当时，采用方案1对甲获得冠军更有利； 当时，采用两种方案中任一种皆可； 当时，采用方案2对甲获得冠军更有利. 16．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 【答案】(1) (2) (3)双败赛制对强队更有利 【分析】（1）用列举法写出随机选出2支队伍的各种情况，然后由概率公式得结论； （2）分析单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的所有情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式计算； （3）分别分析出在两种赛制下A赢的情况，然后结合独立事件和互斥事件的概率公式计算出两种赛制下A赢的概率，作差比较后可得. 【详解】（1）从4支队伍中随机选出2支，共有6种可能：， 其中选出的2支队伍恰好是A和B的只有一种：， 所以选出的两支队伍恰好是A和B的概率为. （2）设事件“A对阵B或C或D时，A赢”，，， 设事件B=“B对阵C或D时，B赢”，事件C=“C对阵B或D时，C赢”，事件D=“D对阵C或B时，D赢”，则，事件M，B，C，D相互独立， 设事件N=“单败淘汰赛赛制下，B获得冠军”，则事件N包含两种情况： ①  A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后C、 B对阵时B赢，即事件， ； ②A、 C对阵时C赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时B赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以 所以； 所以在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率为； （3）在单败淘汰赛赛制下，A要想获得冠军，有两种情况： ①  A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时D赢，最后A、 D对阵时A赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以A获得冠军的概率为 ； 在双败赛制下，A要想获得冠军，从每场A参与的比赛中A的输赢角度出发，有三种情况： ①A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A赢，最后一场比赛A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A输，B、 D对阵中的负者与C对阵时的胜者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ； ③A、 C对阵时A输，A与B、 D对阵中的负者对阵时A赢，B、 D对阵中的胜者与C对阵时的负者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ， 所以A获得冠军的概率为 ， ， 所以当时，，因此双败赛制对强队更有利. 17．某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)组采用赛制二更有利于胜出，答案见解析 【分析】（1） 利用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，从而求得数学期望； （2） 设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为、、，则至少有两人做对该题的事件为：，利用相互独立事件的概率公式求解即可； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，可得，利用二项分布的概率公式求出组获得冠军的概率； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完，不妨设做完题，则组取得胜利概率为， 两个概率作差比较大小即可得到结论. 【详解】（1）由题意知随机变量的取值可以为0，1，2，3，     ，，，. 所以的分布列为 0 1 2 3      的数学期望. （2）设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为、、，则至少有两人做对该题的事件为：， 所以竞赛小组能进入决赛的概率为 （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则，组取得胜利的概率为；     按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完，不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则，     ，     已知，所以，因此组采用赛制二更有利于胜出. 18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)选甲参加第一阶段的比赛 【分析】（1）先确定的可取值为，然后分析出甲、乙谁先参加第一阶段的投篮对结果没有影响，再计算出的不同取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据不小于分析出甲第一阶段投篮至少投中次，乙第二阶段投篮也至少投中次，由此可计算对应概率； （3）分别计算出甲、乙参加第一阶段比赛时比赛成绩的数学期望，然后通过作差法比较大小，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，可取， 由于甲、乙每次投中的概率相等， 所以无论甲、乙谁先投篮，该队不能进入第二阶段的概率都为， 所以该队能进入第二阶段的概率都为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： （2）若不小于，则说明甲第一阶段投篮至少投中次，乙第二阶段投篮也至少投中次， 甲第一阶段投篮至少投中次的概率为， 乙第二阶段投篮至少投中次的概率为， 所以. （3）若甲先参加第一阶段的比赛，比赛成绩可取， ， ， ， ， 所以 所以， 所以， 若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩可取， 同理可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以应选甲参加第一阶段的比赛. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $