第10章 二元一次方程组章节重难点题型复习（4个知识点+8种题型） 讲义2025-2026学年苏科版数学七年级下册

本初中数学讲义聚焦二元一次方程组核心知识点，系统梳理二元一次方程（组）的概念、解的定义，代入与加减消元法的解题步骤，实际应用（几何、销售、方案设计）及三元一次方程组的解法与应用，构建从概念到解法再到综合应用的递进式学习支架。 资料以8种题型（含概念辨析、整数解、同解方程组等）为主线，搭配例题与变式训练，通过几何图形拼接、销售利润计算等实例，培养学生抽象能力、运算能力与模型意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生针对性巩固，有效查漏补缺。

第10章 二元一次方程组 章节重难点题型复习（4个知识点+8种题型） 【题型归纳】 题型1 二元一次方程的概念 3 题型2 二元一次方程的整数解 3 题型3 解二元一次方程组 5 题型4 同解方程组 7 题型5 二元一次方程组的应用之几何问题 10 题型6 二元一次方程组的应用之销售问题 12 题型7 二元一次方程组的应用之方案设计问题 14 题型8 三元一次方程组的应用 15 一、知识梳理 要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点三、实际问题与二元一次方程组 要点四、三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数． 解三元一次方程组的一般步骤： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 二、题型精讲 题型1 二元一次方程的概念 例1.下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（       ） A．2x+y B．x﹣3y＝﹣15 C．xy+x﹣2＝2 D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，对各选项逐个判断即可． 【详解】解：A．不是方程，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．是二元一次方程，故本选项符合题意；C．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握二元一次方程的定义． 【变式1】若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，由二元一次方程的定义可得，，计算即可得出答案． 【详解】解：是关于的二元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 题型2 二元一次方程的整数解 例2.若关于，的方程组有正整数解，则正整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 本题主要考查二元一次方程组的解和整数解得可能，利用加减消元法求得x和y，再结合正整数解，即可求得a的值． 【详解】解： 得，， 代入得， ∵方程组有正整数解，是正整数， ∴由得， 当时，满足要求， 故选：D． 【变式2-1】如果x，y取0，1，2，…9中的数，且3x﹣2y＝12，则10x+y的值可以有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】要求10x+y的值，就必须先求出x，y的值，所以首先要用方程表示其中一个未知数，然后根据式子分析x，y的取值，再代入10x+y求值． 【答案】解：由题意，得． ∵x和y的值取0到9的正整数， ∴2y+11＞0，且是3的倍数． 根据以上条件可假设当y＝0时，2y+11＝11， 当y＝9时，2y+11＝29， ∴2y+11的值就是11到29之间的所有3的倍数，即是12，15，18，21，24，27， 再解这个方程取整数值． 得y的整数值只能是y＝2，5，8，相应的x值为x＝5，7，9． 把分别代入10x+y，则有52，75，98三个值． 故选：C． 【点睛】解题关键是把方程3x﹣2y＝11的符合条件的x和y的值求出，再分别计算代入10x+y后的值． 【变式2-2】关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3 【答案】C 【分析】先求出方程组的解，由方程组的解为正整数分析得出a值． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解为正整数，∴a＝0时，；a＝2时，， ∴满足条件的所有整数a的和为0+2＝2．故选：C． 【点睛】此题考查了已知二元一次方程组的解求参数，解题的关键是求出方程组的解，由方程组解的情况分析得到a的值． 题型3 解二元一次方程组 例3.解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，理解并掌握加减消元法的计算方法是解题的关键． （1）运用加减消元法求解二元一次方程组即可； （2）先去分母，再运用加减消元法求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得，，整理得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的解为． （2）解： 去分母得，， 得，，整理得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的解为． 【变式3-1】解方程组（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用代入消元法求解；（2）利用加减消元法求解． 【详解】（1）由②可得：， 将③代入①得：，解得：， 将代入③，解得：，； （2），由得：， 由②+③得：，解得：，将代入③，解得：，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，灵活选取方法，注意计算过程仔细，是解决问题的关键． 【变式3-2】计算 （1） （2） 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【答案】解：（1）， ①+②×2得：7x＝21， 解得：x＝3， 把x＝3代入②得：y＝﹣2， 则方程组的解为； （2）方程组整理得：， ②﹣①×3得：14y＝﹣42， 解得：y＝﹣3， 把y＝﹣3代入①得：x＝﹣6， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型4 同解方程组 例4.若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得，， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】关于x、y二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】8 【分析】转化方程组，求得解后，代入求值即可． 【详解】∵，解得，∴，∴k=8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练构造新方程组是解题的关键． 【变式4-2】已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 题型5 二元一次方程组的应用之几何问题 例5.如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为和，则大长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解∶根据题意，得， 解得， ∴， ∴大长方形的面积为． 故选：B． 【变式5-1】如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是（    ） A．96 B．112 C．126 D．140 【答案】D 【解析】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm， 依题意得， 解之得， ∴小长方形的长、宽分别为8cm，2cm， ∴S大长方形=AB•BC=14×10=140cm2， 故选：D． 【变式5-2】如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，BC＝11，DE＝7， （1）设每个小长方形的较长的一边为x，较短的一边为y，求x，y的值． （2）求图中阴影部分面积． 【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值； （2）根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6个小长方形的面积，即可求出结论． 【答案】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 根据题意得：， 解得：， （2）S阴影＝11×（8+1×1）﹣6×1×8＝51（cm2）． 答：图中阴影部分面积是51cm2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 题型6 二元一次方程组的应用之销售问题 例6.某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量） A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1350 1200 （1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？ 【答案】见解析 【解析】解析：（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件．根据题意得： 解得：． 答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件． （2）设B商品打m折出售．根据题意得： 解得：m＝9． 答：B种商品打9折销售的． 【变式6】元旦期间，某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件． (1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？ (3)该超市第二次又购进同样数量的甲，乙两种商品，其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品每件的进价少3元，甲种商品按原售价提价m%销售，乙种商品按原售价降价m%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，求m的值． 【答案】(1)甲15元，乙20元 (2)1000元 (3)10 【分析】(1) 设甲每件x元，乙每件y元，列出方程组求解即可． (2) 根据总利润=(甲售价-甲进价)×甲商品数量+(乙售价-乙进价)×乙商品数量． (3) 根据题意，得40×[20(1+ m%)-15]+ 160×[25(1- m%)-(20-3)]=1000+160，解方程即可． （1） 设甲每件x元，乙每件y元，根据题意，得 ， 解方程组，得， 故甲、乙两种商品每件进价各15元、20元． （2） 根据题意，得总利润=(20-15)×40+(25-20)×160=1000(元)． （3） 根据题意，得 40×[20(1+ m%)-15]+ 160×[25(1- m%)-(20-3)]=1000+160， 解得m=10， 故m的值为10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的解法，销售问题，熟练掌握二元一次方程组的列法和解法是解题的关键． 题型7 二元一次方程组的应用之方案设计问题 例7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？ 【答案】(1)两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元 (2)最大利润为 万元 【解析】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得: ， 解得: ， 答：两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元 （2）解：设购买A型号的汽车辆，种型号的汽车辆，由题意可得且的正整数， 解得： 或或或， 该公司共有四种购买方案， 当 时, 获得的利润为:(万元)， 当 时, 获得的利润为:(万元)， 当 时, 获得的利润为:(万元)， 当 时, 获得的利润为:(万元)， 由上可得, 最大利润为 万元． 【变式7】已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物，一次可运货；用1辆A型车和2辆B型车装满货物，一次可运货．某物流公现有货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物（a、b 均不为0）．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物，一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆的租金为100元/次，B型车每辆的租金为120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费用． 【答案】(1)1 辆 A 型车一次运3吨，1 辆B型车一次运4吨； (2)①租A型车9辆，B型车1辆，②租A型车5辆，B型车4辆，③租A型车1辆，B型车7辆； (3)最省钱的租车方案为方案③，租车费用为940元． 【解析】（1）解：设1 辆 A 型车一次运x吨，1 辆B型车一次运y吨， 由题意得， 解得， 答：1 辆 A 型车一次运3吨，1 辆B型车一次运4吨； （2）解：由题意得：， ∴， ∵a、b均为正整数， ∴，；，；，； ∴共有三种租车方案： ①租A型车9辆，B型车1辆， ②租A型车5辆，B型车4辆， ③租A型车1辆，B型车7辆； （3）解：方案①的费用为：（元）， 方案②的费用为：（元）， 方案③的费用为：（元）， ∵， ∴最省钱的租车方案为方案③，租车费用为940元． 题型8 三元一次方程组的应用 例8.（宿迁·树人月考）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则______，______； （2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； （3）某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？ 【答案】（1）－1；3 （2）见解析 （3）购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元 【解析】 【分析】（1）①－②可求出，可求出； （2）证明为定值即可； （3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想求出即可． 【小问1详解】 解： ①－②得：， 得：， 等式两边同时除以3得：， 故答案为：－1；3． 【小问2详解】 证明： 得：， 等式两边同时除以2得：， 得：， 等式两边同时除以2得：， 因此不论a取什么实数，的值始终不变． 【小问3详解】 解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元， 由题意得， 得：， 等式两边同时乘以2得：， 得：， 故， 即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元． 【点睛】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解题的关键． 【变式8】问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）1330朵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，可得，即可求解； （3）黄花一共用了M朵．则，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：（1）得， 故答案为：． （2）， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）设黄花一共用了M朵．则， 由题意，得， 由，得④， 由，得，即． 答：黄花一共用了1330朵． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组 章节重难点题型复习（4个知识点+8种题型） 【题型归纳】 题型1 二元一次方程的概念 题型2 二元一次方程的整数解 题型3 解二元一次方程组 题型4 同解方程组 题型5 二元一次方程组的应用之几何问题 题型6 二元一次方程组的应用之销售问题 题型7 二元一次方程组的应用之方案设计问题 题型8 三元一次方程组的应用 一、知识梳理 要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点三、实际问题与二元一次方程组 要点四、三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数． 解三元一次方程组的一般步骤： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 二、题型精讲 题型1 二元一次方程的概念 例1.下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（       ） A．2x+y B．x﹣3y＝﹣15 C．xy+x﹣2＝2 D． 【变式1】若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 题型2 二元一次方程的整数解 例2.若关于，的方程组有正整数解，则正整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】如果x，y取0，1，2，…9中的数，且3x﹣2y＝12，则10x+y的值可以有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3 题型3 解二元一次方程组 例3.解方程组： (1)； (2) 【变式3-1】解方程组：（1） （2） 【变式3-2】计算 （1） （2） 题型4 同解方程组 例4.若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【变式4-1】关于x、y二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 【变式4-2】已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 题型5 二元一次方程组的应用之几何问题 例5.如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为和，则大长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是（    ） A．96 B．112 C．126 D．140 【变式5-2】如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，BC＝11，DE＝7， （1）设每个小长方形的较长的一边为x，较短的一边为y，求x，y的值． （2）求图中阴影部分面积． 题型6 二元一次方程组的应用之销售问题 例6.某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量） A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1350 1200 （1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？ 【变式6】元旦期间，某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件． (1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？ (3)该超市第二次又购进同样数量的甲，乙两种商品，其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品每件的进价少3元，甲种商品按原售价提价m%销售，乙种商品按原售价降价m%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，求m的值． 题型7 二元一次方程组的应用之方案设计问题 例7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？ 【变式7】已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物，一次可运货；用1辆A型车和2辆B型车装满货物，一次可运货．某物流公现有货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物（a、b 均不为0）．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物，一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆的租金为100元/次，B型车每辆的租金为120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费用． 题型8 三元一次方程组的应用 例8.（宿迁·树人月考）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则______，______； （2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； （3）某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？ 【变式8】问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 1 学科网（北京）股份有限公司 $