专题11.1 不等式（2大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版七年级数学下学期

本初中数学讲义聚焦“不等式”核心知识点，系统梳理不等式的相关概念（定义、不等号、解、解集、解不等式）及基本性质（传递性、加减不变号、乘除变号规则），构建从概念理解到性质应用的学习支架，助力学生夯实基础。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型强化概念识别与简单应用，培优题型深化性质逆向运用与代数推理，结合实例培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升知识掌握度。

专题11.1 不等式 知识点1：不等式的相关概念 1.不等式定义：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 2.常见不等号一览表 符号 读法 意义 关键词 ＜ 小于 不足、低于 小于 ＞ 大于 高出、超过 大于 ≤ 小于等于 不大于、不超过、至多 不超过 ≥ 大于等于 不小于、不低于、至少 至少 ≠ 不等于 不相等 不等 3.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，简称解集。 5.解不等式：求不等式解集的过程。 知识点2：不等式的基本性质 1.性质1（传递性） 若，，则；若，，则。 2.性质2（加减不变号） 不等式两边都加（或减）同一个数或整式，不等号方向不变。 若，则；若，则。 3.性质3（乘除变号规则） 两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 【基础必考题型】 【题型1】不等式的识别判断 1.核心知识点 不等式的定义；不等号的识别；区分等式、代数式、不等式。 2.解题方法技巧 看式子中是否含＞、＜、≥、≤、≠；不含不等号的不是不等式。 【例题1】.（25-26七年级下·上海虹口·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式是用不等号(，，，，)连接，表示不等关系的式子判断即可． 【详解】解：A、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； B、是代数式，不表示不等关系，故此选项错误； C、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； D、是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式． B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义． C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． 故选B． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】不等式定义为：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式定义逐一判断式子，统计个数即可得到结果． 【详解】解： ①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③，用等号连接，是等式，不是不等式； ④，是代数式，无不等号连接，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ∴不等式共有3个． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·吉林长春·月考）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【答案】 ①②⑥ 【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是用等号连接的等式，不是不等式； ④ 是代数式，不是不等式； ⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式； ⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式， 故①②⑥是不等式． 【题型2】根据文字语言列不等式 1.核心知识点 关键词转化为不等号；准确列出代数式；规范书写不等式。 2.解题方法技巧 至少→≥；至多→≤；超过→＞；不足→＜；非负→≥0；非正→≤0。 【例题2】.（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列不等式，根据不等量关系，直接列出不等式即可 【详解】解：因为农户今年的收入比去年至少多1.5万元， 所以，列不等式为：， 故选：B． 【变式题2-1】.（2025·河北衡水·模拟预测）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【详解】解：不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：， 故选：A 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 【详解】解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·上海·月考）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【答案】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 【题型3】不等式基本性质的简单应用 1.核心知识点 三条基本性质；变号与不变号条件。 2.解题方法技巧 加减不变号；乘除正数不变号；乘除负数一定变号。 【例题3】.（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐一判断选项可得到结论． 【详解】解：A、，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，，A一定正确，不符合题意； B、，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，得，不等式两边同加，不等号方向不变，，B一定正确，不符合题意； C、当，时，满足，但，，此时，因此C不一定正确，符合题意； D、，，D一定正确，不符合题意． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·江西吉安·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选项B错误． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断选项即可．不等式性质为：不等式两边加(或减)同一个数(或整式) ，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、不等式两边同时减2，不等号方向不变，得．故A错误； B、不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，得．故B错误； C、不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得．故C正确； D、不等式两边先同时除以正数，得，再两边同时减，不等号方向不变，得．故D错误． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东东营·月考）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：对选项A，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，故A错误； 对选项B，由得，不等式两边同加，得，故B错误； 对选项C，∵，∴， ∵不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴，故C正确； 对选项D，中分母为，当时，式子无意义，故D错误． 【培优高频题型】 【题型4】利用不等式性质比较代数式大小 1.核心知识点 性质3的灵活运用；符号对不等号方向的影响。 2.解题方法技巧 先判断系数正负，再确定不等号是否改变；可用作差法辅助判断。 【例题4】.（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析． 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 【答案】 ，方法见解析 【分析】本题使用两种方法比较大小，方法一利用不等式的基本性质推导结果，方法二利用作差法，通过判断差的正负得到大小关系． 【详解】解：方法一：， 不等式两边同乘以负数，不等号方向改变 ； 方法二： 计算两式的差 ． 【变式题4-2】.（24-25八年级下·江西抚州·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·河南平顶山·月考）阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变； (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变； （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得：． 【题型5】由解集反推系数取值范围 1.核心知识点 性质3的逆向应用；由不等号方向判断系数正负。 2.解题方法技巧 看不等号方向是否改变→确定系数正负→列不等式求范围。 【例题5】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查不等式的基本性质，注意系数正负对不等号方向的影响．根据不等式解集的形式，可知除系数时不等号方向不变，因此系数必须为正数，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴除以后不等号方向不变， ∴， ∴， 故选：C． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·四川绵阳·期末）关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 【变式题5-3】.（2024八年级下·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变．根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故选：C． 【题型6】作差法比较大小（代数推理） 1.核心知识点 不等式性质；作差→判断符号→定大小。 2.解题方法技巧 计算→若则；若则；若则。 【例题6】.（25-26九年级上·湖南长沙·期中）孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第_____步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【答案】④ 【分析】本题考查不等式的基本性质（不等式两边除以同一个数时，需考虑数的正负性），熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 分析每一步推理是否遵循不等式两边除以一个数时“除数不能为0且需考虑正负对不等号方向的影响”这一基本法则． 【详解】第一步：根据命题条件直接得出，这是对条件的直接引用，严谨． 第二步：将移项得到，移项法则应用正确，严谨． 第三步：对因式分解为，因式分解法则应用正确，严谨． 第四步：在两边除以时，没有考虑的正负性．根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变．但此处未分析是正还是负，直接除以，推理不严谨． 第五步：由移项得到，移项法则应用正确，但因第四步不严谨，导致结论错误． 综上，上述推理过程中，第四步是不严谨的． 故答案为④． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）． 依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得： 【变式题6-2】.（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 下面是小敏同学撰写的一则数学小论文，请你认真阅读并完成下列任务． 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．代数推理侧重于数与式、方程与不等式、函数等相关内容的运算、变形、证明，抽象程度较高，并且不同的代数推理中涵盖不同的推理思想．其中，方程与不等式的推理是初中代数推理的重要组成部分，我们运用代数推理技巧，对方程或不等式进行变形和化简，以便找到解或解集，也可用来比较代数式的大小．下面是我的推理过程： 我利用不等式的基本性质推理如下： 例 （1）已知，试比较与的大小． 解：，， ．（依据1） ．（依据2） （2）已知，，试比较与的大小． 解：， ． 又， ． ． 任务： (1)上面小论文中的“依据1”是________，“依据2”是________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比材料中（2）的推理方法，比较与的大小． 【答案】(1)依据1：不等式的基本性质3；依据2：不等式的基本性质1 (2) 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：依据1：不等式的基本性质3［或如果，并且，那么，或不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变］ 依据2：不等式的基本性质1［或如果，那么，或不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变］； （2）解：，， ． ，， ． ． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容． 例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． (1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果a、b、c、d都是正数，、且，那么； (2)根据上述性质解决问题： ①若，，则的取值范围是________； ②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”） 【答案】(1)见详解 (2)①② 【分析】（1）由不等式的基本性质得，，即可得证； （2）：①由（1）得，即可求解； ②由不等式的基本性质得，，即可得证． 【详解】（1）解：a、b、c、d都是正数，、且， ，， ； （2）解：①由题意得， ； ②y是正数，且，， ，， ， ． 易错点 1.混淆“≥”与“＞”、“≤”与“＜”，漏写等号导致边界错误。 2.运用性质3时忘记变号，尤其两边乘除负数时不等号方向不变。 3.列不等式时关键词翻译错误，如“至少”“不超过”对应符号混淆。 4.数轴表示虚实点不分，含等号用空心、不含等号用实心。 5.判断解时只看个别值，误把单个解当成全部解集。 重点 1.不等式的概念、基本性质（尤其是性质3）。 2.文字语言→不等式的转化（关键词对应不等号）。 3.不等式的解与解集的区别；数轴表示解集。 4.利用不等式性质进行变形与比较大小。 难点 1.逆向运用性质3，由解集反推参数范围。 2.复杂实际问题中准确提取不等关系并列式。 3.作差法、分类讨论等推理型题目的思路构建。 4.数形结合理解解集的意义与范围。 【对应练习题】 一、单选题 1．若，则下列不等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、若，则，故本选项正确，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，不符合题意； C、若，则，故本选项错误，符合题意； D、若，则，故本选项正确，不符合题意． 2．以下各题的结论正确的是（   ） ①如果，那么；②如果，，那么；③如果，那么；④如果，那么． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质与有理数乘除的符号法则，逐一判断每个结论的正误即可得到答案． 【详解】解：①取，，满足，此时，，得，与结论矛盾，因此①错误； ②若，则，，此时，不满足，因此②错误； ③，且，不等式成立说明，即， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得，因此③正确； ④，说明与同号， 同号两数相除商为正，即，因此④正确． 综上，正确的结论是③④，选项符合题意． 3．数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴得到，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由数轴可得，， 则，，，， 故C正确． 二、填空题 4．请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，0，1都是不等式的解，写出不等式即可． 【详解】解：∵，0，1都是不等式的解， ∴该不等式可以是（答案不唯一）． 5．若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，不等号方向发生改变，说明不等式两边除以的系数为负数，据此建立关于的不等式求解即可． 【详解】解： 关于的不等式可化为，不等号方向发生改变， 由不等式的性质3可知，系数， 解得． 6．若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 【答案】 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 【详解】解：∵， ∴， 推理的依据是：不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 三、解答题 7．证明：当时，． 【答案】见解析 【分析】根据不等式的性质可得，则，据此可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 ． 8．已知实数、、满足，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据得，把代入，得，再整理即可证明． 【详解】证明：， ． 把代入，得， ， ． ． 9．利用我们学过的完全平方公式知识能解决等式或代数式的问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求______，______； (2)若，，其中，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）将，变形为，根据非负性求解即可； （2）计算，配方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ， 解得； （2）解：，， ， ， ， ， ， 故． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 不等式 知识点1：不等式的相关概念 1.不等式定义：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 2.常见不等号一览表 符号 读法 意义 关键词 ＜ 小于 不足、低于 小于 ＞ 大于 高出、超过 大于 ≤ 小于等于 不大于、不超过、至多 不超过 ≥ 大于等于 不小于、不低于、至少 至少 ≠ 不等于 不相等 不等 3.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，简称解集。 5.解不等式：求不等式解集的过程。 知识点2：不等式的基本性质 1.性质1（传递性） 若，，则；若，，则。 2.性质2（加减不变号） 不等式两边都加（或减）同一个数或整式，不等号方向不变。 若，则；若，则。 3.性质3（乘除变号规则） 两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 【基础必考题型】 【题型1】不等式的识别判断 1.核心知识点 不等式的定义；不等号的识别；区分等式、代数式、不等式。 2.解题方法技巧 看式子中是否含＞、＜、≥、≤、≠；不含不等号的不是不等式。 【例题1】.（25-26七年级下·上海虹口·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式题1-3】.（25-26七年级下·吉林长春·月考）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【题型2】根据文字语言列不等式 1.核心知识点 关键词转化为不等号；准确列出代数式；规范书写不等式。 2.解题方法技巧 至少→≥；至多→≤；超过→＞；不足→＜；非负→≥0；非正→≤0。 【例题2】.（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2025·河北衡水·模拟预测）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【变式题2-3】.（25-26七年级下·上海·月考）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【题型3】不等式基本性质的简单应用 1.核心知识点 三条基本性质；变号与不变号条件。 2.解题方法技巧 加减不变号；乘除正数不变号；乘除负数一定变号。 【例题3】.（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·江西吉安·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东东营·月考）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型4】利用不等式性质比较代数式大小 1.核心知识点 性质3的灵活运用；符号对不等号方向的影响。 2.解题方法技巧 先判断系数正负，再确定不等号是否改变；可用作差法辅助判断。 【例题4】.（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 【变式题4-2】.（24-25八年级下·江西抚州·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·河南平顶山·月考）阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 【题型5】由解集反推系数取值范围 1.核心知识点 性质3的逆向应用；由不等号方向判断系数正负。 2.解题方法技巧 看不等号方向是否改变→确定系数正负→列不等式求范围。 【例题5】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·四川绵阳·期末）关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【变式题5-3】.（2024八年级下·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型6】作差法比较大小（代数推理） 1.核心知识点 不等式性质；作差→判断符号→定大小。 2.解题方法技巧 计算→若则；若则；若则。 【例题6】.（25-26九年级上·湖南长沙·期中）孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第_____步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 下面是小敏同学撰写的一则数学小论文，请你认真阅读并完成下列任务． 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．代数推理侧重于数与式、方程与不等式、函数等相关内容的运算、变形、证明，抽象程度较高，并且不同的代数推理中涵盖不同的推理思想．其中，方程与不等式的推理是初中代数推理的重要组成部分，我们运用代数推理技巧，对方程或不等式进行变形和化简，以便找到解或解集，也可用来比较代数式的大小．下面是我的推理过程： 我利用不等式的基本性质推理如下： 例 （1）已知，试比较与的大小． 解：，， ．（依据1） ．（依据2） （2）已知，，试比较与的大小． 解：， ． 又， ． ． 任务： (1)上面小论文中的“依据1”是________，“依据2”是________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比材料中（2）的推理方法，比较与的大小． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容． 例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． (1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果a、b、c、d都是正数，、且，那么； (2)根据上述性质解决问题： ①若，，则的取值范围是________； ②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”） 易错点 1.混淆“≥”与“＞”、“≤”与“＜”，漏写等号导致边界错误。 2.运用性质3时忘记变号，尤其两边乘除负数时不等号方向不变。 3.列不等式时关键词翻译错误，如“至少”“不超过”对应符号混淆。 4.数轴表示虚实点不分，含等号用空心、不含等号用实心。 5.判断解时只看个别值，误把单个解当成全部解集。 重点 1.不等式的概念、基本性质（尤其是性质3）。 2.文字语言→不等式的转化（关键词对应不等号）。 3.不等式的解与解集的区别；数轴表示解集。 4.利用不等式性质进行变形与比较大小。 难点 1.逆向运用性质3，由解集反推参数范围。 2.复杂实际问题中准确提取不等关系并列式。 3.作差法、分类讨论等推理型题目的思路构建。 4.数形结合理解解集的意义与范围。 【对应练习题】 一、单选题 1．若，则下列不等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．以下各题的结论正确的是（   ） ①如果，那么；②如果，，那么；③如果，那么；④如果，那么． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3．数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 5．若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 6．若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 三、解答题 7．证明：当时，． 8．已知实数、、满足，，求证：． 9．利用我们学过的完全平方公式知识能解决等式或代数式的问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求______，______； (2)若，，其中，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $