精品解析：甘肃省武威市凉州区武威第二十中学联考2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025－2026学年第二学期八年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如果 ，那么a是（ ） A. 非负数 B. 0 C. 负实数 D. 正实数 【答案】C 【解析】 【分析】先利用化简原式，再结合分式有意义的条件判断的取值范围即可． 【详解】解：∵根据二次根式的性质，可得， ∴原式可化为 整理得 又∵分式分母不能为0， ∴，即是负实数． 2. 若最简二次根式和能合并，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类最简二次根式的性质，能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴二者是同类二次根式，被开方数相等，可得 ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 检验：当时，被开方数 且 ，此时两个二次根式是最简二次根式，符合题意， 所以． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式得到，算出的值，即可算出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4. 攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（ ）． A. 14 B. 12 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，平面展开图如下所示， 则， 即从点A攀爬到点B的最短路径长为． 5. 如图，数轴上点C所表示的数为，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】解：由题意可知，在中，， ∴， ∴， 即点A所表示的实数是． 6. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理可判断A和B，利用勾股定理的逆定理可判断C和D． 【详解】解：A．∵， ∴ ∴是直角三角形，本选项不符合题意． B．∵， ∴，即 ∴是直角三角形，本选项不符合题意． C．设，，（） ∵，符合勾股定理的逆定理 ∴是直角三角形，本选项不符合题意． D．∵，， 计算得，， 验证得任意两边平方和都不等于第三边的平方，不满足勾股定理逆定理 ∴不是直角三角形，本选项符合题意 7. 给出下列命题：其中，正确命题的个数为（ ） ①在直角三角形中，已知两边长3和4，则第三边长为5； ②的三边为a，b，c，则a，b，c一定满足勾股定理：， ③中，若，则是直角三角形； ④中，若，则这个三角形是直角三角形； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理逐个判断每个命题的正误，统计正确命题的个数即可得到答案． 【详解】解：未说明3和4是直角边还是斜边，若4为斜边，则第三边长为，故①错误； 勾股定理中只有当为斜边时，才有，题目未说明是斜边，故②错误； ，三角形内角和为， ， 是直角三角形，故③正确； 设，，，其中， ，， ， 由勾股定理逆定理可知，这个三角形是直角三角形，故④正确； 综上，正确的命题共个． 8. 如图，连接正五边形的对角线，过顶点作于，是中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合正五边形的性质，得出，，再证明，得，结合等腰三角形的性质得，，又因为是中点，得，运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵是中点， ∴， 即， 则， ∴． 9. 四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项C： ∵，，， ∴． ∴． 同理可得． ∴四边形为平行四边形． 选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件． 10. 如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由正方形的性质得，，， ，， 由折叠得到， ， 又， ， ∴，又， ， ∴． 在中，，， 由勾股定理得， 解得，即正方形的边长为24． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质得到，再利用绝对值的性质列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【详解】根据二次根式的性质可得：, 由题意得 根据绝对值的性质：当时，， 可得： 移项得 ． 12. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题未明确等腰三角形的腰长和底边长，需要分情况讨论，先化简给定的二次根式，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：先化简二次根式，得，， 分两种情况讨论： ① 当腰长为，底边长为时， 因为，满足三角形三边关系， 此时周长为； ② 当腰长为，底边长为时， 因为，满足三角形三边关系， 此时周长为， 综上，它的周长为或． 13. 定义一种新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算，利用整式乘法和二次根式的运算法则化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 14. 如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 15. 在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与简单图形计算，直角三角形计算．作关于的对称点，连接交于，此时就是的最小值．通过直角三角形计算即可求出长度． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作，点在上，连接交于．此时就是的最小值． ，点的坐标为， ，，， 和关于对称， ，， ， ， ， 由可得， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为__________． 【答案】或6 【解析】 【分析】分两种情况：当点D在上时，当点D在延长线时，分别画出图形，利用勾股定理和折叠的性质，进行求解即可． 【详解】解：当点D在上时，如图所示： 在中，， 由勾股定理得：， 由折叠性质得：，， ∴， 设，则， ∵， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即此时的长为； 当点D在延长线时，如图所示： 根据折叠可得：，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即此时的长为6； 综上，的长为或6． 17. 如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______． 【答案】30 【解析】 【分析】过点P作，延长交的延长线于点E，由平行四边形的性质可得，，可得，则，，再根据可得，然后根据平行四边形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点P作，延长交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积是30． 18. 图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°． 【答案】45 【解析】 【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出，最后利用邻补角关系求得的度数． 【详解】解： 八边形为正八边形， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， ， 与交于点， 在中，，， ， 点，， C在同一直线上， ． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内进行通分后，对分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法后，约分化简，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 21. 已知，． （1）求的值； （2）若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，，再根据整体代入求值； （2）先求出a，b，再代入待求式，根据二次根式的混合运算法则计算． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，则， ∴m的整数部分a为7，n的小数部分b为， ∴． 22. 已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． （1）求a； （2）先化简再求值：． 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了非负性、二次根式的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）先根据非负数的性质得出，，再根据勾股定理即可得出答案； （2）先根据二次根式的性质得出，再根据实数的大小比较得出，然后根据非负数的性质及二次根式的性质化简，最后将值代入即可得出答案． 【小问1详解】 ， ， 当为直角三角形的斜边时， 当为直角三角形的一条直角边时， 综上所述，的值为或； 【小问2详解】 解：由题意得 23. 在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． （1）若，求的度数． （2）当时，求的长． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的高得，根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得； （2）过点E作于点F，根据角平分线性质得，可得，得，，求出，设，则，根据，得，解得，根据三线合一，得． 【小问1详解】 解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作于点F，则， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形性质，角平分线定义和性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，是解题的关键． 24. 如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米. （1）求的度数； （2）求图中健身区（阴影部分）的面积. 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角三角形即可； （2）利用三角形的面积解题即可． 【小问1详解】 因为，米，米， 所以（米）， 因为米，米， 所以， 所以是直角三角形，． 【小问2详解】 图中阴影部分的面积（平方米）． 25. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中： ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论； （2）如图所示，连接交于点，计算出、，根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， ， ， ， ． 26. 综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： （1）化简； （2）化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 27. 如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． （1）① （用含t的式子表示） ②若，求的长； （2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）存在，或12 【解析】 【分析】（1）①由运动知，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时，由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①由运动知，， ∵在线段上取点E，使得， ∴， 故答案为：； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：存在，或；理由如下： 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得：． ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，或12秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期八年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如果 ，那么a是（ ） A. 非负数 B. 0 C. 负实数 D. 正实数 2. 若最简二次根式和能合并，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（ ）． A. 14 B. 12 C. 10 D. 5. 如图，数轴上点C所表示的数为，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2 6. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 给出下列命题：其中，正确命题的个数为（ ） ①在直角三角形中，已知两边长3和4，则第三边长为5； ②的三边为a，b，c，则a，b，c一定满足勾股定理：， ③中，若，则是直角三角形； ④中，若，则这个三角形是直角三角形； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，连接正五边形的对角线，过顶点作于，是中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 9. 四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 10. 如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知，则x的取值范围是______． 12. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________． 13. 定义一种新运算：，则的运算结果是_____． 14. 如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 15. 在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________． 16. 如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为__________． 17. 如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______． 18. 图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2） 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 21. 已知，． （1）求的值； （2）若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值． 22. 已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． （1）求a； （2）先化简再求值：． 23. 在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． （1）若，求的度数． （2）当时，求的长． 24. 如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米. （1）求的度数； （2）求图中健身区（阴影部分）的面积. 25. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： （1）化简； （2）化简． 27. 如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． （1）① （用含t的式子表示） ②若，求的长； （2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $