第十一章一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试提升卷 2025-2026学年冀教版数学七年级下册

**基本信息** 冀教版数学七（下）第十一章单元测试提升卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，覆盖不等式（组）解法、实际应用等核心知识，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题/36分|解集表示、不等式性质、整数解|基础概念辨析，结合数轴直观考查| |填空题|4题/12分|整数解、无解条件、魔术情境应用|设置开放问题，渗透符号意识| |解答题|8题/72分|苏绣购买（方程组与不等式）、全运会购物方案（方案设计）、绝对值几何意义|情境时代性（文化传承、社会热点），综合考查模型意识与推理能力|

冀教版数学七（下）第十一章一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试提升卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1．不等式组的解集为，在下列数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与5的差是非正数，则用数学符号表示为 3．不等式的非负整数解有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．某校计划组织师生乘坐大小两种客车参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是35个，每辆小客车的乘客座位数是18个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，由于最后参加活动的人数增加了20人，在保持租用车辆数量不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后租用小客车数量的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 6．已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（　　） A． B． C． D． 7．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．小颖准备用21元买橡皮和卷笔刀，已知每块橡皮元，每个卷笔刀1元．她买了4个卷笔刀，则最多还可以买橡皮（　　） A．8块 B．9块 C．10块 D．11块 9．用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有辆货车，3位同学分别列出了关于的不等式组：①②③，则正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了1次后就停止，则最小整数值取多少（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 11．若关于 x 的不等式组 恰好只有 2 个整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（　　） A．3 B．4 C．6 D．1 12．已知关于x的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题3分，共12分） 13． 某环保知识竞赛一共有道题，规定：答对一道题得分，答错或不答一道题扣分，得分超过分可以获一等奖．小明同学参加了这次竞赛，并且获得了一等奖，则小明同学在本次竞赛中，最少答对了　 　道题． 14．不等式组的最大整数解是　 　． 15．若关于x的不等式组 无解，则b的取值范围是　 　. 16．魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．解不等式，并在数轴上表示解集． 18．解不等式组，并求出所有整数解． 19．已知关于，的方程组（是常数）． （1）若，求的值； （2）若．求的取值范围； （3）在（2）的条件下，化简：　 　． 20． 苏绣的发源地在苏州吴县一带，现已遍布很多地区．清代是苏绣的全盛时期，可谓流派繁衍，名手竞秀．某国际旅游公司计划购买A，B两种苏绣作品作为纪念品．已知购买1件A种苏绣作品与2件B种苏绣作品共需要700元，购买2件A种苏绣作品与3件B种苏绣作品共需要1 200元． （1）求A种苏绣作品和B种苏绣作品的单价分别为多少元； （2）该国际旅游公司计划购买A种苏绣作品和B种苏绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种苏绣作品多少件？ 21．已知关于x的方程2x－a－5＝0. （1）若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式1－＜的负整数解，求a的值. 22．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：跳绳和足球都按九折出售． 乙商店：买两个足球送一根跳绳 学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买 （1）若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？ （2）当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？ （3）根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案 23．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 24．阅读材料： 关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1． 所以该方程的正整数解为和 ． （1）方程的全部整数解表示为：（t为整数），则= ； （2）请你参考小明的解题方法，求方程的全部正整数解； （3）方程的正整数解有多少组? 请直接写出答案． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【解析】【解答】解：A：数轴上表示的解集为 为，所以A不正确； B：数轴上表示的解集为 为，所以B正确； C：数轴上表示的解集为 为，所以C不正确； D：数轴上表示的解集为 为，所以D不正确； 故答案为：B。 【分析】根据数轴上表示解集的方法，分别识别各选项所表示的解集，即可得出答案。 2．【答案】D 【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；不等式的性质；列不等式 【解析】【解答】解：A：若-3x=4，则，A选项不正确. B：若-2x≥4，则x≤-2，B选项不正确. C：当c=0时，ac2 =bc2 ，C项不正确. D：x-5≤0， D选项正确. 故答案为：D. 【分析】根据等式与不等式的基本性质即可排除A、B、C选项. 3．【答案】B 【知识点】一元一次不等式的特殊解；有理数的分类；有理数中的“非”数问题 【解析】【解答】解：， ， ， 所以不等式的非负整数解有0，1，2，3，4，共5个． 故答案为：B． 【分析】首先解不等式得出，进而根据非负整数的意义求得不等式的非负整数解即可。 4．【答案】B 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：该校最后参加活动的总人数为（人． 设租用小客车辆，则租用大客车辆， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 的最大值为． 故选：B． 【分析】 设租用小客车辆，则租用大客车辆，再利用不等关系“租用的客车可乘坐人数不少于人”列关于的一元一次不等式并求出最大的整数解即可． 5．【答案】D 【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【解答】解：， 得： 解得， 把代入得：， 解得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ，，，，，， 解关于的不等式组，得； ∵关于的不等式组有且仅有个整数解， ； 解得：， 整数为，，，，其和为； 故选：D 【分析】先利用加减消元法解得，进而即可求出，然后根据题意可知，，，，，， 然后解关于的不等式组得到，结合题意可知道，进而计算即可. 6．【答案】D 【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式 【解析】【解答】解：， 解得：， ∴方程有正整数解， ∴，且为偶数， ∴，且为偶数， ∵为负整数， ∴，或， 负整数的所有可能的取值的积为， 故选：D． 【分析】解方程可得，根据题意可得，且为偶数，则，或，再根据有理数的乘法即可求出答案. 7．【答案】A 【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解：∵不等式组， ∴解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组恰好只有四个整数解， ∴， ∴， 故选：A． 【分析】解不等式组，再根据题意建立关于a的不等式，解不等式即可求出答案. 8．【答案】D 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解：设最多还可以买橡皮块， 由题意可得：， 解得， 故最多还可以买橡皮11块． 故答案为：D． 【分析】设最多还可以买橡皮块，利用“橡皮的费用+卷笔刀的费用≤21”列出不等式求解即可. 9．【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的应用；列一元一次不等式组 【解析】【解答】解：设有辆货车，用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空． 则①②③，都成立， 故答案为：D. 【分析】设有辆货车，利用不同的等式关系可列出不等式组，从而得解. 10．【答案】D 【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；求代数式的值-程序框图 【解析】【解答】解：由题得：， 解得：． ∵为整数， ∴的最小值为10． 故答案为：D． 【分析】 根据程序操作进行了1次后就停止，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论． 11．【答案】C 【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解：对不等式组 ， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得 ， ∵不等式组只有2个整数解， ∴这两个整数解只能是1，0， ∴ ，解得： ， 则整数a的值是0，1，2，3，和为6． 故答案为：C． 【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后由不等式组有2个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得a的取值范围，进而可确定a的整数值，进一步即可求出答案． 12．【答案】C 【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题 【解析】【解答】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， 若它的解集是，则， 解得：，故①符合题意； ②当时，，不等式无解，故②符合题意； ③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4， ∴， 解得：，故③不符合题意； ④若它有解，则， 解得：，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有①②④，共个， 故答案为：C． 【分析】先利用一元一次不等式的定义及计算方法求出不等式组的解集，再逐项分析判断即可. 13．【答案】18 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】设小明同学在本次竞赛中，最少答对了x道题，则答错或不答（20-x）道题， 根据题意可得：5x-（20-x）>85， 解得：x>， ∵x为自然数， ∴x的最小值为18， ∴小明同学在本次竞赛中，最少答对了18道题， 故答案为：18. 【分析】设小明同学在本次竞赛中，最少答对了x道题，则答错或不答（20-x）道题，根据“ 获得了一等奖 ”列出不等式5x-（20-x）>85，再求解即可. 14．【答案】0 【知识点】一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的最大整数解是0， 故答案为：0. 【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而找出解集范围内的最大整数截即可. 15．【答案】b>-3 【知识点】一元一次不等式组的含参问题 【解析】【解答】解： 解不等式①，得、x≥2+2b. 解不等式②，得 因为关于x的不等式组 无解， 所以 解得b>-3. 故答案为：b>-3. 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知不等式组无解得出关于b的不等式，求出不等式的解集即可. 16．【答案】7 【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式组 【解析】【解答】解：设观众选择的第一个数是x，第二个数是y根据题意得， ∴ ∴ ∵x，y都是之间的数 ∴ 解得 ∴ ∴观众选择的第一个数是7． 【分析】根据题意分析计算解方程即可，即将文字信息利用代数式表示建立等量关系，最后利用个位数整数解进行不等式分析即可得出结果. 17．【答案】解： 在数轴上表示解集为： 【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集 【解析】【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出不等式解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 18．【答案】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及其整数解的求解方法。解题步骤如下：1. 分别求出每个不等式的解集 2. 根据不等式组解集的确定原则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）确定不等式组的解集 3. 在解集范围内找出所有整数解 注意事项：在确定不等式组解集时，需要准确把握各不等式解集之间的关系，合理运用解集确定原则。对于整数解的选取，要特别注意解集的边界值是否包含在内。 19．【答案】（1）解：已知方程组： ，得： 两边同时除以3，得： ∵x+y=1 ∴，解得： 所以m的值为. （2）解：， ，得：， ∵， ∴， 解得：， 所以m的取值范围是. （3）3m-6 【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；化简含绝对值有理数 【解析】【解答】解：（3）∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式组，化简绝对值. （1）利用整体思想，将方程组两式相加得到x+y的表达式，再代入x+y=1求m. （2）通过方程组两式相减得到x-y的表达式，结合x-y的范围列不等式组，解出m的取值范围. （3）根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后化简整式. （1）解：， ，得：， ∴， ∴； （2）解：， ，得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴． 20．【答案】（1）解：设A种苏绣作品的单价为x元，B种苏绣作品的单价为y元， 根据题意得 解得 答：A种苏绣作品的单价为300元，B种苏绣作品的单价为200元. （2）解：设购买A种苏绣作品m件，则购买B种苏绣作品(200－m)件， 根据题意，得300m＋200(200－m)≤50 000， 解得m≤100. ∴m的最大值为100. 答：最多能购买A种苏绣作品100件． 【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）根据“ 购买1件A种苏绣作品与2件B种苏绣作品共需要700元，购买2件A种苏绣作品与3件B种苏绣作品共需要1 200元 ”列出方程组求解即可. （2）根据题意“ 国际旅游公司计划购买A种苏绣作品和B种苏绣作品共200件，总费用不超过50 000元 ”列出不等式并求解，再根据不等式解集确定其最大整数解. 21．【答案】（1）解：∵ 2x－a－5＝0， ∴ x＝. ∵ 该方程的解满足x≤2， ∴≤2， ∴ a≤－1. （2）解：1－＜， 6－3(x＋6)＜2(2x＋1)， 6－3x－18＜4x＋2， －3x－4x＜2＋18－6， －7x＜14， ∴x＞－2. ∴该不等式的负整数解为x＝－1. ∴＝－1， ∴a＝－7. 【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；已知一元一次方程的解求参数 【解析】【分析】（1）对方程 2x－a－5＝0 求解得x＝，结合题意 x≤2， 求出a的取值范围. （2） 解不等式1－＜ 得其解集，从而确定不等式的负整数解x=-1，根据方程解=-1求a的值. 22．【答案】（1）解：由题意得：元， ∴购买跳绳和足球的总费用是1700元； （2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， ∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同． （3）解：设订购跳绳的数量是x根， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算． 【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题 【解析】【分析】(1) 根据乙店 “买 2 个足球送 1 根跳绳” 的规则，先算出需付费的跳绳数量，再结合足球和跳绳的单价计算总费用。 (2) 设跳绳数量为x，分别列出甲店（全部九折）和乙店的费用代数式，令两者相等列方程求解，得到费用相同时的x值。 (3) 通过比较两店费用的代数式，列不等式求解不同x范围下更省钱的购买方案。 （1）解：由题意得：元， ∴购买跳绳和足球的总费用是1700元； （2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， ∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同． （3）解：设订购跳绳的数量是x根， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算． 23．【答案】（1）3， （2）解：表示数轴上x与3和x与2的距离之和， 故当时，取最小值，且为. （3）解：①或； ②如图所示： 当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或． 【知识点】解一元一次不等式；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：（1）C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； 故答案为：3，； （3）①的解集为或， 故答案为：或. 【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）将代数式转换为表示数轴上x与3和x与2的距离之和，再结合数轴求解即可； （3）①利用绝对值的性质求解即可； ②分类讨论，再结合数轴求解即可. 24．【答案】（1） （2）解：方程一组整数解为， 则全部整数解可表示为（t为整数）， 要求即， 解得． 因为t为整数， 所以，，0， 所以方程的全部正整数解为或或. （3）13组 【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】（1）解：把代入方程得，，解得， ∵方程的全部整数解表示为：（t为整数）， 则， 故填：； （3）解：方程一组整数解为， 则全部整数解可表示为（t为整数）． ∵，解得． 因为t为整数， 所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12， ∴方程的正整数解有13组． 【分析】（1）这道题考查二元一次方程整数解的表示形式，通过代入特殊值t=0求出一组整数解 （2）这道题考查二元一次方程正整数解的求解，先找到一组整数解，再根据参数t的取值范围筛选出正整数解。 （3）这道题考查二元一次方程正整数解的组数判断，通过确定参数t的整数取值个数，即可得到正整数解的组数。 （1）解：把代入方程得，， 解得， ∵方程的全部整数解表示为：（t为整数）， 则， 故答案为：； （2）解：方程一组整数解为， 则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得． 因为t为整数， 所以，，0， 所以方程的全部正整数解为或或； （3）解：方程一组整数解为， 则全部整数解可表示为（t为整数）． ∵，解得． 因为t为整数， 所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12， ∴方程的正整数解有13组． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $