学易金卷：七年级数学下学期5月学情自测卷（新教材北京版，范围：七年级下册第4～8章）

**基本信息** 以苔花诗句、《九章算术》等文化素材及抖空竹、打印机购买等生活情境为载体，融合数与代数、图形与几何，考查运算能力、推理意识及模型意识，适配七年级下学期学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|科学记数法、对顶角、整式运算|结合传统文化（如第1题苔花花粉直径）| |填空题|8/16|因式分解、命题改写、平行线性质|融入生活场景（如第13题抖空竹抽象几何）| |解答题|11/68|几何证明、方程组、不等式应用、新定义|分层设计，如23题打印机购买方案考查模型意识，26题“绝对距离”新定义考查推理能力|

2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 -------------------------------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂【×！【W1【/ 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[AIIBIICIIDI 5.1A]IBIIC]IDI 2.[AJ[B][CIID] 6.[A]IBI[C]ID] 3.[AJIBIICJID] 7.AIIBIIC]IDI 4.[AI[BIICIIDI 8.[A]IBI[C]ID] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 10. 13, 16 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(4分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(5分) 20.(5分) A D 人11 G 2入 F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(5分) 22.(5分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(7分) 24.(7分) y A M N ● M p N -B 0 -B C 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) 26.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) 内 E 0 O A B A B -H C 六D -D M 图1 图2 B 0 C D M 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版七年级下册第4~8章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A．8.38×10﹣7 B．8.38×10﹣6 C．﹣8.38×106 D．﹣8.38×107 2．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，则∠α与∠β的关系为（　　） A．∠α+∠β＝45° B．∠α＝∠β C．∠α+∠β＝30° D．不确定 4．下列计算中，正确的是（　　） A．x2•x5＝x7 B．（3x2）2＝6x4 C．x6÷x3＝x2 D．2x2+3x2＝5x4 5．若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 6．古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．问金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．如图1，已知AB是一块平面镜，光线PO在平面镜AB上经点O反射后，形成反射光线OQ，我们称PO为入射光线，OQ为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠1＝∠2．如图2，OM和ON是两块平面镜，入射光线AB经过两次反射后，得到反射光线CD．则下列判断错误的是（　　） A．若α＝60°，则∠OBC＝60° B．若BC⊥CD，则β＝45° C．若α＝β，则AB∥CD D．若AB∥CD，则α+β＝90° 8．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠HGC，给出下列四个结论：①AB∥CD；②∠HGD+∠HEB+∠H＝360°；③∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；④3∠BEN﹣∠F＝180°﹣3∠HGC．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果 　 　 ，那么 　 　 ． 10．因式分解：a2b﹣4b＝ 　 ． 11．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　 　 °． 12．若不等式组有解，则m的取值范围是　 ． 13．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连接AE，CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　 　 ． 14．若（x﹣k）（x2﹣2x+3）展开后不含x的二次项，则常数k的值为　 　 ． 15．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则a2+b2＝　 　 ． 16．将一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°， ∠ABC＝45°．若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 　 　 °时，DE∥AB． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：第17题4分，第18题6分，19-22题每题5分，23-24题每题7分，25-27题每题8分。 17．（4分）因式分解： （1）2x2﹣12x+18． （2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y）． 18．（6分）解方程组： （1）； （2）． 19．（5分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 20．（5分）如图，DE∥BC，∠1＝∠2． （1）求证：FG∥CD； （2）若CD平分∠ACB，∠DEC＝120°，求∠2的度数． 21. （5分）先化简，再求值：[（a﹣3b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷（﹣2b），其中，b＝﹣2． 22. （5分）如图，在△DEF中，过点E作直线AB，C为DF上一点，连接BC交EF于点G，且DE ∥CB，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数． 23．（7分）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元，购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元． （1）购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？ （2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案费用最低？并求出最低费用． 24．（7分）已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），点C是射线OB上一点，过点C作OA的垂线交射线OA于点P，过点P作MN∥OB，点D是射线OA上一点，过点D作CD的垂线分别交直线MN，OB于点E，F． （1）如图1，CD平分∠OCP时， ①根据题意补全图形； ②求∠ODF的度数（用含α式子表示）； （2）如图2，当CD平分∠PCB时，直接写出∠ODF的度数（用含α式子表示）． 25. （8分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）；9≥﹣9，x2+4x﹣5最小值﹣9． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣15； （2）求多项式4x2+4x﹣7的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 26．（8分）若一个不等式组M有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称b﹣a为M的“绝对距离”，若M的绝对距离是不等式组N的解，则称不等式组N对于不等式组M“绝对包含”． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式组B：﹣3＜x≤3，判断不等式组B是否对于不等式组A绝对包含，并写出判断过程． （2）已知关于x的不等式组C：和关于x的不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C绝对包含，当﹣3≤n＜﹣2时，求满足条件的所有整数m的和． （3）已知关于x的不等式组E：以及不等式组，且不等式组F对于不等式组E绝对包含，求m的取值范围． 27．（8分）已知，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于O、P两点，M、N为直线CD上两点，M在N的左侧，连接OM、ON，且ON平分∠BOM． （1）如图1，当∠POM＝25°，∠ONP＝40°时，直接写出∠EOB的度数； （2）如图2，当点M在P点右侧，作射线OH平分∠EOM，求证：∠OPM＝2∠HON； （3）如图3，当点M在P点左侧，在（2）的条件下， ①依据题意补全图形； ②直接用等式表示∠HON和∠OPD之间的数量关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版七年级下册第4~8章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A．8.38×10﹣7 B．8.38×10﹣6 C．﹣8.38×106 D．﹣8.38×107 【答案】B． 【解析】解：0.00000838＝8.38×10﹣6． 2．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：根据对顶角的概念，根据对顶角的概念解答即可，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 结合图形可知B答案中∠1和∠2是对顶角． 3．如图，则∠α与∠β的关系为（　　） A．∠α+∠β＝45° B．∠α＝∠β C．∠α+∠β＝30° D．不确定 【答案】A． 【解析】解：由图可知：∠ABC＝∠ACB＝45°，∠α＝∠1， ∵∠β+∠1＝45°， ∴∠α+∠β＝45°. 4．下列计算中，正确的是（　　） A．x2•x5＝x7 B．（3x2）2＝6x4 C．x6÷x3＝x2 D．2x2+3x2＝5x4 【答案】A． 【解析】解：根据同底数幂乘除法计算，积的乘方计算和合并同类项逐项分析判断如下： A、x2•x5＝x7，原式计算正确，符合题意； B、（3x2）2＝9x4，原式计算错误，不符合题意； C、x6÷x3＝x3，原式计算错误，不符合题意； D、2x2+3x2＝5x2，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 5．若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 【答案】C． 【解析】解：A．∵a＞b， ∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴2a＞2b，故本选项不符合题意； C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意； D．∵a＞b，c2+1≠0， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．问金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解B． 【解析】解：根据题意可列方程组， 故选：B． 7．如图1，已知AB是一块平面镜，光线PO在平面镜AB上经点O反射后，形成反射光线OQ，我们称PO为入射光线，OQ为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠1＝∠2．如图2，OM和ON是两块平面镜，入射光线AB经过两次反射后，得到反射光线CD．则下列判断错误的是（　　） A．若α＝60°，则∠OBC＝60° B．若BC⊥CD，则β＝45° C．若α＝β，则AB∥CD D．若AB∥CD，则α+β＝90° 【答案】C． 【解析】解：∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴∠OBC＝α＝60°，故选项A正确，不符合题意； ∵BC⊥CD， ∴∠BCD＝90°， ∴∠OCB+β＝90°， ∵∠OCB＝β， ∴∠OCB＝β＝45°，故B选项正确，不符合题意； ∵∠OBC＝α， ∴∠ABC＝180°﹣2α， ∵∠OCB＝β， ∴∠BCD＝180°﹣2β， ∵α＝β， ∴∠ABC＝∠BCD，不能得出AB∥CD，故C选项错误，符合题意； ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC+2α+∠BCD+2β＝360°， ∴α+β＝90°，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 8．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠HGC，给出下列四个结论：①AB∥CD；②∠HGD+∠HEB+∠H＝360°；③∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；④3∠BEN﹣∠F＝180°﹣3∠HGC．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D． 【解析】解：∵∠FMA＝∠FGC， ∴AB∥CD， 故结论①正确； 如图，过点H作HI∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥HI， ∴∠HGD+∠GHI＝180°，∠IHE+∠HEB＝180°， ∴∠HGD+∠GHI+∠IHE+∠HEB＝360°， ∴∠HGD+∠HEB+∠H＝360°， 故结论②正确； ∵AB∥CD∥HI， ∴∠BEN＝∠IHE，∠HGC＝∠IHG， ∴∠BEN+∠HGC＝∠IHE+∠IHG＝∠EHG， ∵∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠HGC， ∴∠FEN+∠FGH＝2∠BEN+2∠HGC， ∴∠FEN+∠FGH＝2∠EHG， 故结论②正确； ∵∠BEN＝∠IHE，∠HGC＝∠IHG， ∴∠BEN+∠HGC＝∠EHG， ④∵AB∥CD， ∴∠FME＝∠FGD， ∴∠FME＝180°﹣∠FGC， ∵∠FEB＝∠FME+∠F， ∴∠FEB﹣∠F＝180°﹣∠FGC， ∴∠FEN+∠BEN﹣∠F＝180°﹣（∠FGH+∠HGC）， ∵∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠HGC， ∴2∠BEN+∠BEN﹣∠F＝180°﹣（2∠HGC+∠HGC）， ∴3∠BEN﹣∠F＝180°﹣3∠HGC， 故结论④正确， 综上所述，结论①②③④正确， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果 　 　 ，那么 　 　 ． 【答案】两个角是同一个角的余角，这两个角相等． 【解析】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 10．因式分解：a2b﹣4b＝ 　 ． 【答案】b（a+2）（a﹣2） 【解析】解：观察原式a2b﹣4b，找到公因式b，提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．所以a2b﹣4b＝b（a2﹣4）＝b（a+2）（a﹣2）． 11．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　 　 °． 【答案】35． 【解析】解：∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∵∠BOE＝55°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝35°， 故答案为：35． 12．若不等式组有解，则m的取值范围是　 ． 【答案】m＜3． 【解析】解：， 由①得，x＜3， 由②得，x＞m， ∵不等式组有解， ∴m＜3． 故答案为：m＜3． 13．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连接AE，CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　 　 ． 【答案】45°． 【解析】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠A＝65°， 又∵∠DFE＝∠C+∠E， ∴∠C＝∠DFE﹣∠E＝65°﹣20°＝45°． 故答案为：45°． 14．若（x﹣k）（x2﹣2x+3）展开后不含x的二次项，则常数k的值为　 　 ． 【答案】-2． 【解析】解：（x﹣k）（x2﹣2x+3） ＝x3﹣2x2+3x﹣kx2+2kx﹣3k ＝x3﹣（2+k）x2+（3+2k）x﹣3k， ∵（x﹣k）（x2﹣2x+3）展开后不含x的二次项， ∴2+k＝0， 解得：k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 15．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则a2+b2＝　 　 ． 【答案】76． 【解析】解：∵大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8， ∴（a+b）2＝144，（a﹣b）2＝8， ∴． 故答案为：76． 16．将一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°，∠ABC＝45°．若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 　 　 °时，DE∥AB． 【答案】30或150． 【解析】解：如图，当DE在AB的左下方时， ∠BAD＝∠ADE＝30°时，DE∥AB； 如图，当DE在AB的右上方时， 当∠BAD+∠D＝180°时，DE∥AB， ∵∠D＝30°， ∴∠BAD＝150°， ∴当∠BAD＝30°或150°时，DE∥AB． 故答案为：30或150． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：第17题4分，第18题6分，19-22题每题5分，23-24题每题7分，25-27题每题8分。 17．（4分）因式分解： （1）2x2﹣12x+18． （2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y）． 【解析】解：（1）2x2﹣12x+18 ＝2（x2﹣6x+9） ＝2（x﹣3）2； （2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣16b2） ＝（x﹣y）（a﹣4b）（a+4b）． 18．（6分）解方程组： （1）； （2）． 【解析】解：（1）， ①﹣②×3得：8y＝0， 解得：y＝0， 将y＝0代入①得：3x＝6， 解得：x＝2， 故原方程组的解为； （2）原方程组整理得， ①×3﹣②得：25y＝150， 解得：y＝6， 将y＝6代入②得：3x﹣6＝12， 解得：x＝6， 故原方程组的解为． 19．（5分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【解析】解：解不等式3x﹣3＜2x，得：x＜3， 解不等式2（1﹣x）≤x+3，得：x， 则不等式组的解集为x＜3， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ． 20．（5分）如图，DE∥BC，∠1＝∠2． （1）求证：FG∥CD； （2）若CD平分∠ACB，∠DEC＝120°，求∠2的度数． 【解析】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠BCD， ∵∠1＝∠2， ∴∠BCD＝∠2， ∴FG∥CD； （2）解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠BCD， ∵∠1＝∠BCD， ∴∠ECD＝∠1， ∵∠DEC＝120°， ∴∠ECD＝∠1（180°﹣120°）＝30°， ∴∠2＝∠1＝30°． 21. （5分）先化简，再求值：[（a﹣3b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷（﹣2b），其中，b＝﹣2． 【解析】解：原式＝[（a2﹣6ab+9b2）﹣（a2﹣4b2）]÷（﹣2b） ＝（a2﹣6ab+9b2﹣a2+4b2）÷（﹣2b） ＝（﹣6ab+13b2）÷（﹣2b） ＝3ab， 当a，b＝﹣2时，原式＝3（﹣2）＝14． 22. （5分）如图，在△DEF中，过点E作直线AB，C为DF上一点，连接BC交EF于点G，且DE ∥CB，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数． 【解析】（1）证明：∵DE∥CB， ∴∠AED＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠AED＝∠D， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠B+∠F＝102°，∠B＝∠D， ∴∠D+∠F＝102°， ∵∠D+∠F+∠DEF＝180°， ∴∠DEF＝78°． 23．（7分）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元，购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元． （1）购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？ （2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案费用最低？并求出最低费用． 【解析】解：（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，依题意有： ， 解得． 故购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元； （2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，依题意有： ， 解得：5≤m． 故共有两种购买方案： 购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台； 购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台． （3）若购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台，费用为860×5+900×15＝17800（元）； 若购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用为860×6+900×14＝17760（元）； ∵17800＞17760， ∴购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元． 24．（7分）已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），点C是射线OB上一点，过点C作OA的垂线交射线OA于点P，过点P作MN∥OB，点D是射线OA上一点，过点D作CD的垂线分别交直线MN，OB于点E，F． （1）如图1，CD平分∠OCP时， ①根据题意补全图形； ②求∠ODF的度数（用含α式子表示）； （2）如图2，当CD平分∠PCB时，直接写出∠ODF的度数（用含α式子表示）． 【解析】解：（1）①图形如图1所示； ②∵PC⊥OA， ∴∠OPC＝90°， ∴∠PCO＝90°﹣α， ∵CD平分∠OCP， ∴∠DCF∠OCP＝45α， ∵EF⊥CD， ∴∠DFC＝90°﹣45°α＝45α， ∴∠ODF＝∠CFD﹣∠AOB＝45°α﹣α＝45°α； （2）如图2中，∵PC⊥OA， ∴∠OPC＝90°， ∴∠PCO＝90°﹣α，∠PCB＝90°+α， ∵CD平分∠PCB， ∴∠DCF∠PCB＝45α， ∵EF⊥CD， ∴∠DFC＝90°﹣45°α＝45α， ∴∠ODF＝180°﹣α﹣（45°α）＝135°α． 25. （8分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）；9≥﹣9，x2+4x﹣5最小值﹣9． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣15； （2）求多项式4x2+4x﹣7的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 【解析】解：（1）x2+2x﹣15 ＝x2+2x+1﹣1﹣15 ＝（x+1）2﹣16 ＝（x+1+4）（x+1﹣4） ＝（x+5）（x﹣3）； （2）4x2+4x﹣7 ＝4（x2+x）﹣1﹣7 ， 因为， 所以4， 所以当时，式子有最小值0﹣8＝﹣8， 多项式4x2+4x﹣7的最小值是﹣8． （3）因为a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， 所以a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0， a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0， 即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， 所以a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， 所以a＝3，b＝4，c＝5， 因为a，b，c是△ABC的三边长， 所以△ABC的周长是3+4+5＝12． 答：△ABC的周长是12． 26．（8分）若一个不等式组M有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称b﹣a为M的“绝对距离”，若M的绝对距离是不等式组N的解，则称不等式组N对于不等式组M“绝对包含”． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式组B：﹣3＜x≤3，判断不等式组B是否对于不等式组A绝对包含，并写出判断过程． （2）已知关于x的不等式组C：和关于x的不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C绝对包含，当﹣3≤n＜﹣2时，求满足条件的所有整数m的和． （3）已知关于x的不等式组E：以及不等式组，且不等式组F对于不等式组E绝对包含，求m的取值范围． 【解析】解：（1）解不等式组A，得﹣1＜x＜2， 其绝对距离为2﹣（﹣1）＝3； ∵不等式组B的解集为﹣3＜x≤3，且﹣3＜3≤3，即3是不等式组B的解， ∴不等式组B对于不等式组A绝对包含； （2）∵不等式组C有解， ∴m＞n，其绝对距离为m﹣n； 解不等式组D得； ∵不等式组D对于不等式组C绝对包含， ∴m﹣n是D的解，即， 由不等式①得， 解得：m﹣n＞0， ∵m＞n， ∴m﹣n＞0，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得m＜8； 又∵m＞n，且﹣3≤n＜﹣2， ∴整数m的取值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7； 这些整数的和为﹣2+（﹣1）+0+1+2+3+4+5+6+7＝25； （3）解不等式组E得﹣5＜x＜2m+3， ∵不等式组E有解， ∴2m+3＞﹣5，解得m＞﹣4， 其绝对距离为（2m+3）﹣（﹣5）＝2m+8； 解不等式组Fm﹣2＜x， ∵不等式组F有解， ∴，解得m＞﹣24，该条件在m＞﹣4时自动满足； ∵不等式组F对于不等式组E绝对包含， ∴2m+8是F的解，即，解得﹣10＜m＜4， 结合m＞﹣4， ∴m的取值范围为﹣4＜m＜4． 27．（8分）已知，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于O、P两点，M、N为直线CD上两点，M在N的左侧，连接OM、ON，且ON平分∠BOM． （1）如图1，当∠POM＝25°，∠ONP＝40°时，直接写出∠EOB的度数； （2）如图2，当点M在P点右侧，作射线OH平分∠EOM，求证：∠OPM＝2∠HON； （3）如图3，当点M在P点左侧，在（2）的条件下， ①依据题意补全图形； ②直接用等式表示∠HON和∠OPD之间的数量关系． 【解析】（1）解：∵∠ONP＝40°，AB∥CD， ∴∠BON＝∠ONP＝40°， ∵ON平分∠BOM． ∴∠BOM＝2∠BON＝80°， ∴∠EOB＝180°﹣∠BOM﹣∠POM＝180°﹣80°﹣25°＝75°； （2）证明：设∠BOH＝y，∠HON＝x， ∴∠BON＝∠BOH+∠NOH＝y+x， ∵ON平分∠BOM． ∴∠BOM＝2∠BON＝2（x+y），∠MON＝∠BON＝y+x， ∴∠HOM＝∠MON+∠NOH＝2x+y， ∵射线OH平分∠EOM， ∴， ∴∠BOE＝∠EOH﹣∠BOH＝（2x+y）﹣y＝2x， ∴∠BOE＝2∠HON， ∵AB∥CD， ∴∠BOE＝∠OPM， ∴∠OPM＝2∠HON； （3）解：①如图，即为所求， ②设∠BON＝x，∠EOH＝y， ∵ON 平分∠BOM．OH平分∠EOM， ∴，，∠BOM＝2x，∠EOM＝2y， ∴∠EOB＝360°﹣∠BOM﹣∠EOM＝360°﹣2（x+y），∠HON＝∠MON+∠MOH＝x+y， ∴∠EOB＝360°﹣2∠HON， ∵AB∥CD， ∴∠BOE＝∠OPD， ∴∠OPD＝∠EOB＝360°﹣2∠HON， ∴∠OPD+2∠HON＝360°． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1[A][BI[CJ[D] 5[A][B][CI[D] 2JAJIB]ICJID] 6[A][B]ICI[D] 3.[A][B][C][D] 7[AJ[B][CI[D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9 10 13 16. 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(4分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(5分) 20.(5分) D E G B F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(5分) 22. (5分) E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(7分) 24.(7分) A A M M N B C 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) 26.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) 内 内 0 -B A O B 六D D M 图 图2 E -B 0 M D 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版七年级下册第4~8章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A．8.38×10﹣7 B．8.38×10﹣6 C．﹣8.38×106 D．﹣8.38×107 2．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，则∠α与∠β的关系为（　　） A．∠α+∠β＝45° B．∠α＝∠β C．∠α+∠β＝30° D．不确定 4．下列计算中，正确的是（　　） A．x2•x5＝x7 B．（3x2）2＝6x4 C．x6÷x3＝x2 D．2x2+3x2＝5x4 5．若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 6．古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．问金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．如图1，已知AB是一块平面镜，光线PO在平面镜AB上经点O反射后，形成反射光线OQ，我们称PO为入射光线，OQ为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠1＝∠2．如图2，OM和ON是两块平面镜，入射光线AB经过两次反射后，得到反射光线CD．则下列判断错误的是（　　） A．若α＝60°，则∠OBC＝60° B．若BC⊥CD，则β＝45° C．若α＝β，则AB∥CD D．若AB∥CD，则α+β＝90° 8．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠HGC，给出下列四个结论：①AB∥CD；②∠HGD+∠HEB+∠H＝360°；③∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；④3∠BEN﹣∠F＝180°﹣3∠HGC．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果 　 　 ，那么 　 　 ． 10．因式分解：a2b﹣4b＝ 　 ． 11．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　 　 °． 12．若不等式组有解，则m的取值范围是　 ． 13．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连接AE，CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　 　 ． 14．若（x﹣k）（x2﹣2x+3）展开后不含x的二次项，则常数k的值为　 　 ． 15．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则a2+b2＝　 　 ． 16．将一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°， ∠ABC＝45°．若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 　 　 °时，DE∥AB． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：第17题4分，第18题6分，19-22题每题5分，23-24题每题7分，25-27题每题8分。 17．（4分）因式分解： （1）2x2﹣12x+18． （2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y）． 18．（6分）解方程组： （1）； （2）． 19．（5分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 20．（5分）如图，DE∥BC，∠1＝∠2． （1）求证：FG∥CD； （2）若CD平分∠ACB，∠DEC＝120°，求∠2的度数． 21. （5分）先化简，再求值：[（a﹣3b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷（﹣2b），其中，b＝﹣2． 22. （5分）如图，在△DEF中，过点E作直线AB，C为DF上一点，连接BC交EF于点G，且DE ∥CB，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数． 23．（7分）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元，购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元． （1）购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？ （2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案费用最低？并求出最低费用． 24．（7分）已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），点C是射线OB上一点，过点C作OA的垂线交射线OA于点P，过点P作MN∥OB，点D是射线OA上一点，过点D作CD的垂线分别交直线MN，OB于点E，F． （1）如图1，CD平分∠OCP时， ①根据题意补全图形； ②求∠ODF的度数（用含α式子表示）； （2）如图2，当CD平分∠PCB时，直接写出∠ODF的度数（用含α式子表示）． 25. （8分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）；9≥﹣9，x2+4x﹣5最小值﹣9． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣15； （2）求多项式4x2+4x﹣7的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 26．（8分）若一个不等式组M有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称b﹣a为M的“绝对距离”，若M的绝对距离是不等式组N的解，则称不等式组N对于不等式组M“绝对包含”． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式组B：﹣3＜x≤3，判断不等式组B是否对于不等式组A绝对包含，并写出判断过程． （2）已知关于x的不等式组C：和关于x的不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C绝对包含，当﹣3≤n＜﹣2时，求满足条件的所有整数m的和． （3）已知关于x的不等式组E：以及不等式组，且不等式组F对于不等式组E绝对包含，求m的取值范围． 27．（8分）已知，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于O、P两点，M、N为直线CD上两点，M在N的左侧，连接OM、ON，且ON平分∠BOM． （1）如图1，当∠POM＝25°，∠ONP＝40°时，直接写出∠EOB的度数； （2）如图2，当点M在P点右侧，作射线OH平分∠EOM，求证：∠OPM＝2∠HON； （3）如图3，当点M在P点左侧，在（2）的条件下， ①依据题意补全图形； ②直接用等式表示∠HON和∠OPD之间的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A A C B C D 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．两个角是同一个角的余角，这两个角相等． 10. b（a+2）（a﹣2） 11．35 12. m＜3 13. 45° 14. -2 15. 76 16. 30或150 三、解答题：解答题：本题共11小题，共68分。其中：第17题4分，第18题6分，19-22题每题5分，23-24题每题7分，25-27题每题8分。 17. 【解析】解：（1）2x2﹣12x+18 ＝2（x2﹣6x+9） ＝2（x﹣3）2；（2分） （2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣16b2） ＝（x﹣y）（a﹣4b）（a+4b）．（4分） 18．【解析】解：（1）， ①﹣②×3得：8y＝0， 解得：y＝0， 将y＝0代入①得：3x＝6， 解得：x＝2， 故原方程组的解为；（3分） （2）原方程组整理得， ①×3﹣②得：25y＝150， 解得：y＝6， 将y＝6代入②得：3x﹣6＝12， 解得：x＝6， 故原方程组的解为．（6分） 19．【解析】解：解不等式3x﹣3＜2x，得：x＜3， 解不等式2（1﹣x）≤x+3，得：x， 则不等式组的解集为x＜3， 将不等式的解集表示在数轴上如下： （5分） 20．【解析】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠BCD， ∵∠1＝∠2， ∴∠BCD＝∠2， ∴FG∥CD；（2分） （2）解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠BCD， ∵∠1＝∠BCD， ∴∠ECD＝∠1， ∵∠DEC＝120°， ∴∠ECD＝∠1（180°﹣120°）＝30°， ∴∠2＝∠1＝30°．（5分） 21．【解析】解：原式＝[（a2﹣6ab+9b2）﹣（a2﹣4b2）]÷（﹣2b） ＝（a2﹣6ab+9b2﹣a2+4b2）÷（﹣2b） ＝（﹣6ab+13b2）÷（﹣2b） ＝3ab， 当a，b＝﹣2时，原式＝3（﹣2）＝14．（5分） 22．【解析】（1）证明：∵DE∥CB， ∴∠AED＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠AED＝∠D， ∴AB∥CD；（2分） （2）解：∵∠B+∠F＝102°，∠B＝∠D， ∴∠D+∠F＝102°， ∵∠D+∠F+∠DEF＝180°， ∴∠DEF＝78°．（5分） 23．【解析】解：（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，依题意有： ， 解得． 故购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元；（2分） （2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，依题意有： ， 解得：5≤m． 故共有两种购买方案： 购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台； 购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台．（5分） （3）若购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台，费用为860×5+900×15＝17800（元）； 若购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用为860×6+900×14＝17760（元）； ∵17800＞17760， ∴购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元．（7分） 24．【解析】解：（1）①图形如图1所示；（2分） ②∵PC⊥OA， ∴∠OPC＝90°， ∴∠PCO＝90°﹣α， ∵CD平分∠OCP， ∴∠DCF∠OCP＝45α， ∵EF⊥CD， ∴∠DFC＝90°﹣45°α＝45α， ∴∠ODF＝∠CFD﹣∠AOB＝45°α﹣α＝45°α；（5分） （2）如图2中，∵PC⊥OA， ∴∠OPC＝90°， ∴∠PCO＝90°﹣α，∠PCB＝90°+α， ∵CD平分∠PCB， ∴∠DCF∠PCB＝45α， ∵EF⊥CD， ∴∠DFC＝90°﹣45°α＝45α， ∴∠ODF＝180°﹣α﹣（45°α）＝135°α．（7分） 25. 【解析】解：（1）x2+2x﹣15 ＝x2+2x+1﹣1﹣15 ＝（x+1）2﹣16 ＝（x+1+4）（x+1﹣4） ＝（x+5）（x﹣3）；（2分） （2）4x2+4x﹣7 ＝4（x2+x）﹣1﹣7 ， 因为， 所以4， 所以当时，式子有最小值0﹣8＝﹣8， 多项式4x2+4x﹣7的最小值是﹣8．（5分） （3）因为a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， 所以a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0， a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0， 即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， 所以a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， 所以a＝3，b＝4，c＝5， 因为a，b，c是△ABC的三边长， 所以△ABC的周长是3+4+5＝12． 答：△ABC的周长是12．（8分） 26. 【解析】解：（1）解不等式组A，得﹣1＜x＜2， 其绝对距离为2﹣（﹣1）＝3； ∵不等式组B的解集为﹣3＜x≤3，且﹣3＜3≤3，即3是不等式组B的解， ∴不等式组B对于不等式组A绝对包含；（2分） （2）∵不等式组C有解， ∴m＞n，其绝对距离为m﹣n； 解不等式组D得； ∵不等式组D对于不等式组C绝对包含， ∴m﹣n是D的解，即， 由不等式①得， 解得：m﹣n＞0， ∵m＞n， ∴m﹣n＞0，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得m＜8； 又∵m＞n，且﹣3≤n＜﹣2， ∴整数m的取值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7； 这些整数的和为﹣2+（﹣1）+0+1+2+3+4+5+6+7＝25；（5分） （3）解不等式组E得﹣5＜x＜2m+3， ∵不等式组E有解， ∴2m+3＞﹣5，解得m＞﹣4， 其绝对距离为（2m+3）﹣（﹣5）＝2m+8； 解不等式组Fm﹣2＜x， ∵不等式组F有解， ∴，解得m＞﹣24，该条件在m＞﹣4时自动满足； ∵不等式组F对于不等式组E绝对包含， ∴2m+8是F的解，即，解得﹣10＜m＜4， 结合m＞﹣4， ∴m的取值范围为﹣4＜m＜4．（8分） 27. 【解析】（1）解：∵∠ONP＝40°，AB∥CD， ∴∠BON＝∠ONP＝40°， ∵ON平分∠BOM． ∴∠BOM＝2∠BON＝80°， ∴∠EOB＝180°﹣∠BOM﹣∠POM＝180°﹣80°﹣25°＝75°；（2分） （2）证明：设∠BOH＝y，∠HON＝x， ∴∠BON＝∠BOH+∠NOH＝y+x， ∵ON平分∠BOM． ∴∠BOM＝2∠BON＝2（x+y），∠MON＝∠BON＝y+x， ∴∠HOM＝∠MON+∠NOH＝2x+y， ∵射线OH平分∠EOM， ∴， ∴∠BOE＝∠EOH﹣∠BOH＝（2x+y）﹣y＝2x， ∴∠BOE＝2∠HON， ∵AB∥CD， ∴∠BOE＝∠OPM， ∴∠OPM＝2∠HON；（5分） （3）解：①如图，即为所求， （7分） ②设∠BON＝x，∠EOH＝y， ∵ON 平分∠BOM．OH平分∠EOM， ∴，，∠BOM＝2x，∠EOM＝2y， ∴∠EOB＝360°﹣∠BOM﹣∠EOM＝360°﹣2（x+y），∠HON＝∠MON+∠MOH＝x+y， ∴∠EOB＝360°﹣2∠HON， ∵AB∥CD， ∴∠BOE＝∠OPD， ∴∠OPD＝∠EOB＝360°﹣2∠HON， ∴∠OPD+2∠HON＝360°．（8分） 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