精品解析：山东济南市育英教育集团2025-2026学年下学期八年级学科综合能力展示 数 学

2024级育英教育集团学科综合能力展示 数 学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 科克曲线 2. 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 4. 如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 缩小3倍 6. 如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得两点之间的距离为，两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ） A. （，） B. （，） C. （0，0） D. （1，1） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．填空题请直接填写答案．） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 如图，在等腰梯形中，，若，则底边的长为__________． 13. 关于的分式方程有增根，则__________． 14. 如图，的边长为3，把沿方向平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 如图，在中，，，，点E是上一点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点F．当E为中点时，的长度为__________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 计算、解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，再从，，0，1中选一个合适的数代入求值． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 21. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个． （1）求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ （2）已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 22. 如图，在四边形中，，动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． （1）两平行线与之间的距离是___________． （2）当、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，的值为___________． （3）当直线恰好平分四边形的面积时，求的值． 23. 在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：____________（直接写出结果）； （3）因式分解：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． （1）点坐标为___________，点坐标为___________． （2）将直线向下平移1个单位长度，交直线于，交轴于，求四边形的面积． （3）若点为线段上一动点，在平面内是否存在点，使得以为顶点，且以为一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 如图，在和中，，，，绕点旋转． （1）如图1，若连接、，则、的数量关系为：___________；位置关系为___________（不用证明）； （2）如图2，若连接、，取中点，连接，试探究与的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当旋转到使点落在直线上，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级育英教育集团学科综合能力展示 数 学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 科克曲线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A的变形是整式的乘法，结果是多项式的和，不符合定义； 选项B的结果是，是和的形式，不是积的形式，不符合定义； 选项C：左边是多项式，右边，是几个整式的积，变形正确，符合定义； 选项D：是分式，不是整式，右边不是整式的积，不符合定义； 综上，故选C． 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 4. 如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理分别证明即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形； B、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； C、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故不能证明为菱形． 5. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 缩小3倍 【答案】A 【解析】 【分析】将x，y扩大3倍后代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，变为，， 则新分式为， 所以新分式与原分式相等，分式的值不变． 6. 如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质求出，再由旋转可得，然后利用等边对等角以及平角的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 由旋转可得， ∴， ∴． 7. 在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键是利用平行四边形对边平行得出内错角相等，结合角平分线性质得到等腰三角形，进而求出的长度，再根据平行四边形对边相等确定的长， 由作图步骤确定是的角平分线；利用平行四边形的性质，得，结合角平分线得，故为等腰三角形，；根据及，算出；由平行四边形对边相等，得． 【详解】解：由作图步骤①②③可知，平分，即． ∵四边形是平行四边形， ∴，，（平行四边形对边平行且相等）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴(等角对等边）． ∵，且点E在上， ∴． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得两点之间的距离为，两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理，作于，于，连接、于，证明四边形是菱形，再根据勾股定理求出，再由菱形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于，于，连接、于， 由题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵测得两点之间的距离为，两点之间的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴这两张纸条的宽为， 故选：C． 10. 如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ） A. （，） B. （，） C. （0，0） D. （1，1） 【答案】A 【解析】 【分析】作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，求出直线解析式，与y=x组成方程组，即可求出Q点的坐标． 【详解】解：作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，如下图所示． ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵且， ∴当值最小时，值最小． 根据两点之间线段最短，即三点共线时，值最小． ∵（0，1），（2，0），∴直线的解析式， ∴，即， ∴Q点的坐标为（，）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．填空题请直接填写答案．） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求解． 【详解】解：分式有意义， ，即． 12. 如图，在等腰梯形中，，若，则底边的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交于点E，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，，再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，然后根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点A作交于点E， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 13. 关于的分式方程有增根，则__________． 【答案】 1 【解析】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， ∵分式方程有增根， ∴增根满足，解得， 原方程两边同乘去分母，得 ，即， 将增根代入整式方程，得 ，解得． 14. 如图，的边长为3，把沿方向平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质与三角形面积的计算，解题的关键是利用平移前后图形的高不变，先求出三角形的高，再计算阴影部分面积；易错点是混淆平移距离与线段长度，误将的长度直接作为阴影部分的底边长． 先根据平移的性质，结合的面积求出的高，再计算阴影部分的底边长，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由平移的性质可知，，与的高相等，设高为． 解得 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点E是上一点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点F．当E为中点时，的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点H，设与交于点M，先证明四边形是平行四边形，得到，然后求出和的长，可得的长，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】解：过点B作于点H，设与交于点M， 沿折叠得到， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算、解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 18. 先化简，再求值：，再从，，0，1中选一个合适的数代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】先计算小括号里面的，通分，将异分母分式相加转化为同分母分式相加，再进行除法运算，将除法变乘法，化简后，选择使原式有意义的值，将 代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵的值为，0，1时，分式无意义， ∴当时，原式． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，，得出，证明，得出，求出，即可得证． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得点和点的坐标，据此作图即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，再作图即可； （3）旋转中心一定在对应点的连线的垂直平分线上，据此结合网格的特点求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如图所示，旋转中心为点． 21. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个． （1）求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ （2）已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】（1）该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元 （2）购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元，根据两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个建立方程求解即可； （2）设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为，根据购买资金不超过1080万元列出不等式求出x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元； 【小问2详解】 解：设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为， 根据题意得：， 解得：， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，利润最大，（万元）． 答：购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元． 22. 如图，在四边形中，，动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． （1）两平行线与之间的距离是___________． （2）当、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，的值为___________． （3）当直线恰好平分四边形的面积时，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，求出，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据题意可知，只有点P在上时，才满足、与的某两个顶点围成一个平行四边形，分两种情况：四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等建立方程求解即可； （3）可证明当点P在线段上时，，则点P一定在线段上；则有，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵ ， ， ， ∴两平行线与之间的距离是； 【小问2详解】 解：根据题意可知，只有点P在上时，才满足、与的某两个顶点围成一个平行四边形， 当四边形为平行四边形时，则， ， ， 当四边形为平行四边形时，则， ， ， 综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 由（1）得两平行线与之间的距离是， ∴，， ∴，即， 当点P在线段上时，， 此时不满足直线恰好平分四边形的面积， ∴点P一定在线段上； 如图所示，∵直线恰好平分四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 解得． 23. 在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：____________（直接写出结果）； （3）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：设， ∴ ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． （1）点坐标为___________，点坐标为___________． （2）将直线向下平移1个单位长度，交直线于，交轴于，求四边形的面积． （3）若点为线段上一动点，在平面内是否存在点，使得以为顶点，且以为一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）令，求解即得到直线与x轴交点A的坐标；联立两个一次函数解析式即可得到其交点P的坐标； （2）先求出平移后的直线表达式，再求出交点的坐标以及的坐标，最后根据四边形的面积求解即可； （3）分两种情况讨论，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，结合菱形的性质以及中点坐标公式即可求解． 【小问1详解】 解：直线与x轴交于点A， 令，则， 解得， 点的坐标为， 直线与直线交于点P 令， 解得， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，直线 当时，，解得 联立直线和直线表达式得，， 解得， ∴， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积 【小问3详解】 解：存在，设点C的坐标为，设D点坐标为 当时，连接，对角线、交于点G， 四边形为菱形， 、互相垂直平分， 为、的中点， ， ， ， 整理得，， 则 解得或（舍）， ， 点G坐标为，即 中点坐标为， ， ， D点的坐标为； 当时，连接对角线、交于点H， 四边形为菱形， 、互相垂直平分， 为、的中点， ， ， ， 整理得， 解得或， （舍去）或， ∴的中点 中点坐标为， ， ， 点的坐标为， 综上可知，D点坐标为或． 25. 如图，在和中，，，，绕点旋转． （1）如图1，若连接、，则、的数量关系为：___________；位置关系为___________（不用证明）； （2）如图2，若连接、，取中点，连接，试探究与的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当旋转到使点落在直线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2） 解：，， 证明：如图2，延长交于点，延长至，使，连接， 点是的中点，， ，， ， ， ，即， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ，即； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“”，可得，根据全等三角形的性质和角之间的关系等量代换，即可得，； （2）延长交于点，延长至，使，连接，先根据中位线定理，易证，，再根据“”，可证，从而，，进而根据角之间的关系和等量代换，可证，即证，； （3）过点作，交于点，由（2）可知，，根据题意，易求，，再根据勾股定理，计算即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，与相交于点， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，交于点， 由（2）可知，， ， ， ，， ，即是等腰直角三角形， 在中，，，即， ， ， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $