山东济南市育英教育集团2025-2026学年下学期八年级学科综合能力展示 数 学

2024级育英教育集团学科综合能力展示 数 学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 科克曲线 2. 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 4. 如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 缩小3倍 6. 如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得两点之间的距离为，两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ） A. （，） B. （，） C. （0，0） D. （1，1） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．填空题请直接填写答案．） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 如图，在等腰梯形中，，若，则底边的长为__________． 13. 关于的分式方程有增根，则__________． 14. 如图，的边长为3，把沿方向平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 如图，在中，，，，点E是上一点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点F．当E为中点时，的长度为__________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 计算、解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，再从，，0，1中选一个合适的数代入求值． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 21. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个． （1）求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ （2）已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 22. 如图，在四边形中，，动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． （1）两平行线与之间的距离是___________． （2）当、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，的值为___________． （3）当直线恰好平分四边形的面积时，求的值． 23. 在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：____________（直接写出结果）； （3）因式分解：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． （1）点坐标为___________，点坐标为___________． （2）将直线向下平移1个单位长度，交直线于，交轴于，求四边形的面积． （3）若点为线段上一动点，在平面内是否存在点，使得以为顶点，且以为一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 如图，在和中，，，，绕点旋转． （1）如图1，若连接、，则、的数量关系为：___________；位置关系为___________（不用证明）； （2）如图2，若连接、，取中点，连接，试探究与的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当旋转到使点落在直线上，若，，请直接写出线段的长． 2024级育英教育集团学科综合能力展示 数 学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．填空题请直接填写答案．） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 1 【14题答案】 【答案】 ## 【15题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】，2 【19题答案】 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【20题答案】 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【21题答案】 【答案】（1）该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元 （2）购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元 【22题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【23题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【24题答案】 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【25题答案】 【答案】（1）； （2） 解：，， 证明：如图2，延长交于点，延长至，使，连接， 点是的中点，， ，， ， ， ，即， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ，即； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $