2026年中考数学提升卷（安徽专用）

2026年中考数学提升卷（安徽专用） 学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 一、选择题 1.实数－ 的相反数是() A.－ B. C.－3 D.3 1.B 2.记者1月4日从省文化和旅游厅获悉，元旦假日期间，安徽省各地文化旅游经营场所继续贯彻落实“限量、预约、错峰”要求，推进预约常态化，文化旅游市场平稳有序，据测算，假日期间全省接待游客669.24万人次，其中669.24万用科学记数法表示为() A.0.66924×107 B.6.6924×107 C.6.6924×106 D.66.924×105 2.C 3.下列运算正确的是（  ） A.(ab)2＝ab2 B.2a÷3a＝﹣a C.3a·2a＝6a2 D.3a＋2b＝5ab 3.C 【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误   A (ab)2＝a2b2≠ab2 ×   B 2a÷3a＝ ≠﹣a ×   C 3a·2a＝6a2 √   D a与b不是同类项，不能合并 × 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（      ） 4.A 5.当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（） A．30° B．40° C．50° D．70° 5.B 【解析】如答案图，∵AB∥CD，∴∠1＝∠AMN＝∠2+∠3，∵∠1＝80°，∠2＝40°，∴∠3＝40°． 6.如图，AB是⊙O的直径且AB＝2，弦CD与AB相交于点E，连接BC，BD．若∠D＝60°，则 的长度为（      ） A． B． C． D． 6.C 【解析】如答案图，连接OC，∵∠D＝60°，∴∠BOC＝120°，∵直径AB＝2，∴半径为1，∴ 的长度为 ． 答案图 7.已知三个实数a、b、c满足a＋b＋c＞0，a＋c＝b，b＋c＝a，则(    ) A.a＝b＞0，c＝0 B.a＝c＞0，b＝0 C.b＝c＞0，a＝0 D.a＝b＝c＞0 7.A 【解析】令a＋c＝b①，b＋c＝a②，①－②得a＝b，①×②得(a＋c)(b＋c)＝ab，整理得c(a＋b＋c)＝0，∵a＋b＋c＞0，∴c＝0，a＋b＝2a＞0，∴a＝b＞0，c＝0，故选A. 8.已知反比例函数 的图象与一次函数y＝bx＋c（b≠0）的图象的交点在第一，三象限，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能为（      ） 8.A 【解析】∵反比例函数 的图象与一次函数y＝bx＋c(b≠0)的图象的交点在第一，三象限，∴a＞0，b＞0，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴在y轴左侧． 9.如图所示，四边形ABCD是菱形，BC＝1，且∠B＝60°，作DE⊥DC，交BC的延长线于点E．现将△CDE沿CB的方向平移，得到△C1D1E1，设△C1D1E1，与菱形ABCD重合的部分（图中阴影部分）面积为y，平移距离为x，则y与x的函数图象为（      ） 9.B 【解析】如答案图，①当0＜x＜1时，DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，∵四边形ABCD是菱形，BC＝1，且∠B＝60°，∴∠B＝∠DCE＝60°，∴∠E＝30°，∵DC＝BC＝1，∴CE＝2，DE ，∴S△CDE 1 ，由平移可知：CC1＝x，则CE1＝2-x，DC∥D1C1，S△DCE＝  ，∴△E1FC∽△E1D1C1，∴ （ ）2，∴ •（ ）2．∴y＝S△DEC- （x-2）2 ．当x＝1时，y  ，∵ 0，∴抛物线开口向下，所以当x＝1时，函数y有最大值为  ，所以根据筛选法，可知：只有选项B符合要求；②将△CDE沿CB的方向继续平移，当1＜x＜2时，y＝S梯形 [ （2-x） （2-x）] x 当x＝2时，y ；③当2＜x＜3时，y （3-x） （3-x） ， （x-3）2，∵ 0，∴抛物线开口向上，当x＝2时，y 当x＝3时，y＝0． 答案图 10.如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE＋PC的最小值为() A.1 B.2 C. D.2 10.C 【解析】如解图，连接BE交AD于点P′，连接BP，∵△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，∴AD、BE分别是等边△ABC边BC、AC的垂直平分线，∴PB＝PC，∴PE＋PC＝PE＋PB≥BE，当B、P、E三点共线，即点P与点P′重合时，PE＋PC有最小值，最小值即为BE的长．∵BE＝ ＝ ，∴PE＋PC的最小值为 . 解图 二、填空题 11.不等式4x＋8＞0的解集为________． 11. 12.分解因式：a2b＋4ab2＋4b3＝______． 12.b(a＋2b)2 13.如果一个三位数  ，百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，满足y＜x或y＜z，我们把这样的数叫做“八中数”，如345、312就是“八中数”.若y＝7，则从4，5，6，8，9中任选两个不同的数，与y组成“八中数”的概率是______． 13. 【解析】画树状图如解图， 解图 共有20种等可能结果，其中符合要求的有：478，479，578，579，678，679，874，875，876，879，974，975，976，978，共14种，∴从4，5，6，8，9中任选两个不同的数，与7组成“八中数”的概率为 ． 14.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，将△ABE，△ADF分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好落在EF上的点G处，再将△CEF沿EF折叠，点C落在AF上的点H处，连接AG与EH交于点M． （1）sin∠DAF＝______； （2）若 ，则AM的长为______． 14.（1） ； （2） 【解析】（1）由折叠可知∠AFD＝∠AFE，∠AFE＝∠CFE，∴ ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠DAF＝90°－∠AFD＝90°－60°＝30°，∴ ； （2）∵ ，∠DAF＝30°，∴ ，在Rt△DAF中， ，∴ ，∴ ，∴ ，∵∠EHF＝∠C＝90°，∴EH⊥AF，在Rt△AHM中，∠HAM＝∠DAF＝30°，∴ ． 三、解答题 15.计算：  ． 15.解：原式      ． 16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）. (1)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1BC1，请画出△A1BC1； (2)在线段AC上找一点D，使得BD⊥AC. 16.解：(1)如答案图，△A1BC1即为所求； （2）如答案图，点D即为所求. 【解法提示】如答案图，取格点E，F，G，H，连接BE交AC于点D，由网格的特征，易知△AHG≌△BFE，∴∠BEF=∠AGH,∵∠BEF+∠GED=90°,∴∠AGH+∠GED=90°，∴∠EDG=90°，∴BD⊥AC. 答案图 17.为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800 元，求甲、乙两种苹果每箱的售价. 17.解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元、y元， 根据题意，得  ， 解得  ， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元. 18.阅读与思考下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务. 求1＋2＋3＋···＋(n－1)＋n(n为正整数)方法 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． S＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n； S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1； 2S＝(n＋1)＋(n＋1)＋(n＋1)＋…＋(n＋1)＋(n＋1)； 可得S＝ ，即1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝ ． 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得(n＋1)2＝n2＋2n＋1， ∴(n＋1)2－n2＝2n＋1． 我们列出特殊情况：22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； … (n＋1)2－n2＝2n＋1． 两边分别相加可得，(n＋1)2－12＝2S＋n． ∴S＝ ＝ ． （1）计算：2＋4＋6＋…＋2026＝______； （2）我们知道：22－21＝21；23－22＝22；24－21＝23；···则21＋22＋23＋…＋2100＝______； （3）若1×2＝ ×1×2×3－ ×0×1×2，请仿写下去，并求1×2＋2×3＋3×4＋…＋167×168的值． 18.解：（1）1027182； 【解法提示】2＋4＋6＋…＋2026＝2×(1＋2＋3＋1013)＝2× ＝1027182． （2）2101－2； 【解法提示】令S＝21＋22＋23＋…＋2100，则2S＝22＋23＋…＋2100＋2101，2S－S＝2101－21＝2101－2． （3）1×2＝ ×1×2×3－ ×0×1×2， 2×3＝ ×2×3×4－ ×1×2×3， 3×4＝ ×3×4×5－ ×2×3×4， … ∴1×2＋2×3＋3×4＋…＋167×168 ＝ ×1×2×3－ ×0×1×2＋ ×2×3×4－ ×1×2×3＋ ×3×4×5－ ×2×3×4＋…＋ ×167×168×169－ ×166×167×168 ＝－ ×0×1×2＋ ×167×168×169 ＝1580488． 19.已知△ABC内接于⊙O，D为圆上一点，连接AD，BD，CD. （1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝AD，求证：∠BAD＝2∠ADC； （2）如图②，AD，BC交于点P，若AD⊥BC，AD＝BC，AC＝3BD＝6，求AD的长． 19.【答案】（1）证明：如解图，连接AO，DO， ∵AO＝AO，BO＝DO，AB＝AD， ∴△OAB≌△OAD， ∴∠BAO＝∠DAO＝∠ABO， ∴∠BAD＝2∠BAO＝2∠ABC. ∵   ＝   ， ∴∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝2∠ADC； 解图 【答案】（2）解：∵AD＝BC，∴    ＝    ， ∴    ＋    ＝    ＋    ， ∴    ＝    ， ∴∠ACB＝∠CAD， ∵AD⊥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝45°， ∴AP＝CP＝    AC＝3    . ∵AC＝3BD＝6， ∴BD＝2， ∵AP＋PD＝CP＋BP， ∴BP＝PD， ∵∠BPD＝∠APC＝90°， ∴∠PBD＝∠PDB＝45°， ∴PD＝BP＝    BD＝    ， ∴AD＝AP＋PD＝4    . 【一题多解】∵AC＝3BD＝6， ∴BD＝2， ∵    ＝    ， ∴∠CAD＝∠DBC， ∵AD⊥BC， ∴∠APC＝∠BPD＝90°， ∴△ACP∽△BDP， ∴    ＝    ＝    ＝3， 设BP＝a，DP＝b，则AP＝3a，CP＝3b， ∴AD＝b＋3a，BC＝a＋3b. ∵AD＝BC， ∴a＝b， ∴BP＝DP，AP＝CP. ∴BP＝DP＝    BD＝    ，AP＝CP＝    AC＝3    ， ∴AD＝AP＋PD＝4    . 20.项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，OA是垂直于工作台的移动基座，AB,BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝145°，∠BCD＝60°． 参考数据 sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47， 1.73 任务1 求机械臂端点C到工作台的距离CD的长（结果精确到0.1m）； 任务2 求OD的长（结果精确到0.1m）． 20.解：任务1：如图，过点B分别作BE⊥CD于点E，BG⊥AF于点G，过点A作AF⊥CD于点F， ∴四边形EFGB和四边形AFDO均为矩形， ∴AO＝FD＝1，BG＝EF， ∵在Rt△BCE中，∠CEB＝90°，∠BCD＝60°，BC＝2， ∴∠CBE＝30°， ∴sin∠CBE ，cos∠CBE ， 即sin30° ，cos30° ， ∴CE＝1，BE ， ∵∠ABC＝145°，∠EBG＝90°，∠CBE＝30°， ∴∠ABG＝25°， ∵在Rt△ABG中，∠AGB＝90°，∠ABG＝25°，AB＝5， ∴cos∠ABG ，sin∠ABG ， 即cos25° ，sin25° ， ∴BG≈5×0.91＝4.55，AG≈5×0.42＝2.1， ∴CD＝CE+EF+FD＝CE+BG+AO＝1+4.55+1＝6.55≈6.6（m）； 任务2：OD＝AG+GF＝AG+BE＝2.1 2.1+1.73＝3.83≈3.8（m）． 21.2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 20名同学对《哪吒2》评分统计表 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝______，b＝______，m＝______． （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 21.解：（1）98，93，10； 【解法提示】10名女生对《哪吒2》的评分分数中98分最多，有3个，∴众数a＝98，根据统计表可得男生满分的有10×50%＝5人，则中位数为第5和第6个数据，10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86，则按从小到大排列，第5个数据为86，第6个数据为100，则b 93，∵评分分数为A和B的人数和为10﹣10×50%﹣3＝2，且A，B的人数都不为0，∴评分分数为A和B的人数都是1人，∴m% 100%＝10%，则m＝10. （2）男生更喜欢《哪吒2》， 理由如下：男生的中位数比女生的高，因此男生更喜欢《哪吒2》；(答案不唯一) （3）500 600×50%＝250+300＝550（人）， 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有550人． 22.如图①，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，D为AC的中点，连接BD，点E是BC上一点，连接AE，与BD交于点F. (1)连接CF，求证：∠BAF＝∠BCF； (2)如图②，若AC＝6，BE＝1，求BF的长； (3)若BE＝CD，tan∠CBD＝  时，求DF的长． 22.(1)证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝BC，D为AC的中点， ∴BD平分∠ABC，BD⊥AC， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF(SAS)， ∴∠BAF＝∠BCF； (2)解：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°， 又∵在Rt△BDC中，BC＝4，CD＝ AC＝3，∴DB＝ ， 如解图①，过点A作AM∥BC交BD延长线于点M，易得△ADM≌△CDB， ∴AM＝BC＝4，BM＝2DB＝2 ， ∵AM∥BC，∴△AFM∽△EFB，∴ ＝ ， ∵AM＝BC＝4，BE＝1，∴ ＝ ，∴BF＝ ； 解图① (3)解：如解图②，过点D作DM∥CB交AB于点M，交AE于点N， ∵在Rt△DCB中，tan ∠CBD＝ ，∴设BE＝CD＝a，∴BD＝ a， ∵BC＝4，∴( a)2＋a2＝16，∴a＝1(负值已舍去)， ∴BD＝ ，AD＝CD＝BE＝1， ∵点D是AC的中点， ∴DM＝ BC＝2，DN＝ CE＝ (BC－BE)＝ ，MN＝ BE＝ . ∵DM∥CB，∴△BEF∽△DNF，∴ ＝ ＝ ， ∴DF＝ BF＝ BD＝ . 解图② 23.已知关于x，y的二次函数y＝x2－2ax＋a2＋2a，其图象的顶点坐标为(a，2a)，故不论a取何值时，对应的二次函数图象的顶点都在直线y＝2x上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数． (1)若二次函数y＝x2＋2x－3和y＝－x2－4x－3是同源二次函数，求它们的根函数； (2)已知关于x，y的二次函数C：y＝x2－4mx＋4m2－4m＋1，完成下列问题： ①求满足二次函数C的所有二次函数的根函数； ②若二次函数C的图象与直线x＝－3交于点P，求点P到x轴的最小距离，并求出此时m的值． 23.解：(1)∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，－4)； ∵y＝－x2－4x－3＝－(x＋2)2＋1， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(－2，1)． 设经过点(－1，－4)和点(－2，1)的直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∴ ，解得 . ∴y＝－5x－9. ∴它们的根函数为直线y＝－5x－9； (2)①∵y＝x2－4mx＋4m2－4m＋1＝(x－2m)2－4m＋1， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(2m，－4m＋1)， 设顶点(2m，－4m＋1)在直线y＝nx＋1上， ∴－4m＋1＝2mn＋1.解得n＝－2， ∴顶点(2m，－4m＋1)在直线y＝－2x＋1上， ∴满足二次函数C的图象的所有二次函数的根函数为y＝－2x＋1； (2)②∵二次函数C的图象与直线x＝－3交于点P， ∴当x＝－3时，y＝(－3)2－4m×(－3)＋4m2－4m＋1＝4m2＋8m＋10. ∴P(－3，4m2＋8m＋10)． ∵4m2＋8m＋10＝4(m＋1)2＋6， ∴当m＝－1时，点P的纵坐标的最小值为6. ∴点P到x轴的最小距离为6，此时m＝－1. ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学提升卷（安徽专用） 学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 一、选择题 1.实数－ 的相反数是(　　)  A.－ B. C.－3 D.3 2.记者1月4日从省文化和旅游厅获悉，元旦假日期间，安徽省各地文化旅游经营场所继续贯彻落实“限量、预约、错峰”要求，推进预约常态化，文化旅游市场平稳有序，据测算，假日期间全省接待游客669.24万人次，其中669.24万用科学记数法表示为(　　) A.0.66924×107 B.6.6924×107 C.6.6924×106 D.66.924×105 3.下列运算正确的是（  ） A.(ab)2＝ab2 B.2a÷3a＝﹣a C.3a·2a＝6a2 D.3a＋2b＝5ab 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（      ） 5.当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 6.如图，AB是⊙O的直径且AB＝2，弦CD与AB相交于点E，连接BC，BD．若∠D＝60°，则 的长度为（      ） A． B． C． D． 7.已知三个实数a、b、c满足a＋b＋c＞0，a＋c＝b，b＋c＝a，则(    ) A.a＝b＞0，c＝0 B.a＝c＞0，b＝0 C.b＝c＞0，a＝0 D.a＝b＝c＞0 8.已知反比例函数 的图象与一次函数y＝bx＋c（b≠0）的图象的交点在第一，三象限，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能为（      ） 9.如图所示，四边形ABCD是菱形，BC＝1，且∠B＝60°，作DE⊥DC，交BC的延长线于点E．现将△CDE沿CB的方向平移，得到△C1D1E1，设△C1D1E1，与菱形ABCD重合的部分（图中阴影部分）面积为y，平移距离为x，则y与x的函数图象为（      ） 10.如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE＋PC的最小值为(　　) A.1 B.2 C. D.2 二、填空题 11.不等式4x＋8＞0的解集为________． 12.分解因式：a2b＋4ab2＋4b3＝______． 13.如果一个三位数  ，百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，满足y＜x或y＜z，我们把这样的数叫做“八中数”，如345、312就是“八中数”.若y＝7，则从4，5，6，8，9中任选两个不同的数，与y组成“八中数”的概率是______． 14.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，将△ABE，△ADF分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好落在EF上的点G处，再将△CEF沿EF折叠，点C落在AF上的点H处，连接AG与EH交于点M． （1）sin∠DAF＝______； （2）若 ，则AM的长为______． 三、解答题 15.计算： ． 16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）. (1)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1BC1，请画出△A1BC1； (2)在线段AC上找一点D，使得BD⊥AC. 17. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800 元，求甲、乙两种苹果每箱的售价. 18.阅读与思考下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务. 求1＋2＋3＋···＋(n－1)＋n(n为正整数)方法 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． S＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n； S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1； 2S＝(n＋1)＋(n＋1)＋(n＋1)＋…＋(n＋1)＋(n＋1)； 可得S＝ ，即1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝ ． 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得(n＋1)2＝n2＋2n＋1， ∴(n＋1)2－n2＝2n＋1． 我们列出特殊情况：22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； … (n＋1)2－n2＝2n＋1． 两边分别相加可得，(n＋1)2－12＝2S＋n． ∴S＝ ＝ ． （1）计算：2＋4＋6＋…＋2026＝______； （2）我们知道：22－21＝21；23－22＝22；24－21＝23；···则21＋22＋23＋…＋2100＝______； （3）若1×2＝ ×1×2×3－ ×0×1×2，请仿写下去，并求1×2＋2×3＋3×4＋…＋167×168的值． 19.已知△ABC内接于⊙O，D为圆上一点，连接AD，BD，CD. （1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝AD，求证：∠BAD＝2∠ADC； （2）如图②，AD，BC交于点P，若AD⊥BC，AD＝BC，AC＝3BD＝6，求AD的长． 20.项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，OA是垂直于工作台的移动基座，AB,BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝145°，∠BCD＝60°． 参考数据 sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47， 1.73 任务1 求机械臂端点C到工作台的距离CD的长（结果精确到0.1m）； 任务2 求OD的长（结果精确到0.1m）． 21.2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 20名同学对《哪吒2》评分统计表 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝______，b＝______，m＝______． （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 22.如图①，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，D为AC的中点，连接BD，点E是BC上一点，连接AE，与BD交于点F. (1)连接CF，求证：∠BAF＝∠BCF； (2)如图②，若AC＝6，BE＝1，求BF的长； (3)若BE＝CD，tan∠CBD＝  时，求DF的长． 23.已知关于x，y的二次函数y＝x2－2ax＋a2＋2a，其图象的顶点坐标为(a，2a)，故不论a取何值时，对应的二次函数图象的顶点都在直线y＝2x上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数． (1)若二次函数y＝x2＋2x－3和y＝－x2－4x－3是同源二次函数，求它们的根函数； (2)已知关于x，y的二次函数C：y＝x2－4mx＋4m2－4m＋1，完成下列问题： ①求满足二次函数C的所有二次函数的根函数； ②若二次函数C的图象与直线x＝－3交于点P，求点P到x轴的最小距离，并求出此时m的值． ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $