23.1 一次函数的概念 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 23.1 一次函数的概念 学习目标 结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式. 2. 能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系. 3. 会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题. 重点：写出一次函数的解析式 难点：辨别一次函数与正比例函数的区别与联系 复习导入 在某个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 问题：什么是函数？ 探究新知 知识点1 一次函数的概念 问题1:下列对应关系，是函数关系吗？如果是，写出函数解析式. (1) 铁的密度约为 7.9 g/cm3，铁块的质量 m (单位：g)随它的体积 V (单位：cm3) 的变化而变化. (2) 每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h (单位：cm) 随练习本的个数 n 的变化而变化. (3) 一种计算成年人标准体重 m (单位：kg) 的方法是：以厘米为单位量出身高 h，再减去常数 105，所得差是 m 的值，m 随 h 的变化而变化. (4) 把一个长 10 cm，宽 5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形的面积 y (单位：cm) 随 x 的变化而变化. m = 7.9V. h = 0.5n. m = h - 105. y = -5x + 50 (0≤x＜10). 探究新知 知识点1 一次函数的概念 问题2:观察以上出现的函数解析式，它们有什么共同特征呢？ (1) m = 7.9V (2) h = 0.5n (3) m = h - 105 (4) y = -5x + 50 发现：它们都是常数 k 与自变量的积与常数 b 的和的形式. 形如 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数. 特别地，当 b = 0 时， y＝kx＋b 即 y＝kx. 形如 y＝kx ( k 为常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数. 典例解析 题型1 辨别一次函数与正比例函数 例1下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx； (6) y＝8x2＋x(1－8x). 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 归纳小结 1. 判定一个函数是一次函数的条件： 一次函数 正比例函数 正比例函数是一种特殊的一次函数。 ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ③ b = 0. 2. 判定一个函数是正比例函数的条件： 典例解析 题型2 含参问题 例2已知函数y=(m-2)+m+7.当m为何值时,y是x的一次函数? 解:要使y是x的一次函数, 则3-=1且m-2≠0,解得m=-2, ∴当m=-2时,y是x的一次函数. 针对训练 1.已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2.当 m 为何值时，这个函数是正比例函数? 解：由题意可得 m - 1≠0，1- m2 = 0，解得 m = -1. 即 m = -1 时，这个函数是正比例函数. 针对训练 2. 已知 y 与 x－3 成正比例，当 x＝4 时，y＝3. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求 x＝2.5 时，y 的值． ∴ y＝3x－9， y 是 x 的一次函数． 解：(1) 设 y＝k(x－3)， 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)， 解得 k＝3. ∴ y＝3(x－3). y＝3×2.5 - 9＝ -1.5． (2) 当 x＝2.5 时， 典例解析 题型3 实际问题 例3某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. (1) 用函数解析式表示 y 与x 的关系； (2) 并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温. 解:(1)∵当海拔增加 1 km 时，气温减少6 ℃ ∴当海拔增加 x km 时，气温减少6x ℃ ∴ y 与 x 的函数解析式为y = 5 - 6x. (2)当登山队员由大本营向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温就是当 x = 2 时函数 y = －6x＋5 的值， 即 y = －6×2＋5 = －7 (℃). 针对训练 3.一个弹簧不挂物体时长 12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm. (1) 求弹簧的长度 y (单位：cm) 关于所挂物体质量 x (单位：kg) 的函数解析式为 . (2)当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是 . y = 2x + 12. 22 cm 针对训练 4.拖拉机开始工作时,油箱中有油40 L,如果每工作一小时耗油4 L. (1)求油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的函数解析式为： (含自变量的取值范围) (2)当工作了5 h,油箱的余油量是 . Q=40-4t(0≤t≤10) 20 L 针对训练 5.端午节是我国的传统节日,有吃粽子的习俗.节日前夕,某商场购进A,B两种粽子共200盒进行销售.经了解,A,B两种粽子的进价与标价如下表所示(单位:元/盒): (1)设该商场购进A种粽子x盒,销售两种粽子所得的总利润为y元,求y关于x的函数解析式(不必写出自变量x的取值范围); (2)若购进的200盒粽子销售完毕,总利润不低于3 000元,则至少需要购进A种粽子多少盒? 种类 进价 标价 A 90 120 B 50 60 解:(1)根据题意,得 y=(120-90)x+(60-50)(200-x)=20x+2 000, 故y关于x的函数解析式为y=20x+2 000. (2)根据题意,得20x+2 000≥3 000, 解得x≥50. 答:至少需要购进A种粽子50盒. 归纳总结 一次函数的概念 形如 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数 一次函数的简单应用 当 b = 0 时， y＝kx＋b 即 y＝kx. 形如 y＝kx ( k 为常数，k≠0) 的函数，叫作正比例函数 作业布置 课堂作业:P116习题23.1的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) 拓展提升 1.已知y=(m+1)+n+4. (1)当m,n取何值时,y是x的一次函数? (2)当m,n取何值时,y是x的正比例函数? 解:(1)根据一次函数的定义, 得2-=1且m+1≠0, 解得m=1. ∴当m=1,n为任意实数时, y是x的一次函数. (2)根据正比例函数的定义,得 2-=1且m+1≠0,n+4=0, 解得m=1,n=-4. ∴当m=1,n=-4时, y是x的正比例函数. $