云南红河州第一中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学试卷

**基本信息** 红河州一中高二期中数学卷，以函数凹凸性定义应用（第19题）、校运会概率模型（第17题）等设计，覆盖集合、向量、立体几何等核心知识，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、向量、复数、三角函数图像|第8题方格表数字排列，考查逻辑推理| |多选|3/18|等比数列、双曲线、长方体外接球|第11题动点轨迹与异面直线成角，融合空间观念| |填空|3/15|函数求导、三角恒等变换、圆锥与正方体|第14题圆锥内容积最值，体现空间几何应用| |解答题|5/77|解三角形、立体几何证明、概率分布列、椭圆方程、函数凹凸性|第19题结合凹凸性定义证明与三角形应用，培养创新意识；第17题校运会情境，强化应用意识|

红河州第一中学2026年春季学期高二年级期中考试 数学 答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A B D A 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在数轴上分别标出集合，所表示的范围，如图所示， 由图可知，． 2．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 3．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，故其虚部为. 4．函数的最小正周期为（   ） A．4π B．2π C．π D． 【答案】C 【详解】，所以. 5．函数的部分图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，排除C，D，当时，，排除B． 故选：A． 6．等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．90 B．100 C．110 D．200 【答案】B 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以，联立方程组可得，解得， 则由等差数列求和公式得，故B正确. 7．若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线截圆所得的弦长为为定值，所以，即，解得. 故选：D. 8．将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图， 排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AC ABD 9．已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由等比通项公式得：，又因为，所以，故A正确，B错误； 再由，所以，故C正确，D错误； 故选：AC. 10．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．若，则的面积为 C．若，则的周长为 D．若直线：与双曲线无交点，则直线的斜率的取值范围为 【答案】AC 【详解】对于A：因为双曲线方程为，所以. 所以双曲线的离心率为，A正确； 对于B：不妨设点在双曲线右支上，则根据双曲线的定义，①， 因为，则根据勾股定理得②， 由①式取平方减去②式，可得，即得， 则的面积为，B错误； 对于C：因为，所以点在双曲线右支上，因， 建立解得，所以的周长为，C正确； 对于D：因为双曲线方程为，则其渐近线方程为. 因为直线：与双曲线无交点，则当时，；当时，； 故直线的斜率的取值范围为，故D错误. 故选：AC. 11．已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（    ） A．球的表面积为 B．动点的轨迹长度为 C．异面直线与所成角的正切值的取值范围是 D．三棱锥的外接球球心为，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设长方体的外接球半径为，由长方体性质得， 由球的表面积公式得球的表面积为，故A正确， 对于B，如图，在长方体中，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 由题意得，，，，， 因为点为的中点，所以， 则，，设面的法向量为， 可得，令，解得，故， 因为为底面（含边界）内一个动点，所以设，则， 因为平面，所以，得到，化简得， 当时，，不符合题意，当，时，符合题意， 则的轨迹是点与点之间的线段， 由两点间距离公式得轨迹长度为，故B正确， 对于C，因为，所以，此时变为， 由题意得，，则，， 设异面直线与所成角为， 可得， 由同角三角函数的基本关系得， 则，令， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，可得， 即，故C错误， 对于D，由题意得是的中点，则由中点坐标公式得， 且，，，，设，半径为， 则外接球的方程为， 将代入方程，得到， 将代入方程，得到， 两式相减可得，解得， 将代入方程，可得， 此时变为， 两式相减得，解得， 将代入方程，可得， 此时变为， 两式相减可得，解得， 则，由两点间距离公式得，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 题号 12 13 14 答案 3 12．已知函数，则_______. 【答案】 【详解】由题意得：. 13．已知，则的值为______. 【答案】 【详解】由可得， 故. 14．已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为，则该圆锥容器的容积的最小值为________. 【答案】 【详解】因为正方体在圆锥容器内部能任意转动，所以正方体的外接球在圆锥容器内部能任意转动， 又正方体的最大棱长为，所以外接球的半径的最大值， 此时正方体的外接球内切于圆锥容器，轴截面图如图所示， 设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则， 由，得，则， 得，整理得， 所以圆锥容器的容积. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 故圆锥容器的容积的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，角所对的边分别为、、．若＝，＝，且． （1）求角A的大小；    （2）若，三角形面积，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）∵＝，＝，且， ∴ ，∴，即， ∴，又，∴； （2）∵，∴， 又由余弦定理得，∴16＝， 所以． 16．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见详解(2) 【详解】（1）平面平面，且平面平面，,平面， 平面，又平面，∴，又且，平面， 平面. （2）取的中点，连接，，， 又平面，平面平面，平面平面， 平面，平面，，又，， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则，， 又观察可知平面的法向量为，. 故二面角的大小为. 17．某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲；(2)分布列见解析. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则，所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 18．已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且． 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．离心率为．(2)存在，， ． 【详解】（1）解：由题意得：，解得                   所以椭圆的方程为．离心率为． （2） 由题意可知，直线的斜率存在且不为零． 又因为，所以．因为， 所以直线的方程为，直线的方程为． 由可得．设，则． 所以．  同理可得：．                     因为，所以直线的方程为， 即． 所以直线过定点．                 当为中点时，                        因为点是过点作直线的垂线的垂足， 所以当与重合时，．           当与不重合时，根据直角三角形的性质，． 所以当为的中点时，即时，的长度为定值． 19．(1)是下凸函数、是上凸函数，是下凸函数； (2)函数在上是上凸函数，证明见解析；最大值为； (3)证明见解析. 【详解】（1）根据二次函数、对数函数及指数函数的性质可知： 是下凸函数、是上凸函数，是下凸函数； （2）函数在上是上凸函数，证明如下： 任意，又因为 则 ， 因为，所以，所以，且， 所以，即，所以， 所以函数在上是上凸函数； 由题意可得，又因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）证明：设的半周长为，因为， 所以 所以 ， 因为，所以 所以， 即，要证明，即证明. 即，即， 即，即， 由基本不等式可得， 又因为， 所以，即，即， 上式成立，故(当且仅当时，等号成立). 高二数学答案·第8 页（共8 页） 高二数学答案·第8 页（共8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $红河州第一中学2026年春季学期高二年级期中考试 数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 B 0 A 夕 D A 1.已知集合A={-1<x<},B={0≤x<2},则AnB=() A.{x-1<x<2}B.{x-1<x<2 C.{x0≤x< D.{x0≤x<2 【答案】C 【详解】在数轴上分别标出集合A,B所表示的范围，如图所示， 由图可知，A∩B={x0≤x<1}. 2.已知向量a,石满足同-1，月-=2，)-行，则a5=（) A.5 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【详解】a-6=月月-co=lx2×cos弩l 3.已知复数z满足1+V3i1+i=z1-i),则z的虚部为() A B c月 D. 3 【答案】D 【详解】由题设z= 1+3i+i(2+i01+1)_1+3i,故其虚部为 1-i (1-i)1+i)22 4.函数f(x)=sin2 x+)的最小正周期为() A.4π B.2π C.π D. 2 【答案】C 高二数学答案·第1页（共12页） 21,所以T=2=元. 2 5.函数f(x)= -x的部分图象可能是（） x2+2 【答案】A 【详解】因为f5,所以了-.。；-)， x2+2 (-x)/+2x2+2 所以f(x)的图象关于原点中心对称，排除C,D,当0<x<1时，f(x)<0,排除B. 故选：A 6.等差数列{an}的前n项和为Sn,且43+a,=18,a6+2a=29,则S1。=() A.90 B.100 C.110 D.200 【答案】B 【详解】设首项为a,公差为d,因为a+a,=18,所以2a+8d=18, 2a+8d=18 因为a。+2a=29,所以3a,+13d=29,联立方程组可得 3a+13d=29’解得a,=1,d=2, 则由等差数列求和公式得S。=1x10+100-山×2=100，故B正确. 2 7.若对任意实数k,直线y=x+k截圆x2+y2+Dx=0所得的弦长为定值，则实数D=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【详解】因++=0份标准方为+-圆心华标为-号0小，半径为 2 kD 园心到直线-y+=0的距离为-之， Vk2+1 所以直线y=+k截圆x2+y2+Dx=0所得的弦长为。 D2 (D-1+D 4 2 4 1+k2 1+k2 高二数学答案·第2页（共12页） 为定值，所以D-1=D ,即D2-4D+4=0,解得D=2 4 故选：D 8.将1,2,3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下 的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为() 4 A.12 B.24 C.36 D.48 【答案】A 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得9在左上角，1在右下角，如图， 9 0 b 4 2,3排在d,f位置，有A?种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在a,b位置，有C种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在c,位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有AC?×1=12(种). 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AC AC ABD 9.已知等比数列{an}的公比为9，且a+a2=3,a2+a=6,则下列结论正确的是() 1 A.q=2 B.q=2 C.S4=15 D.S4=16 【答案】AC 【详解】由等比通项公式得：a2+a=a9+a2q=q(a1+a2）,又因为a,+a2=3,a2+a=6,所以 6=q×3→q=2,故A正确，B错误： 再由a,+a2=3→a1+2a,=3→a,=1,所以S4= 1×-2-15,故C正确，D错误： 1-2 故选：AC 10.已知点R、F分别为双曲线C:-二=1的左、右焦点，点P为C上一动点，则下列说法正确的是() 42 高二数学答案·第3页（共12页） A.双曲线C的离心率为y6 B.若PF⊥PE,则△PFF,的面积为2√3 C.若PF=2PF,则△PEF的周长为12+2√6 D.若直线l:y=kx与双曲线C无交点，则直线I的斜率的取值范围为 -2u 【答案】AC 【详解】对于A:因为双曲线方程为C:-二=1，所以a2=4公=2，c2=a2+6=6 42 所以双确线的商心率为：台兰。A正角， 对于B:不妨设点P在双曲线右支上，则根据双曲线的定义，PF-PF=2a=4①， 因为PF⊥PF,则根据勾股定理得PE+|PF,2=(2c)2=24②， 由①式取平方减去②式，可得-2 PFPE=8,即得PF PE=4, 则APF5的面积为Sw%=XP听XP所=2，B错误： 对于C:因为PF=2PF,所以点P在双曲线右支上，因PF-PF=2a=4, 建立解得PF=4,PF=8,所以△PFE的周长为4+8+26=12+26，C正确： 对于D:因为双曲线方程为C:号二=1，则其渐近线方程为)y=±5： -X. 42 2 因为直线：y=a与双曲线C无交点，则当>0时，k2：当k<0时，k3V2 2 故直线1的斜率的取值范围为 故D错误。 故选：AC 11.已知在长方体ABCD-ABCD中，AB=3,BC=BB,=2,点M为AD的中点，P为底面ABCD,(含 边界)内一个动点，且BP∥平面ABM,长方体ABCD-ABCD的外接球的球心为O,则下列选项正确 的是() D C M A.球O的表面积为17π A B B.动点P的轨迹长度为√O D V10 B C.异面直线CC,与AP所成角的正切值的取值范围是 2 高二数学答案·第4页（共12页） D.三棱锥A-AMB的外接球球心为E,则OE= 【答案】ABD 【详解】对于A,设长方体的外接球半径为R,由长方体性质得R=V2+3P+2 √17 2 由球的表面积公式得球0的表面积为4红×(7=17π，故A正殉 对于B,如图，在长方体ABCD-ABCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，连接BD, 由题意得A(2,0,0),B(2,3,2),A(2,0,2),D(0,0,2),B(2,3,0), Z D 因为点M为AD的中点，所以M(1,0,2), M A 则AB,=(0,3,2),AM=(-1,0,2),设面AB,M的法向量为n=(a,b,c), AB·i=3b+2c=0 可得 令a=6,解得b=-2,c=3,故n=(6,-2,3), B AM.n=-a+2c=0' 因为P为底面ABCD(含边界)内一个动点，所以设P(x,y,2),x∈[0,2]y∈[0,3]，则BP=(x-2,y-3,2), 因为BP∥平面AB,M,所以BP.n=0,得到6(x-2)-2(y-3)+2×3=0,化简得3x-y=0, 当x=2时，y=6,不符合题意，当y=3,x=1时，符合题意， 则P的轨迹是点(0,0,2)与点L,3,2)之间的线段， 由两点间距离公式得轨迹长度为V?+32=√0，故B正确， 对于C,因为3x-y=0,所以y=3x,此时变为P(x,3x,2),x∈[0,1， 由题意得C(0,3,0),C(0,3,2),则CC=(0,0,2),AP=(x-2,3x,2), 设异面直线CC与AP所成角为O, CC·AP 可得cos0 4 2 CC.P 2×Vx-2)2+(3x)2+22V10x2-4x+8 由同角三角函数的基本关系得sin0= V10x2-4x+4 V10x2-4x+8 V10x2-4x+4 tano=sin=v10x2-4x+8 cos0 M0x24x4,令fx)=10x2-4x+4, 2 V10x2-4x+8 自三次商数性质得/回在号 上单调递减， 上单调递增， 高二数学答案·第5页（共12页） 0=4，f0=10,-可得[0 即tan0∈ 31010 10 2 故C错误， 对于D,由题邀得0是BD的中点，则由中点坐标公式得O1,。 且A2,0,0),B(2,3,2),A(2,0,2),M1,0,2),设E(x,,zo),半径为R, 则外接球的方程为(x-x)2+(y-)2+(z-2)2=R2, 将A(2,0,0)代入方程，得到(2-x)2+y+z行=R2, 将A(2,0,2)代入方程，得到(2-x)2+y+(2-z)2=R2, 两式相减可得z6=(2-z)2,解得z0=1, 将B(2,3,2)代入方程，可得(2-x)2+(3-y)2+1=R2, 此时(2-x)2++z6=R2变为(2-x)2+y+1=R2, 两式相减得6-%户=疗，解得%号， 将M0.0,2)代入方程，可得0-++1=R, 此时(2-xP+听+号=R变为(2-+9+1=R, 4 两式相减可得1-，》=(2-x,户，解得x=2 3 则号，由两点何距高公式得0E了，故D正确 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 题号 12 13 14 答案 3 > 9 3 2x+1,x<2 12. 已知函数-f-2,之2则) 【答案】3 【详解】由题意得：f(5)=f(5-2)=f(3)=f(3-2)=f(1)=2×1+1=3. 13已知后小片则2色为 高二数学答案·第6页（共12页） 【答案】 【详解1由m[8+a小-可得of行+2a小-1-2sm任+a1-2x固-g 14. 己知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计)内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动， 且正方体的最大棱长为25 则该圆锥容器的容积的最小值为 【答架】 【详解】因为正方体在圆锥容器内部能任意转动，所以正方体的外接球在圆锥容器内部能任意转动， 又正方体的最大棱长为25，所以外接球的半径的最大值R 此时正方体的外接球内切于圆锥容器，轴截面图如图所示， 设圆锥的底面半径为r(r>1),高为h,母线长为1，则1=√+r2, 由C00,cB,得}分，则1=-4， F D 得h+2hr2+r=2+rP2,整理得h=2-（r>), O r2 所以圆锥容器的容积r=rh=2π×户 3 3r2-1 令)若>，则四 2x3(x2-2） (x2-1 当x∈(1，V2)时，f'(x)<0,当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0, 所以f(x)在1，√2)上单调递减，在(V2,+)上单调递增，则f(x)=f(V2)=4, 故圆能容器的容积的最小值为子×4- 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 l5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a、b、c.若m=(cosB,sinC),n=(cosC,-sinB),且m·n= 2 (1)求角A的大小： (2)若a=25,三角形面积S=√5，求b+c的值. 【答案】1D)4=号：(2)6+e=4 高二数学答案·第7页（共12页） 【详解】解：（1)：示=(cosR,s血9，云=(oC-sn,且m7-之 .coBcos-sin BsinccoC 1 2 六cos1=-2又Ae0,m,4=子r: 3 1. 。2 2)Sc)bc:sin4 be.sin-π=B,bc=4、 2 3 2 又由余弦定理得a2=b+c2-2 becos号r=+c2+hc=b+c-bc,16=b+c, 所以b+c=4. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,AB⊥AD,PA=PD, AB=1,AD=2,AC=CD=5. (I)求证：PDL平面PAB: (2)求二面角P-AB-C的大小. 【答案】(1)证明见详解(2)45° 【详解】(I)·平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADO平面ABCD=AD,AB⊥AD,ABC平面ABCD, :ABL平面PAD,又PDC平面PAD,.AB⊥PD,又PA⊥PD且AB∩PA=A,PA,ABC平面PAB, .·.PD⊥平面PAB」 (2)取AD的中点O,连接PO,CO,:PA=PD,∴PO⊥AD, 又POC平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, ∴.PO⊥平面ABCD,COc平面ABCD,∴.PO⊥CO,又AC=CD,CO⊥AD, 如图建立空间直角坐标系， ZA 则A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1), PA=(0,1,-1),PB=(1,1,-1), ii.PA=y-2=0 B 设平面PAB的法向量为n=(x,y,2),则 ,令y=1,则 i.PB=x+y-z=0 x=0,z=1,.i=(0,1,1), 义观察可知平面BC的法向量为m三0,0，D,“c0sm,列网闭-=2 故二面角P-AB-C的大小为45°. 17.某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有 高二数学答案·第8页（共12页） 两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛。已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为：乙在第一轮和第二轮此赛 中块的概丰分别为号和子：同在第轮和第二轮铁肚的质幸分别为口和4，其小宁子 (I)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大： ②芳甲、乙、两三人均末进入获英的概率为方，设进入决赛的人致为5，求5的分布列 【答案】(1)甲；(2)分布列见解析 【详解】(1)甲进入决赛的概率为P= 3) _9,乙进入决赛的概率为P= ×3-1 416 342 丙进入决的概案为=PP小-口-+名而分p<子则< 所以甲进入决赛的可能性最大 2)甲、乙、丙三人均未选入族赛的极学P-2}-小-p}-P小7 整理可得1-27p+10=0,得号或p名西p<所以n-号 则%=号行引-号所以甲、乙、内近入决赛位概率分别为2号 915 随机变量5的可能取值有0,1,2,3， > 所以P(5=0)=7 ==-2-引122 91、5_5 P5=3)=16x2g32 所以随机变量5的分布列为： 5 0 1 2 3 7 11 29 5 P 72 32 72 32 18已知椭圆C名+G>h>0的短轴长为2，F是C的右焦点，D是C的下顶点，Ir上V2,过 点D作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A,B两点（不与点D重合），过点D作直线AB的垂线，垂 足为M. 高二数学答案·第9页（共12页） (1)求椭圆C的方程和离心率： (2)判断在y轴上是否存在定点Q,使得MQ的长度为定值？若存在，求出点Q的坐标和MQ的长度：若不 存在，请说明理由. 【答案)少父+2=1.高心率为V2 .2隋在，00， 2 2 2b=2, b=1, 【详解】(1)解：由题意得： {a=√2， ,解得{a=√2， c2=a2-b2. c=1. 所以椭圆C的方程为y=1,离心率为e=CVB B (2)由题意可知，直线AD的斜率k存在且不为零. 又因为AD1BD,所以如=。因为D0,-D, 所以直线AD的方程为y=:-1,直线BD的方程为y=- x-1. k [y=kx-1 由 2k2-1 x2+2y2= 2可得(2k2+12-4=0.设4x,y),则5=， 2k2+1 Γ2k2+11 所以A0,462-昌 2k2+1'2k2+1 同理可得：B,462-2 2+P2+k2) 图为。三签过，所以线语的方程为. 2k2-12-k2 4k-4k 3k 2P2+136（x22+ 2k2+12+k2 即y=-1 3k+. 3 所以直线AB过定点N0,}, 当Q为DN中点时， 因为点M是过点D作直线AB的垂线的垂足， 所以当M与N重合时，w@=DN-号 当M与N不重合时，银据直角三角形的性质，WQ-DN-子 所以当Q为DN的中点时，即Q0,}时，M0的长度为定值 2 19.(1)y=3x2+2x+1是下凸函数、y=log2x是上凸函数，y=e是下凸函数： (2函数y=sinr在x∈(0，)上是上凸函数，证明见解析：最大值为3V5 (3)证明见解析. 【详解】(1)根据二次函数、对数函数及指数函数的性质可知： y=3x2+2x+1是下凸函数、y=log2x是上凸函数，y=e*是下凸函数： 高二数学答案·第10页（共12页） (2)函数y=sinx在x∈(0，π)上是上凸函数，证明如下： 任意x,x∈(0，m),又因为sinx+sin:,=2sin占+五cos-五 2 2 则f色5-m兰n5m-5+当-5 2. 2 2 2 2 2 =sin(1-cos), 2 2 因为e0动，所以5号e孕，所以m5号产1，且n>0, 2 2 2 所n0-m2)e0,印f21:0,所当1. 2 2 2 2 所以函数y=sinx在x∈(0，元)上是上凸函数： 庙题意可得snB+C加A牛nB+snC,又因为牛A士C一药所以mH牛s如B+s血C≤加B 3 3 3 3 32 所以如4+nB+mC≤3，当且仅当A=B-C-时，等号成立， 所以sin4+sinB+sinC的最大值为3V5, (3)证明：设△4BC的半周长为p=2 号=t,因为5-winC.C. 2 2ab 所以sinC=V1-cos2C= a2+b2-c2 2ab 所以s=-absinC=- 2bV-( +-- cinl-atb-c 2ab 2ab 2ab -4fahP-cr2-a-b时 -Y(a+bteXa+b-eX(c+a-b)(c-a+b), 因为p=a+b+c 2 所以p-a=-a+b+c 2 -,p-b=0-b+c ,p-c=a+b-c 2 2 所以Vab*oa*h-0c+a-c-a+-42n-2p-0-24p--20-a, =p(p-a)(p-b)(p-c) 即S=√p(p-a)(p-b)(p-c),要证明L2≥12V3S,即证明(2p)2≥12W3·√p(p-a)(p-b(p-c). 即4p2≥125Vpp-a0)p-bp-c,即p2235√pp-a)p-bp-c), 即p≥27p(p-a)(p-b)(p-c),即p3≥27(p-a)(p-b(p-c), 高二数学答案·第11页（共12页） 由基本不等式可得D-a)+(P,)+D-9≥p-ap-bp-A, 3 又因为(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-(a+b+c)=3p-2p=p, 所以号≥p-op-bp-a可，即（学≥(p-ap-bp-ce,即p≥27(p-ap-bp-c, 上式成立，故L2≥12√3S(当且仅当a=b=c时，等号成立) 高二数学答案·第12页（共12页）红河州第一中学2026年春季学期高二年级期中考 数学答题卡 姓名 [0]C0][0]C0]C0]C0]C0] 班级 C1]C1]C1]C1]C1]C1]C1] C2]C2]C2][2]C2][2]C2] [3]C3]C3][3][3]C3]C3] 考 号 C4]C4]C4]C4]C4]C4]C4] C5]C5]C5]C5]C5]C5]C5] 考场 [6][6]C6][6][6][6][6] C7][7]C7]C7]7]C7]C7] L8][8][8]C8][8]C8]C8] 座位号」 C9][9]C9]C9]C9C9]C9] 注 1、选择题部分必须使用2B铅笔填涂：非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚。 事 2、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、 试题卷上答题无效。 项 3、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂 错误填涂 M的3[] 缺考标记：☐ 选择题：（共58分.请用2B铅竿填涂) 一、单项选择题：（共40分） 二、多项选择题：（共18分） 1 CA]CB]CC]CD]5 CA]CB]CC]CD] 9 CA]CB]CC][D] 2 CA]CB]CC]CD] 6 CAJCB]CC]CD] 10 CA]CB]CC]CD] 3 CA]CB]CC]CD] 7 CA]CB]CC]CD] 11 CA]CB]CC]CD] 4 CAJCB]CCJCD] 8 CA]CB]CC]CD] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 红河州第一中学2026年春季学期高二年级期中考 数学 答题卡16. （本小题满分15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题(本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓 名 班 级 考 号 考 场 座位号 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 注 意 事 项 1、 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚。 2、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。 3、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂: $ 错误填涂: % ^ & * 缺考标记: ` 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 选择题：（共58分，请用2B铅笔填涂） 一、单项选择题：（共40分） 二、多项选择题：（共18分） 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 11 A B C D 4 A B C D 8 A B C D 三、解答题(本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. （本小题满分17分） 18. （本小题满分17分） 17. （本小题满分15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $红河州第一中学2026年春季学期高二年级期中考试 数学试卷 (全卷满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚， 并将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={x-1<x<1,B={x0≤x<2},则A∩B-() A.{x-1<x<2}B.{x-1<x<2}C.{0≤x< D.{x0≤x<2} 2.已知向量a,万满足=l,月=2，(a,5)=于，则a-6=（) A.5 B.1 C.2 D.3 3.已知复数z满足1+V3i+i=z1-i),则z的虚部为() A. c 3 4.函数f()=sin（x+4的最小正周期为（） A.4π B.2π C.π 5.函数f)=的部分图象可能是（) x2+2 6.等差数列{an}的前n项和为Sn,且4+4，=18，a6+2a=29,则S。=() A.90 B.100 C.110 D.200 7.若对任意实数k,直线y=x+k截圆x2+y2+Dx=0所得的弦长为定值，则实数D=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 高二数学试卷·第1页（共4页） 8.将1,2,3，…9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到 下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为() 4 A.12 B.24 C.36 D.48 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等比数列{an}的公比为9，且a1+a2=3,a2+a=6,则下列结论正确的是() A.9=2 C.S4=15 D.S4=16 10.已知点F、E分别为双曲线C:二=1的左、右焦点，点P为C上一动点，则下列说法正确的是() 42 A.双曲线C的离心率为 2 B.若PF⊥PF,则△PFF2的面积为2√3 C.若PF=2PF,则△PFF2的周长为12+26 D.若直线I:y=与双曲线C无交点，则直线l的斜率的取值范围为 2 11.已知在长方体ABCD-ABCD中，AB=3,BC=BB,=2,点M为A,D的中点，P为底面ABCD(含 边界)内一个动点，且BP∥平面AB,M,长方体ABCD-ABCD的外接球的球心为O,则下列选项正确 的是() D A.球O的表面积为17π A B B.动点P的轨迹长度为√10 10 C.异面直线CC与AP所成角的正切值的取值范围是 2 D,三棱锥A-AMB的外接球球心为E,则OE= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 「2x+1,x<2 12.已知函数f(x)= /(x-2),x≥2'则f6)= 13.已知sm+a小片则m2的值为 高二数学试卷·第2页（共4页） 14.已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动， 且正方体的最大棱长为25 则该圆锥容器的容积的最小值为 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a、b、c.若m=(cosB,sinC),n=(cosC,-sinB), 且mn=2 一-1 (1)求角A的大小： (2)若a=2√5，三角形面积S=√5，求b+c的值. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,AB⊥AD,PA=PD, AB=1,AD=2,AC=CD=5. (I)求证：PD⊥平面PAB: (2)求二面角P-AB-C的大小. 17.(15分)某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其 .3 中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第 4 二轮比赛中获胜的概率分别为和2：丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为P和}P,其中) ,3 3 4 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； ②若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为)设进入决赛的人数为，求5的分布列： 高二数学试卷·第3页（共4页） 8,(I7分)已知椭圆C若+Q>h>0)的短霸长为2，F是C的石焦点，D是C的下顶点，且 |DF卡√2.过点D作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A,B两点（不与点D重合），过点D作直线 AB的垂线，垂足为M. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)判断在y轴上是否存在定点Q,使得MQ的长度为定值？若存在，求出点Q的坐标和MQ的长度；若不 存在，请说明理由. 19.7分)若西数=的定义拔为D,对任整出eD,相有任}小1伍片 2 ，则称函 数，=网是D上的上A函数，若恒有色}片，则称西数)=是D上的下昌商数。 这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若y=f(x)是上（下） 凸函数，则对任意x,x,,x,∈D,恒有f 5++）e/s/+」 应用以上知识 n 解决下列问题： (1)判断y=3x2+2x+1、y=log2x和y=e在定义域上的凹凸性；（只写出结论，不需证明) (2)判断函数y=sinx,x∈(0，π)的凹凸性，并用定义证明；利用结论，在△ABC中，求sinA+sinB+sinC的 最大值： (3)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,记S为△ABC的面积，L为△ABC的周长，证明： L2≥12V3S. 高二数学试卷·第4页（共4页） 红河州第一中学2026年春季学期高二年级期中考试 数学 试卷 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小正周期为（   ） A．4π B．2π C．π D． 5．函数的部分图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．90 B．100 C．110 D．200 7．若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（    ） A． B． C． D． 8．将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．若，则的面积为 C．若，则的周长为 D．若直线：与双曲线无交点，则直线的斜率的取值范围为 11．已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（    ） A．球的表面积为 B．动点的轨迹长度为 C．异面直线与所成角的正切值的取值范围是 D．三棱锥的外接球球心为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则_______. 13．已知，则的值为______. 14．已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为，则该圆锥容器的容积的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角所对的边分别为、、．若＝，＝，且． (1)求角A的大小；    (2)若，三角形面积，求的值． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 17．（15分）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 18．（17分）已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且． 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由． 19．（17分）若函数的定义域为，对任意，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性. 上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，恒有. 应用以上知识解决下列问题： (1)判断、和在定义域上的凹凸性；（只写出结论，不需证明） (2)判断函数，的凹凸性，并用定义证明；利用结论，在中，求的最大值； (3)在中，角、、的对边分别为、、，记为的面积，为的周长，证明：. 高二数学试卷·第8 页（共8 页） 高二数学试卷·第8 页（共8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $