精品解析：山东淄博市周村区第一中学2025-2026学年第二学期八年级数学5月阶段学情测试题

八年级数学试卷 一，选择题（共10小题） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（ ） A. B. 10 C. D. 9 5. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 估计的值应在（ ）之间． A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 8. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A. 或 B. 或2 C. 2 D. 10. 将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 12. 若关于x的方程：有一个根为2，则另一个根为______． 13. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____． 14. 如图，已知矩形，，，为边上一点，，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为___________时，是以为腰的等腰三角形． 15. 已知，且，，则的值为___________． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1） （2） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知：，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 20. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 21. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 22. （1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 23. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一，选择题（共10小题） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴a+2≥0， ∴a≥−2， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键；因此此题可根据最简二次根式的条件“被开方数不能含有开得尽方的数或因式及被开方数不能含有分母”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算法则计算，即可求解． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 4. 用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（ ） A. B. 10 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法将方程配成，然后求出n的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 6. 根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算．根据表格中函数值的符号变化，确定方程根所在的范围．当函数值由正变负或由负变正时，对应的区间内存在一个根． 【详解】解：观察表格数据： 当x在与之间或4到5之间时，的值由正到负， ∴x的取值范围是或． 故选：D． 7. 估计的值应在（ ）之间． A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 【答案】C 【解析】 【分析】将二次根式化为最简二次根式，再确定范围； 【详解】解：原式=， ∵，即， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了无理数大小估算，关键是把式子化成最简二次根式（被开方数中不含能开的尽方的数）再与相邻的两个整数比较． 8. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设段的长为，根据篱笆总长为以及有两个宽为的门，表示出的长，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设段的长为，  篱笆总长为，且中间隔有一道篱笆，  垂直于墙的三段篱笆总长为，  在上有两扇宽为的小门（不用篱笆），   平行于墙的边的长度为 ，即，  花圃的面积为，  可列方程为 ． 9. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A. 或 B. 或2 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．由一元二次方程的两个实数根分别为、，可得，，即可得，解得或，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为、， ，， ， ， ， 解得或， 当时，一元二次方程为，此时△，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去； 当时，一元二次方程为，此时△，符合题意； 的值是； 故选：D 10. 将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先将原数统一改写为二次根式形式，找出被开方数和排列的规律，再根据给定位置计算出对应数的序号，即可求出结果． 【详解】解：将原数组改写为二次根式形式可得： 可得规律：被开方数为从2开始的连续偶数，每一行有4个数， 位置为 表示第17行第2个数 前16行共有个数， 该数是总序列的第个数 该数的被开方数为 ， 该数为． 二．填空题（共5小题） 11. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可． 【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2， ∴a+1=3，解得：a=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 12. 若关于x的方程：有一个根为2，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记“两根之和为，两根之积为”是解题的关键． 13. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可． 【详解】解：由数轴可得：0＜a＜2， 则a+ =a+ =a+（2﹣a） =2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围． 14. 如图，已知矩形，，，为边上一点，，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为___________时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由勾股定理可得，分两种情况：当时，作于，当时，作于，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴如图，当时，作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动， ∴（秒）； 如图：当时，作于， ， 则，， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动， ∴（秒）； 综上所述，当的值为或时，是以为腰的等腰三角形． 15. 已知，且，，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，且，， ∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，最后进行加减计算即可； （2）先化简二次根式，在括号内进行合并，再利用二次根式除法法则进行计算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法可得； （2）利用直接开方法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 已知：，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应式子的值． （1）根据平方差公式和，可以求得所求式子的值； （2）根据完全平方公式和，可以求得所求式子的值． 【小问1详解】 解：， ， ； ； 【小问2详解】 解：； ． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 【答案】 ；k的值为2．   【解析】 【详解】分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围； （2）先确定k=1或2，再根据方程的根都是整数，分类讨论即可. 详解：根据题意得， 解得； 为正整数， 或， 当时，，所以该方程的根为无理数， 当是，原方程为，解得， 所有k的值为2．   点睛：考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 20. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）2 （2）2025 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：由得， 则， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由得，则， ∴， ∴ ． 21. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）平均每次降价每件盈利减少的百分率为 （2）若商场每天要盈利元，每件应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，进行列式计算，即可作答． （2）结合每件盈利元，平均每天可售出件，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设平均每次降价每件盈利减少的百分率为， 根据题意，得， 解得（舍去）或， 答：平均每次降价每件盈利减少的百分率为． 【小问2详解】 解：设每件应降价元， 根据题意，得， 解得，， 尽快减少库存，且一件女款上衣每降价元，每天可多售出件 答：若商场每天要盈利元，每件应降价元． 22. （1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质，三角形三边关系的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）利用题目中的构图，推出的最小值是的长，再利用勾股定理求出即可； （2）设，则，由勾股定理，得，，则，再仿照（1）的构图和求解方法解答即可； （3）构造矩形中，C是的中点，于C，，，，，求得，，则，应为，所以的最大值为，过点D作于点G，在中，利用勾股定理求出AD即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ∵，，， 设，则， 可得，， ∴， ∴的最小值为的长， 过点M作交延长线于Q，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 即的值最大，就是的值最大， ∵， ∴的最大值为， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为． 23. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 【答案】（1）② （2）， 首先构造了如图2所示的图形（图形画法不唯一）， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为8， ， 解得：， 方程的正数解是； （3），， 【解析】 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据4个矩形的总面积为20，得，即可求出，根据中间围成的正方形边长为，即可求出，再根据，即可求得． 【小问1详解】 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为7， ， ， 解法正确的构图是②； 故答案为：②． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图：， ， 个矩形的总面积为20， ， ， 解得：， 中间围成的正方形边长为， ， ，表示边长， ， 解得：， ，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $