精品解析：山东省淄博市周村区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

八年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开得尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 代数式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 3. 下列各式中，计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘法运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可知是等边三角形，是含角的直角三角形，解得，，再由勾股定理计算的值． 【详解】解：因为矩形的对角线，交于点， 所以，， 因为，， 所以， 所以， 因为是直角三角形，， 所以， 所以． 5. 用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（ ） A. B. 10 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法将方程配成，然后求出n的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 6. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用因式分解法求出方程的解，即可得出结果． 【详解】解：， ， ∴； ∴方程有两个不相等的实数根； 故选D． 7. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，     设小路宽为x米， 根据题意得：， 故选：C． 8. 已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方程的解，根与系数之间的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据方程的解得到，根与系数的关系得到，利用完全平方公式求出的值，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴，， ∴； 故选：B． 9. 已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；（2）牢记，．先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、， ， 解得：且． 、是方程的两个实数根， ，， ， ， 或， ， ． 故选：A． 10. 如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，根据正方形的性质，结合斜边上的中线，推出，进而推出，得到，得到为等腰直角三角形，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，进行求解即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵正方形， ∴，，，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当，即点与点重合时，最小为1， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 计算的结果为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 12. 计算的结果是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，直接根据平方差公式计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：13． 13. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根 ∴ ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题关键． 14. 如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为_____． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质． 直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为12和27， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为： 故答案为：36． 15. 如图，在正方形中，点的坐标是，点，分别在边，上，，若平分，则点的横坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，点的坐标，过点O作于点H，根据角平分线性质得，设，则点E的坐标为，则，证明得，再由勾股定理分别求出，则，然后在中，由勾股定理可求出，由此即可得出点E的坐标． 【详解】解：过点O作于点H，如图所示：   ∵四边形是正方形，点B的坐标是， ∴， ∵平分， ∴， 设，则点E的坐标为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的横坐标为． 故答案为：． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先化简二次根式后再合并即可得到答案； （2）原式先计算二次根式的乘除法，再进行减法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程运用公式法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，． 【小问2详解】 解： 这里，， ，． 18. 已知．求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）先求出，，再根据进行期间即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）且； （2）或． 【解析】 【分析】（）根据及一元二次方程的定义解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系可得，，进而由得到，即，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，掌握一元二次方程根的判别式及根和系数的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得， ，且， 解得且； 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴的值为或． 20. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在如图的网格格点处取A，B，C三点，使AB＝2，BC＝，AC＝． （1）请你在图中画出满足条件的△ABC； （2）求△ABC的面积； （3）直接写出点A到线段BC的距离． 【答案】 （1）如图，△ABC即为所求． （2）S△ABC＝4； （3）h＝． 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想作出三角形即可． （2）利用分割法求出三角形面积即可． （3）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）S△ABC＝2×5﹣×1×3﹣×2×2﹣×1×5＝4． （3）设BC边上的高为h．则有•h＝4， ∴h＝． 【点睛】本题考查网格作图，其中涉及勾股定理、三角形面积公式、等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该跳绳销售量的月增长率； （2）若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？ 【答案】（1）该跳绳销售量的月增长率为； （2）该跳绳的售价应定为50元/条． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设该跳绳销售量的月增长率为x，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．据此列出方程，解方程即可得到答案； （2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，根据月销售利润达到10000元列出方程，解方程并根据尽可能让顾客得到实惠即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该跳绳销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该跳绳销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条， 根据题意得：， 整理得：， 解得： 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该跳绳的售价应定为50元/条． 22. 【阅读思考】已知，求的最小值． 分析：如图，我们可以构造边长为1的正方形，为边上的动点．设，则，那么可以用含的式子表示，，问题可以转化为与的和的最小值，用几何知识可以解答． （1）求的最小值； （2）已知，为两个正数，且，运用以上方法求的最小值； （3）借助上述思考过程，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题． （1）依据题意，构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可判断得解； （2）构造图形，使得，则，当点A、P、D三点共线时，的最小值为的长，作，交的延长线于E，勾股定理求出的长即可得解； （3）构造图形，使得，则，则当点A、D、P三点共线时，的最大值为，延长，交于E，作于H，勾股定理求出即可得解． 【小问1详解】 解：作点关于的对称点，连接交于点P，则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得，， 的最小值是； 【小问2详解】 解：， ， 如图，，，，，，设， ， 当点，，三点共线时，的最小值为的长， 作，交的延长线于， ， ∴四边形是矩形， ，， 由勾股定理得，， 的最小值为； 【小问3详解】 解：， 如图，，，，，， 则， 当点，，三点共线时，的最大值为的长， 延长，交于，作于， ， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 由勾股定理得，， 的最大值为． 23. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，连接、． （1）如图2，点E落在对角线上，与相交于点H， ①连接，求证：四边形是平行四边形； ②求线段的长度； （2）在矩形绕点A旋转一周的过程中，面积的最大值为 ． 【答案】（1）①证明： 如图， ∵四边形形是矩形， ， ∵旋转， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①证明， 得出由平行四边形的判定可得出结论； ②证明，得出，由勾股定理可得出答案； （2）由旋转的性质画出图形，由三角形面积可求出答案. 【小问1详解】 ①略 ②设， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 又 ， ， ， ． 【小问2详解】 ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴旋转过程中，是定值， 当三点共时， 三角形的面积最大，如图， 此时 ． 故答案为： ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 代数式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（ ） A. 6 B. 8 C. D. 5. 用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（ ） A. B. 10 C. D. 9 6. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9. 已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 10. 如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 计算的结果为_____． 12. 计算的结果是_____． 13. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么m的值是_______． 14. 如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在正方形中，点的坐标是，点，分别在边，上，，若平分，则点的横坐标是_____． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知．求： （1）的值； （2）的值． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 20. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在如图的网格格点处取A，B，C三点，使AB＝2，BC＝，AC＝． （1）请你在图中画出满足条件的△ABC； （2）求△ABC的面积； （3）直接写出点A到线段BC的距离． 21. 某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该跳绳销售量的月增长率； （2）若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？ 22. 【阅读思考】已知，求的最小值． 分析：如图，我们可以构造边长为1的正方形，为边上的动点．设，则，那么可以用含的式子表示，，问题可以转化为与的和的最小值，用几何知识可以解答． （1）求的最小值； （2）已知，为两个正数，且，运用以上方法求的最小值； （3）借助上述思考过程，求的最大值． 23. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，连接、． （1）如图2，点E落在对角线上，与相交于点H， ①连接，求证：四边形是平行四边形； ②求线段的长度； （2）在矩形绕点A旋转一周的过程中，面积的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $