专题12旋转（5知识点+10题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

专题12 旋转 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 判断生活中的旋转现象】 1 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 2 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 5 【题型4 旋转中的规律性问题】 7 【题型5 根据旋转的性质求解】 10 【题型6 根据旋转的性质说明线段或角相等】 13 【题型7 旋转的性质及辨析】 15 【题型8 画旋转图形】 17 【题型9 旋转对称图形的识别】 19 【题型10 求旋转对称图形的旋转角度】 22 1. 概念认知：理解图形旋转的定义，掌握旋转的三大核心要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），能精准区分旋转与平移、轴对称的不同，准确识别生活中的旋转现象。 2. 性质掌握：熟练掌握图形旋转的基本性质，明确旋转前后图形的形状、大小、对应点、对应线段、对应角的变化规律，熟记旋转不变性。 3. 作图能力：掌握平面图形旋转作图的标准步骤，能根据指定旋转中心、方向、角度，准确画出旋转后的图形。 4. 识图应用：能快速找出旋转图形中的旋转中心、旋转角、对应点；掌握旋转对称图形的定义，会判断旋转对称图形、求解最小旋转角度。 5. 解题应用：利用旋转性质求解边长、角度、周长，证明线段相等、角相等，解决旋转规律探究、几何综合题型。 03 知识•梳理 知识点1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着平面内一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。其中定点为旋转中心，转动的角度为旋转角。 核心要点：旋转三要素缺一不可——旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度。旋转中心固定不动，不随图形转动。 知识点2. 旋转的核心性质（必考） · 不变性：旋转前后图形的形状、大小保持不变，图形与原图形全等，对应线段相等、对应角相等。 · 距离性质：图形上每一个对应点到旋转中心的距离相等。 · 角度性质：每一组对应点与旋转中心连线的夹角，都等于旋转角，且所有旋转角都相等。 · 整体规律：图形上所有点的旋转方向、旋转角度完全一致。 知识点3. 旋转角判定标准 任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，即为旋转角；旋转角的取值范围：。常见旋转角：90°、180°、270°、120°、60°等。 知识点4. 旋转对称图形定义 把一个图形绕着一个定点旋转一定角度（小于360°）后，能够与自身重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心。 易错区分：轴对称靠折叠重合，旋转对称靠旋转重合；一个图形可以既是轴对称图形，也是旋转对称图形。 知识点5. 三种图形变换对比 平移、轴对称、旋转均为全等变换，只改变图形位置，不改变形状、大小；平移改变位置、方向不变；旋转、轴对称会改变图形朝向。 04 题型•汇总 【题型1 判断生活中的旋转现象】 解题技巧 1. 核心判定依据：物体绕固定定点做圆周转动，位置、朝向发生改变，形状大小不变。 2. 常见旋转实例：风扇转动、钟表指针转动、车轮转动、摩天轮旋转、扳手拧螺丝、风车转动。 3. 快速排除法：直线运动为平移、折叠重合为轴对称、无固定旋转中心的晃动/摆动不属于规范旋转。 【典例1】．下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【答案】A 【详解】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，符合题意； B．国旗上升的过程，属于平移，不符合题意； C．传输带运输的东西，属于平移，不符合题意； D．飞驰的火车沿轨道移动，属于平移，不符合题意． 【变式1】．如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（   ） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5 【答案】D 【分析】根据图形结合旋转的定义逐一分析各个浮标的旋转方向即可判断． 【详解】解：由图可知，按照路线向上延伸，从浮标1的右侧绕过， ∴绕行浮标1是按逆时针方向； ∵接着路线向下延伸，从浮标2的上方绕过， ∴绕行浮标2是按顺时针方向； ∵接着路线向右延伸，从浮标3的左侧绕过， ∴绕行浮标3是按顺时针方向； ∵接着路线向上延伸，从浮标4的下方绕过， ∴绕行浮标4是按逆时针方向； ∵最后路线向右延伸，从浮标5的上方绕过，并从下方离开， ∴绕行浮标5是按顺时针方向， 综上所述，绕行浮标2，3，5时是按顺时针方向． 【变式2】．汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 【答案】 平移 旋转 【分析】本题考查平移与旋转的认识，掌握知识点是解题的关键． 根据平移与旋转的定义，即可解答． 【详解】解：汽车在笔直的公路上移动属于平移现象，车轮运动属于旋转现象． 故答案为：平移，旋转． 【变式3】．下列现象：①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．属于旋转的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：①火车行驶，是平移现象； ②荡秋千运动，是旋转现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤圆规画圆，是旋转现象． 属于旋转的有②③④⑤共4个． 故答案为：4． 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 解题技巧 1. 核心判断：图案所有单元图形形状、大小完全一致，围绕同一个定点环形分布，可通过单次/多次旋转得到。 2. 区分易错点：平移拼接的图案是直线排列，旋转图案是环形中心排列；轴对称拼接为对称分布，无环形旋转特征。 3. 验证方法：固定中心，将基础单元旋转对应角度，可与相邻图案完全重合即为旋转生成图案。 【典例2】．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【变式1】．2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变换的定义并准确识图是解题的关键．根据翻折、旋转、平移的定义进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图绕图案中心点旋转后可得到图，通过平移或者翻折不可以得到， 这次运动可以是旋转， 故选：C． 【变式2】．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、旋转，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 平移变换是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，据此可判断给出的图形中哪些图可由平移变换得到； 旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点按同一方向，转动同一个角度，据此可判断给出的图形中哪些图可由旋转变换得到； 最后，根据上面判断的结果，找出符合平移变换、旋转变换的图形填空即可． 【详解】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：. 故答案为:． 【变式3】．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 解题技巧 1. 找旋转中心：旋转过程中唯一不动的点即为旋转中心；两组对应点连线的垂直平分线交点就是旋转中心。 2. 找对应点：旋转后重合的点互为对应点，形状、位置特征一致的端点、顶点为对应点。 3. 找旋转角：连接对应点与旋转中心，两条连线的夹角即为旋转角；所有旋转角大小相等。 【典例3】．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 【变式1】．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查了图形旋转方式（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角度即可得出答案． 【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点顺时针旋转到，绕点顺时针旋转到， 故旋转方式是绕点顺时针旋转． 故选：B． 【变式2】．【中档】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 _____ ． 【答案】B 【分析】设中点H与中点为对应点，连接，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到， ∵E与为对应点，中点H与中点为对应点连接， 分别作和的垂直平分线，交于点B，如图所示， 故答案为：B． 【变式3】．如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据的坐标建立平面直角坐标系，连接，利用网格分别作的垂直平分线，两垂直平分线相交于点，点即为所求． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，下图点即为所求，点坐标为． 【题型4 旋转中的规律性问题】 解题技巧 1. 解题步骤：①观察每次旋转的角度、方向、周期；②找出旋转循环周期（如4次、6次一循环）；③用总次数÷周期，根据余数判断最终位置/状态。 2. 核心规律：旋转周期由最小重合角度决定，360°旋转为一个完整大周期，图形回归初始位置。 3. 常用结论：90°旋转周期为4、120°旋转周期为3、60°旋转周期为6。 【典例4】．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 【变式1】．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时计转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 【答案】A 【分析】本题主要查了图形类规律题．根据题意得到转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上，再由，可得从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上，即可求解． 【详解】解：根据题意得：转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上， ∵， ∴从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上， ∵点A在数轴上的对应的数为， ∴点D对应的数是． 则A选项符合题意． 故选：A． 【变式2】．如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查图形规律，解题的关键是读懂题干整理规律，写出几种变换得到重复规律．根据题干信息得到整理规律，按照规律将接下来的几次整理罗列出来，找到重复规律，即可得到答案； 【详解】解：用12345分别表示语文、数学、英语、理综、文综， 12345第一次：14253，第二次：15432，第三次：13524，第四次：12345（与图一相同)， ∴经4次整理后可得到的顺序与图1相同， ∴n的值应为4的倍数， 故选：A． 【变式3】．如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据可进行求解． 【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为， ∴机器狗经过一周所需的时间为（分钟）， ∵， ∴， ∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了， 即选项D符合题意； 故选D． 【题型5 根据旋转的性质求解】 解题技巧 1. 解题核心：套用旋转全等性质+等距等角性质，转化边长、角度条件。 2. 角度求解：旋转角已知即可推出对应夹角，结合三角形内角和、平角、直角进行角度换算。 3. 边长求解：对应点到旋转中心距离相等，对应线段相等，利用线段和差、等量代换求未知边长。 4. 综合技巧：旋转后常出现等腰三角形（对应点到中心距离相等），可利用等腰三角形性质解题。 【典例5】．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出，进而利用角的和与差计算求出即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知，从而得到对应边、对应角相等．利用得出为等腰三角形，结合，求出等腰三角形的顶角．由旋转角相等，，从而得到答案． 【详解】解：∵将绕点旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】．如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起，将簸箕绕点顺时针旋转，点落在点处，使其平放在地面，箕面绕点旋转的度数为_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质和邻补角的定义计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴箕面绕点旋转的度数为． 【变式3】．如图所示的中，，，，点C、A在直线l上，将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，．．．按此规律旋转至点，则______． 【答案】16210 【分析】由旋转的性质可得，，，从而可得，，由题图可知，每旋转次为一个循环组一次循环，每循环一次（为正整数）的长度增加，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点， ∴， ∵将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点， ∴， ∴， ∵将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③得到直线l上的点， ∴， ∴， …， ∴由题图可知，每旋转次为一个循环组一次循环，每循环一次（为正整数）的长度增加， ∵， ∴． 【题型6 根据旋转的性质说明线段或角相等】 解题技巧 1. 通用证明模板：①写明图形旋转的三要素；②得出旋转前后图形全等；③推出对应线段相等、对应角相等；④结合等量代换、公共角、公共边完成证明。 2. 进阶技巧：利用“同旋转角相等”，可证明两个夹角相等；利用对应点到中心距离相等，证明线段相等。 3. 得分要点：必须写明旋转变换依据，不可直接默认边角相等。 【典例6】．如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意逐项分析． 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法错误，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 【变式1】．如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案． 【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意； B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意； C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意； D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的外角，根据三角形的外角的性质，得到，旋转得到，即可得出结果． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵点旋转后的对应点恰好在直线上， ∴是的一个外角， ∴， ∴； 故答案为： 【变式3】．如图，将绕点C顺时针方向旋转得到．若，则______．    【答案】/度 【分析】本题主要考查旋转的性质以及直角三角形的性质，先求解，求解，再利用旋转的性质可得答案，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点C顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， 如图，在中，，    由旋转的性质可得，． 故答案为：． 【题型7 旋转的性质及辨析】 解题技巧 1. 正误辨析核心：紧扣三大性质——全等、对应点到中心距离相等、所有旋转角相等。 2. 常见错误选项：旋转后图形位置不变、对应线段平行、旋转中心随图形移动、旋转角度不统一。 3. 对比区分：平移对应线段平行，旋转对应线段一般不平行，仅特殊角度平行或垂直。 【典例7】．一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：∵旋转是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小， ∴旋转后对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都不发生变化，即②③④正确； 旋转后对应线段不一定平行，可能相交，因此①错误； 故正确的说法是②③④，选D． 【变式1】．下列关于旋转和平移的说法正确的是（    ） A．旋转使图形的形状发生改变 B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C．对应点到旋转中心距离相等 D．平移与旋转都可改变图形的位置和大小 【答案】C 【分析】平移和旋转都是全等变换，只改变图形位置，不改变图形的形状和大小，结合旋转的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵平移和旋转都是全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形位置， ∴A选项说旋转改变图形形状错误，D选项说平移和旋转可改变图形大小错误； ∵旋转会改变图形的方向，平移不改变图形方向，所以旋转得到的图形无法通过平移得到， ∴B选项错误； 由旋转的性质可知，旋转的对应点到旋转中心距离相等， ∴C选项正确． 【变式2】．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 【变式3】．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了图形变换的性质及其区别，掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：平移后对应线段平行（或在同一直线上）；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 故选：B． 【题型8 画旋转图形】 解题技巧 1. 五步标准作图法：①确定旋转中心、方向、角度；②找出原图所有关键点（顶点、端点）；③连接关键点与旋转中心；④按要求旋转对应角度，截取等长线段得到对应点；⑤按原图顺序依次连接对应点，完成作图。 2. 得分要点：保留作图痕迹，线段长度相等、旋转角度精准，图形与原图全等。 3. 易错提醒：所有关键点旋转方向、角度必须完全一致，不可局部旋转偏差。 【典例8】．如图，通过旋转后得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】旋转吉祥物“冰墩墩”得到的图形与原图形成中心对称，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形． 【变式1】．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，根据图形旋转的性质直接判断即可． 【详解】解：将正方形图案绕中心O顺时针旋转后，得到的图案是： 故选：C． 【变式2】．如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了图形的旋转作图．根据旋转的要求作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图，线段即为所求，则点的坐标是， 故答案为： 【变式3】．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． (1)的面积为 ； (2)平移，使点移动到点的位置，得到，、的对应点分别是、，请在图中画出平移后的； (3)连接、，则线段、的关系为 ； (4)将绕点按顺时针方向旋转得到，请在图2中画出． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)平行且相等 (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （2）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （3）根据平移的性质即可求解； （4）根据旋转的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示即为所求 （3）线段、的关系为平行且相等； （4）解：如图所示，即为所求 【题型9 旋转对称图形的识别】 解题技巧 1. 核心判定：图形绕定点旋转小于360°的任意角度后，能与自身完全重合，即为旋转对称图形。 2. 常见旋转对称图形：正多边形、圆、五角星、风车图案等。 3. 易错区分：普通轴对称图形不一定是旋转对称图形；旋转对称图形也不一定是轴对称图形。 【典例9】．2026年河南省第十五届运动会在安阳举办，大会吉祥物之一为“牛牛”，其设计造型以本省世界级的青铜器亚长牛尊、甲骨文字、吉祥纹样等作为创意构思的重点．通过将如图所示的“牛牛”旋转，不能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结果． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； C．不能由如图所示的图形经过旋转得到，故本选项符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意. 【变式1】．用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称变换和旋转变换，根据轴对称变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到， ∴，． ∴． 【变式2】．临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了面动成体的几何原理，解题的关键是判断平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形的形状．先分析题干中平面图形的轮廓特征，再与选项中立体工艺品的形状进行匹配，即可得出答案． 【详解】解：题干中的平面图形左右两侧向内凹陷，呈“腰鼓”状的对称曲线． A、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意； B、该立体上下宽、中间窄，呈“腰鼓”状，与题干平面图形旋转后的形状一致，此选项符合题意； C、该立体中间鼓、上下窄，由不同曲线旋转得到，此选项不符合题意； D、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】．将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，读懂题意是解答的关键． 将图案绕中心顺时针先旋转，再旋转，得出图形即可； 【详解】解：根据旋转的定义， 图案先旋转，再旋转，得出的图案是选项A． 故选：A． 【题型10 求旋转对称图形的旋转角度】 解题技巧 1. 最小旋转角公式：若图形均匀分为n等份，最小重合角度=。 2. 所有有效旋转角：最小角度的整数倍（小于360°）均为有效旋转角。例：正四边形最小旋转角90°，有效角度：90°、180°、270°。 3. 秒杀结论：正n边形最小旋转角为。 【典例10】．以点O为旋转中心将逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角的度数为（　　） A．45 B．60 C．90 D．135 【答案】C 【分析】图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为． 【变式1】．如图所示的阴影图案是由绕点旋转形成的，则旋转角的度数可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 根据旋转对称图形的定义（指绕平面内某定点旋转特定角度后与原图形重合的平面图形，该定点称为旋转中心，最小重合角度称为旋转角）即可求解． 【详解】解：∵阴影图案是由绕点旋转形成的， ∴． 故选：C． 【变式2】．如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形，涉及正多边形与圆，解题的关键是掌握旋转对称图形定义． 【详解】解：∵正三角形的三个顶点等分圆周， ∴， ∴把这个图形绕着圆心逆时针至少旋转后能与自身重合， 故选：C． 【变式3】．剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”．如图所示的剪纸图案是由6个完全相同的基本图案组成，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个旋转的角度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形”，熟记旋转对称图形的定义是解题关键．根据旋转对称图形的定义求解即可得． 【详解】解：∵剪纸图案是由6个完全相同的基本图案组成，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，且， ∴剪纸图案是旋转对称图形，旋转的角度是的整数倍， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 05 过关•检测 1．如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键． 由旋转的性质可得旋转角为或，据此即可解答． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至，点的对应点是． ∴旋转角为或． 故选：B． 2．如图，在的正方形网格中，是由绕某点旋转一定的角度得到的，G，H，P，Q都在网格线的交点上，则其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了旋转图形的性质．根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：绕点H逆时针旋转得到． 故选：D． 3．数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 4．小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 5．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查正方体相对两个面上文字，根据正方体的形体特征以及旋转规律，分别得出完成1次变换、2次变换、3次变换，4次变换后，骰子朝上一面的点数，根据所呈现的规律得出答案． 【详解】解：完成1次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是6， 完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是3， 完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 完成5次变换后，骰子朝上一面的点数是6， 完成6次变换后，骰子朝上一面的点数是3， …… 由于， 所以完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：A． 6．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点O，由旋转的性质可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：如图所示，设交于点O， 由旋转的性质可得， ∴，，故C结论错误，不符合题意； ∴，故D结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明，，故A、B结论错误，不符合题意； 7．如图，已知直线，直线与直线相交于点，将绕点逆时针旋转后，与直线相交于点，若，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质的应用，求出，根据平行线的性质得出，即可得出选项． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后，与直线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 9．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则与2024对应的点是______． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键． 由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：第1次翻转，点落在， 第2次翻转，点落在0， 第3次翻转，点落在1， 第4次翻转，点落在， 第5次翻转，点落在3， ...... 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故答案为：C． 10．已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意得到滚动1，2，3，4，5次后，骰子朝上一面的点数，可得每滚动4次为一个循环，再由，即可求解． 【详解】解： 滚动1次后，骰子朝上一面的点数是5， 滚动2次后，骰子朝上一面的点数是4， 滚动3次后，骰子朝上一面的点数是2， 滚动4次后，骰子朝上一面的点数是3， 滚动5次后，骰子朝上一面的点数是5， …… ∴每滚动4次为一个循环， ∵， ∴连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是4． 故答案为：4 11．如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，据此作图确定旋转中心，然后直接读出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作线段、线段的垂直平分线，相交于点， 则点即为旋转中心． 故答案为：． 12．如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为_____． 【答案】/度 【分析】此题重点考查正多边形内角度数的求法、旋转的性质等知识，求得是解题的关键． 由五边形是正五边形，求得，若点在的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 点在的延长线上， ， ， 旋转的最小度数为， 故答案为：． 13．有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为___________． 【答案】/15度 【分析】本题考查了旋转的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握三角板中角度的计算方法是解题关键．根据题意知，，又知，即可得出的度数． 【详解】解：根据题意知，，由旋转知， ∴． 故答案为：． 14．如图，直线一副三角板按如图1摆放，其中，，，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过______秒边与三角板的一条直角边（边）平行． 【答案】15或60或105或150 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． ①当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可；②当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可． 【详解】解：设经过秒边与三角板的一条直角边（边，平行， 如图，①当时，延长交于点， 当在上方时， ，，， ， ， ， ， ，即， ； 当在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， ； ②当时， 当在上方时，，如图，延长交于点， 根据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ； 当在下方时，如图，延长交于点， 根据题意可知：， ， ， ， ， ， ， 即， ， 综上所述：经过15或60或105或150秒边与三角板的一条直角边（边，平行． 故答案为：15或60或105或150． 15．如图：在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点． (1)将以点为旋转中心，顺时针旋转得到（其中与，与，与是对应点），请在网格中画出； (2)连接，，用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）利用格子和勾股定理可以解得，利用等腰三角形三线合一可画出角平分线． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示（画法不唯一）． 16．如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键． （1）连接，结合网格特点分别作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线交于点，则点即为所作； （2）根据旋转的性质，以及网格特点写出旋转角的度数即可． 【详解】（1）解： 所作旋转中心点如图所示： （2）解： 由图知，旋转角． 17．如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． (1)的度数； (2)如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； (3)如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 【答案】(1) (2)当时，平分； (3)或 【分析】（1）先求出，，再由平角的定义即可得解； （2）由旋转的性质可得，再由角的数量关系即可求解； （3）分为旋转角小于和大于两种情况，根据平行线的性质和角的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：三角板中，， ，， ； （2）解：以点O为旋转中心旋转到的位置， ， ，平分， ， ， ， ， 当时，平分； （3）解：如图，当旋转角小于时， ， ； 如图，当旋转角大于时， ， ， 旋转角为， 综上所述，旋转角为或． 18．如图，将绕点A顺时针旋转（）后得到． (1)如图1，当的对应边恰好落在边上时，若，，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，得到，，结合解答即可； （2）设，根据，求解即可． 【详解】（1）解：根据旋转的性质，得到，， 故； （2）解：设， ， ， 解得， ， ， 故旋转角； 19．【难】如图，直线，一副三角尺中，． (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点D恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点G，作和的平分线相交于点H（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或或 【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图3，分别过点F、H作，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图2，过点E作，利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时，②当时，③当时，④时，分别求出旋转角度求解即可． 【详解】（1）证明：在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图3，分别过点F、H作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的角平分线相交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ①当时，同时，如图，过点H作，交于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间为； ②当时，如图，过点H作，过点E作，交于G， 由①可得， ∴， ∴旋转时间为； ③当时，如图，过点E作，延长交于点K，则， ∴， 这时在上停止运动， ∴旋转时间为； ④当时，如图，延长交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间为； 当时，延长交于G， 同理， ∴旋转时间为， 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，三角板中角度的计算，辅助线的运用，利用平行线性质是解题关键． 20．【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【问题探究】如图①，当直线与直线平行时 (1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度； (2)试说明：； 【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时 (3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______； (4)当直线与直线垂直时，与关于______对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)， (4)点成中心 (5)画图见解析 【分析】（1）根据平移和轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质即可得证； （3）根据旋转和轴对称的性质求解即可； （4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可； （5）以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线,据此即可作出． 【详解】（1）解：当直线与直线平行时：可看作是沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度； （2）解：根据题意得，，， ∴； （3）解：当直线与直线相交于点时： 可看作是绕着点旋转而成的， ，， ∴， ∴与的数量关系为； （4）解：当直线与直线垂直时， 与的对称关系是关于点O成中心对称； （5）解：如图：以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线． ． 21．在中，，，．    (1)如图，沿方向平移，使点移动到点的位置，得到．连接，．显然四边形为长方形．若，求线段的长． (2)如图，在（）的条件下，把绕点按顺时针方向旋转得到，再将线段平移至位置，其中点在上，点在上，连接、，求的面积． (3)如图3，点是射线上一动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，当时，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平移的性质，得到对应线段相等，结合长方形的边长关系，通过线段和差运算求出的长度． （2）结合平移、旋转的性质，先确定相关线段的长度，再通过割补法，用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积，计算出的面积． （3）分点在线段上和点在的延长线上两种情况讨论，利用旋转的性质、平行线的性质、轴对称的性质以及三角形内角和/角度和差关系，推导与的数量关系． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，， ； （2）解：由（）得，，由旋转得，， 将线段平移至位置， ，， ，， ； （3）解：若点在线段上，如图，    由旋转性质可知，， ， ， 点、点关于直线的对称， ， ； 若点在的延长线上，如图，    同理可得， ， ， 综上所述，或． 22．如图1：已知直线，，平分． (1)求的度数； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，且．点N是线段上一点，且．点K是线段上一点满足，求的值； (3)在（2）的条件下，如图3，当时，将绕点G每秒逆时针旋转到，同时，绕点K以每秒顺时针旋转得到．记第一次与平行时的时间为，第二次与垂直的时间为．当，请直接写出所在直线与一边所在直线平行时的所有时间t． 【答案】(1) (2) (3)当所在直线与一边所在直线平行时，或40 【分析】（1）由题意易得，，然后根据平角的定义可进行求解； （2）由题意可设，则有，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解； （3）由（2）可得当时，则有，，，，，，由题意易得，然后可分当时，当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：由可设，则有， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：当时，则有，，，，，， 当第一次与平行时的时间为时，即， ∴， ∴， 此时旋转的度数为， ∵， ∴此时的边与直线重合； 当第二次与垂直的时间为时，延长，则有，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴可把和从当第一次与平行时的时间（此时的边与直线重合）算起， ①当时，延长，分别交直线、于点O、P、R，由题意知，如图所示： ∴，，， 由旋转可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∴， 由①可得：， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴此时、都与重合，不符合题意，舍去； ③当，如图所示： ∴， 由②可知：，， ∴， 解得：； 综上所述：当所在直线与一边所在直线平行时，或40． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 旋转 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 判断生活中的旋转现象】 2 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 2 【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 3 【题型4 旋转中的规律性问题】 4 【题型5 根据旋转的性质求解】 6 【题型6 根据旋转的性质说明线段或角相等】 7 【题型7 旋转的性质及辨析】 8 【题型8 画旋转图形】 8 【题型9 旋转对称图形的识别】 10 【题型10 求旋转对称图形的旋转角度】 11 1. 概念认知：理解图形旋转的定义，掌握旋转的三大核心要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），能精准区分旋转与平移、轴对称的不同，准确识别生活中的旋转现象。 2. 性质掌握：熟练掌握图形旋转的基本性质，明确旋转前后图形的形状、大小、对应点、对应线段、对应角的变化规律，熟记旋转不变性。 3. 作图能力：掌握平面图形旋转作图的标准步骤，能根据指定旋转中心、方向、角度，准确画出旋转后的图形。 4. 识图应用：能快速找出旋转图形中的旋转中心、旋转角、对应点；掌握旋转对称图形的定义，会判断旋转对称图形、求解最小旋转角度。 5. 解题应用：利用旋转性质求解边长、角度、周长，证明线段相等、角相等，解决旋转规律探究、几何综合题型。 03 知识•梳理 知识点1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着平面内一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。其中定点为旋转中心，转动的角度为旋转角。 核心要点：旋转三要素缺一不可——旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度。旋转中心固定不动，不随图形转动。 知识点2. 旋转的核心性质（必考） · 不变性：旋转前后图形的形状、大小保持不变，图形与原图形全等，对应线段相等、对应角相等。 · 距离性质：图形上每一个对应点到旋转中心的距离相等。 · 角度性质：每一组对应点与旋转中心连线的夹角，都等于旋转角，且所有旋转角都相等。 · 整体规律：图形上所有点的旋转方向、旋转角度完全一致。 知识点3. 旋转角判定标准 任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，即为旋转角；旋转角的取值范围：。常见旋转角：90°、180°、270°、120°、60°等。 知识点4. 旋转对称图形定义 把一个图形绕着一个定点旋转一定角度（小于360°）后，能够与自身重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心。 易错区分：轴对称靠折叠重合，旋转对称靠旋转重合；一个图形可以既是轴对称图形，也是旋转对称图形。 知识点5. 三种图形变换对比 平移、轴对称、旋转均为全等变换，只改变图形位置，不改变形状、大小；平移改变位置、方向不变；旋转、轴对称会改变图形朝向。 04 题型•汇总 【题型1 判断生活中的旋转现象】 解题技巧 1. 核心判定依据：物体绕固定定点做圆周转动，位置、朝向发生改变，形状大小不变。 2. 常见旋转实例：风扇转动、钟表指针转动、车轮转动、摩天轮旋转、扳手拧螺丝、风车转动。 3. 快速排除法：直线运动为平移、折叠重合为轴对称、无固定旋转中心的晃动/摆动不属于规范旋转。 【典例1】．下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【变式1】．如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（   ） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5 【变式2】．汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 【变式3】．下列现象：①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．属于旋转的有______个． 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 解题技巧 1. 核心判断：图案所有单元图形形状、大小完全一致，围绕同一个定点环形分布，可通过单次/多次旋转得到。 2. 区分易错点：平移拼接的图案是直线排列，旋转图案是环形中心排列；轴对称拼接为对称分布，无环形旋转特征。 3. 验证方法：固定中心，将基础单元旋转对应角度，可与相邻图案完全重合即为旋转生成图案。 【典例2】．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【变式2】．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【变式3】．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④．（填平移或旋转）    【题型3 找旋转中心、旋转角、对应点】 解题技巧 1. 找旋转中心：旋转过程中唯一不动的点即为旋转中心；两组对应点连线的垂直平分线交点就是旋转中心。 2. 找对应点：旋转后重合的点互为对应点，形状、位置特征一致的端点、顶点为对应点。 3. 找旋转角：连接对应点与旋转中心，两条连线的夹角即为旋转角；所有旋转角大小相等。 【典例3】．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【变式2】．【中档】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 _____ ． 【变式3】．如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 【题型4 旋转中的规律性问题】 解题技巧 1. 解题步骤：①观察每次旋转的角度、方向、周期；②找出旋转循环周期（如4次、6次一循环）；③用总次数÷周期，根据余数判断最终位置/状态。 2. 核心规律：旋转周期由最小重合角度决定，360°旋转为一个完整大周期，图形回归初始位置。 3. 常用结论：90°旋转周期为4、120°旋转周期为3、60°旋转周期为6。 【典例4】．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式1】．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时计转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 【变式2】．如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式3】．如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据旋转的性质求解】 解题技巧 1. 解题核心：套用旋转全等性质+等距等角性质，转化边长、角度条件。 2. 角度求解：旋转角已知即可推出对应夹角，结合三角形内角和、平角、直角进行角度换算。 3. 边长求解：对应点到旋转中心距离相等，对应线段相等，利用线段和差、等量代换求未知边长。 4. 综合技巧：旋转后常出现等腰三角形（对应点到中心距离相等），可利用等腰三角形性质解题。 【典例5】．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式2】．如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起，将簸箕绕点顺时针旋转，点落在点处，使其平放在地面，箕面绕点旋转的度数为_____． 【变式3】．如图所示的中，，，，点C、A在直线l上，将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，．．．按此规律旋转至点，则______． 【题型6 根据旋转的性质说明线段或角相等】 解题技巧 1. 通用证明模板：①写明图形旋转的三要素；②得出旋转前后图形全等；③推出对应线段相等、对应角相等；④结合等量代换、公共角、公共边完成证明。 2. 进阶技巧：利用“同旋转角相等”，可证明两个夹角相等；利用对应点到中心距离相等，证明线段相等。 3. 得分要点：必须写明旋转变换依据，不可直接默认边角相等。 【典例6】．如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【变式2】．如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则_____．（填“”“”或“”） 【变式3】．如图，将绕点C顺时针方向旋转得到．若，则______．    【题型7 旋转的性质及辨析】 解题技巧 1. 正误辨析核心：紧扣三大性质——全等、对应点到中心距离相等、所有旋转角相等。 2. 常见错误选项：旋转后图形位置不变、对应线段平行、旋转中心随图形移动、旋转角度不统一。 3. 对比区分：平移对应线段平行，旋转对应线段一般不平行，仅特殊角度平行或垂直。 【典例7】．一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】．下列关于旋转和平移的说法正确的是（    ） A．旋转使图形的形状发生改变 B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C．对应点到旋转中心距离相等 D．平移与旋转都可改变图形的位置和大小 【变式2】．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【变式3】．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【题型8 画旋转图形】 解题技巧 1. 五步标准作图法：①确定旋转中心、方向、角度；②找出原图所有关键点（顶点、端点）；③连接关键点与旋转中心；④按要求旋转对应角度，截取等长线段得到对应点；⑤按原图顺序依次连接对应点，完成作图。 2. 得分要点：保留作图痕迹，线段长度相等、旋转角度精准，图形与原图全等。 3. 易错提醒：所有关键点旋转方向、角度必须完全一致，不可局部旋转偏差。 【典例8】．如图，通过旋转后得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是______． 【变式3】．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． (1)的面积为 ； (2)平移，使点移动到点的位置，得到，、的对应点分别是、，请在图中画出平移后的； (3)连接、，则线段、的关系为 ； (4)将绕点按顺时针方向旋转得到，请在图2中画出． 【题型9 旋转对称图形的识别】 解题技巧 1. 核心判定：图形绕定点旋转小于360°的任意角度后，能与自身完全重合，即为旋转对称图形。 2. 常见旋转对称图形：正多边形、圆、五角星、风车图案等。 3. 易错区分：普通轴对称图形不一定是旋转对称图形；旋转对称图形也不一定是轴对称图形。 【典例9】．2026年河南省第十五届运动会在安阳举办，大会吉祥物之一为“牛牛”，其设计造型以本省世界级的青铜器亚长牛尊、甲骨文字、吉祥纹样等作为创意构思的重点．通过将如图所示的“牛牛”旋转，不能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式2】．临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【题型10 求旋转对称图形的旋转角度】 解题技巧 1. 最小旋转角公式：若图形均匀分为n等份，最小重合角度=。 2. 所有有效旋转角：最小角度的整数倍（小于360°）均为有效旋转角。例：正四边形最小旋转角90°，有效角度：90°、180°、270°。 3. 秒杀结论：正n边形最小旋转角为。 【典例10】．以点O为旋转中心将逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角的度数为（　　） A．45 B．60 C．90 D．135 【变式1】．如图所示的阴影图案是由绕点旋转形成的，则旋转角的度数可能为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”．如图所示的剪纸图案是由6个完全相同的基本图案组成，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个旋转的角度可以是（   ） A． B． C． D． 05 过关•检测 1．如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，是由绕某点旋转一定的角度得到的，G，H，P，Q都在网格线的交点上，则其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 4．小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 5．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线，直线与直线相交于点，将绕点逆时针旋转后，与直线相交于点，若，那么（    ） A． B． C． D． 8．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 9．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则与2024对应的点是______． 10．已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 11．如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到____________． 12．如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为_____． 13．有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为___________． 14．如图，直线一副三角板按如图1摆放，其中，，，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过______秒边与三角板的一条直角边（边）平行． 15．如图：在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点． (1)将以点为旋转中心，顺时针旋转得到（其中与，与，与是对应点），请在网格中画出； (2)连接，，用无刻度的直尺作出的平分线． 16．如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)直接写出旋转角的度数． 17．如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． (1)的度数； (2)如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； (3)如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 18．如图，将绕点A顺时针旋转（）后得到． (1)如图1，当的对应边恰好落在边上时，若，，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 19．【难】如图，直线，一副三角尺中，． (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点D恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点G，作和的平分线相交于点H（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 20．【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【问题探究】如图①，当直线与直线平行时 (1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度； (2)试说明：； 【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时 (3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______； (4)当直线与直线垂直时，与关于______对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）． 21．在中，，，．    (1)如图，沿方向平移，使点移动到点的位置，得到．连接，．显然四边形为长方形．若，求线段的长． (2)如图，在（）的条件下，把绕点按顺时针方向旋转得到，再将线段平移至位置，其中点在上，点在上，连接、，求的面积． (3)如图3，点是射线上一动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，当时，求的值．（用含的代数式表示） 22．如图1：已知直线，，平分． (1)求的度数； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，且．点N是线段上一点，且．点K是线段上一点满足，求的值； (3)在（2）的条件下，如图3，当时，将绕点G每秒逆时针旋转到，同时，绕点K以每秒顺时针旋转得到．记第一次与平行时的时间为，第二次与垂直的时间为．当，请直接写出所在直线与一边所在直线平行时的所有时间t． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $