专题08三角形（7知识点+22题型+过关检测） 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

专题08 三角形 （7知识点+22题型+过关检测） 【题型1 三角形的概念相关】 6 【题型2 三角形的个数问题】 6 【题型3 三角形的分类】 7 【题型4 画三角形的高】 7 【题型5 与三角形的高有关的计算问题】 8 【题型6 利用网格求三角形面积】 9 【题型7 根据三角形中线求长度】 10 【题型8 根据三角形中线求面积】 11 【题型9 三角形角平分线的定义】 12 【题型10 三角形内角和定理的证明】 12 【题型11 与平行线有关的三角形内角和问题】 13 【题型12 与角平分线有关的三角形内角和问题】 14 【题型13 三角形折叠中的角度问题】 15 【题型14 三角形内角和定理的应用】 15 【题型15 直角三角形的两个锐角互余】 16 【题型16 锐角互余的三角形是直角三角形】 17 【题型17 三角形的外角的定义及性质】 17 【题型18 构成三角形的条件】 18 【题型19 确定第三边的取值范围】 18 【题型20 三角形三边关系的应用】 19 【题型21 三角形的稳定性及应用】 19 【题型22 四边形的不稳定性】 20 1. 理解三角形的概念，掌握三角形的边、角、顶点及相关表示方法，能准确识别三角形的各类元素，区分三角形与其他图形。 2. 掌握三角形的分类标准（按边、按角），能对不同三角形进行准确分类，理解等腰三角形、等边三角形的从属关系。 3. 熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义，能准确画出任意三角形（锐角、直角、钝角）的高，理解中线、角平分线的核心性质，会利用中线求三角形面积。 4. 掌握三角形内角和定理（180°），能完成定理的规范证明，灵活运用定理解决角度计算问题；掌握直角三角形的性质（两锐角互余）及判定定理（两锐角互余的三角形是直角三角形）。 5. 理解三角形外角的定义及性质（外角等于不相邻两内角和、外角大于任意不相邻内角），会用外角性质解决角度计算与大小比较问题。 6. 掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边），能判断三条线段能否构成三角形，准确确定第三边的取值范围，会用三边关系解决实际应用问题。 知识点1：三角形的概念03 知识•梳理 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 基本元素： · 边：组成三角形的三条线段（记为a、b、c或AB、BC、AC）； · 顶点：三条线段的公共端点（记为A、B、C）； · 角：相邻两边组成的角（内角，记为∠A、∠B、∠C），三角形有3个内角。 3. 表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。 4. 关键提醒：三条线段必须满足“不在同一直线上”且“首尾顺次相接”，缺一不可，否则无法构成三角形。 知识点2：三角形的分类 （1）按边分类 分类 定义 核心特征 不等边三角形 三条边都不相等的三角形 三边长度均不相同 等腰三角形 有两条边相等的三角形 至少两条边相等，相等的边叫腰，另一条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角 等边三角形 三条边都相等的三角形 三边相等，三个内角均为60°，是特殊的等腰三角形 （2）按角分类 分类 定义 核心特征 锐角三角形 三个内角都小于90°的三角形 三个角均为锐角（0°<每个内角<90°） 直角三角形 有一个内角等于90°的三角形 一个直角（90°），两个锐角互余；直角所对的边叫斜边，斜边最长 钝角三角形 有一个内角大于90°且小于180°的三角形 一个钝角（90°<钝角<180°），两个锐角 关键提醒：三角形分类需明确分类标准，同一三角形可按不同标准分类（如等边三角形既是等腰三角形，也是锐角三角形）；按角分类时，看“最大角”即可快速判断类型。 知识点3：三角形的高、中线、角平分线 （1）三角形的高 1. 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（简称高）。 2. 位置特征（培优重点）： · 锐角三角形：三条高都在三角形内部，且相交于一点（垂心）； · 直角三角形：两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，垂心是直角顶点； · 钝角三角形：两条高在三角形外部（需延长对边），一条高在内部，垂心在三角形外部。 3. 关键提醒：高是线段，不是直线；画钝角三角形的高时，必须延长对边，再作垂线。 （2）三角形的中线 1. 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 2. 核心性质： · 三角形的三条中线都在三角形内部，且相交于一点（重心）； · 中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高，面积相等）； · 重心分中线的比为2:1（顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的2倍，七年级暂不要求计算，了解即可）。 （3）三角形的角平分线 1. 定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 2. 核心性质： · 三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点（内心）； · 角平分线将对应的内角分成两个相等的角（如AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD）。 3. 关键提醒：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，二者本质不同，切勿混淆。 知识点4：三角形内角和定理 1. 定理内容：三角形三个内角的和等于180°（即∠A+∠B+∠C=180°）。 2. 证明思路（核心，必掌握）：通过作平行线，将三角形的三个内角转化为一个平角（180°）；或通过剪拼、折叠，将三个内角拼接成一个平角，验证定理。 3. 核心推论（培优高频）： · 推论1：直角三角形的两个锐角互余（若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则∠A+∠B=90°）； · 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形（若∠A+∠B=90°，则△ABC是直角三角形）； · 推论3：三角形的一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是直角三角形。 4. 关键提醒：内角和定理适用于所有三角形，是角度计算的核心依据；证明过程需规范，每一步推理都要有依据（如平行线性质、平角定义）。 知识点5：三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2. 基本特征：每个三角形有6个外角，每个顶点处有2个外角（互为对顶角，大小相等）；外角与相邻的内角互补（和为180°）。 3. 核心性质（培优重点，必记）： · 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（如∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD=∠A+∠B）； · 性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角（如∠ACD>∠A，∠ACD>∠B）。 知识点6：三角形三边关系 1. 基本性质（必背）： · 三角形两边之和大于第三边（如a+b>c，a+c>b，b+c>a）； · 三角形两边之差小于第三边（如|a-b|<c，|a-c|<b，|b-c|<a）。 2. 推论：判断三条线段能否构成三角形，只需验证“较短两边之和是否大于最长边”（最简方法，避免重复计算）。 3. 关键提醒：三边关系是判断线段能否构成三角形的唯一依据；求第三边取值范围时，需同时满足“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”，结果取不等式的公共部分。 知识点7：三角形的稳定性与四边形的不稳定性 1. 三角形的稳定性：三角形的三边长度确定后，其形状和大小就唯一确定，这种性质叫做三角形的稳定性。 · 应用实例：自行车车架、桥梁支架、屋顶桁架、篮球架支架等，利用稳定性加固结构。 2. 四边形的不稳定性：四边形的四边长度确定后，其形状和大小仍可改变，这种性质叫做四边形的不稳定性。 · 应用实例：伸缩门、折叠椅、活动衣架、折叠伞等，利用不稳定性实现伸缩、折叠功能。 04 题型•汇总 【题型1 三角形的概念相关】 核心：紧扣“不在同一直线、三条线段、首尾顺次相接”三个核心条件，明确三角形的基本元素与表示方法。 【典例1】．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【题型2 三角形的个数问题】 核心：按一定顺序分类计数，避免重复或遗漏，遵循“有序性”原则。 【典例2】．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 跟随训练1．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 跟随训练2．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【题型3 三角形的分类】 核心：明确按边、按角的分类标准，根据三角形的边、角特征精准归类。 【典例3】．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 跟随训练1．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 跟随训练2．已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【题型4 画三角形的高】 核心：按三角形类型（锐角/直角/钝角）确定高的位置，规范作图，标注垂直符号，钝角三角形需延长对边。 【典例4】．如图，，，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 跟随训练1．如图，在中，利用三角板（图中阴影所示）能直接画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【题型5 与三角形的高有关的计算问题】 核心：利用面积公式，找准底与高的对应关系，钝角三角形注意高的位置，统一单位。 【典例5】．如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 跟随训练1．如图，在中，是高，是中线，若，，则的面积为（    ） A．24 B．12 C．6 D．4 跟随训练2．如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 【题型6 利用网格求三角形面积】 核心：两种方法——割补法（补矩形减多余三角形）、底高法（利用网格求底和高），交叉验证。 【典例6】．如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 跟随训练1．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是1，则四边形的面积是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 跟随训练2．如图，每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形的面积如果不小于1则称三角形为“离心三角形”，而如果该三角形的面积恰好等于1则称为“环绕三角形”．A、B是网格图形中的两个格点，点C是异于这两点的另一格点，且满足是“离心三角形”，那么是“环绕三角形”的有_______个． 【题型7 根据三角形中线求长度】 核心：中线平分对边，利用“中点分对边为两段相等线段”，简单计算即可。 【典例7】．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则长为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________． 【题型8 根据三角形中线求面积】 核心：中线分三角形为两个等面积小三角形，直接利用“面积平分”结论计算。 【典例8】．如图，在中，是上的一点，，点是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练1．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 跟随训练2．如图，中，是两条中线，，则________． 【题型9 三角形角平分线的定义】 核心：角平分线平分内角（两小角相等），结合内角和定理计算，区分线段与射线。 【典例9】．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 跟随训练2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【题型10 三角形内角和定理的证明】 核心：作平行线转化三个内角为平角，推理过程规范，标注每一步依据（平行线性质、平角定义）。 【典例10】．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 跟随训练2．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【题型11 与平行线有关的三角形内角和问题】 核心：利用平行线性质（同位角/内错角相等）转化角度，结合内角和定理计算。 【典例11】．如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，已知，，，则等于_____． 【题型12 与角平分线有关的三角形内角和问题】 核心：标注角平分线分成的等角，结合内角和定理，逐步推导未知角。 【典例12】．如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，直线，，，平分，则的度数为_____． 【题型13 三角形折叠中的角度问题】 核心：抓住“折叠前后对应角相等”，设未知角，结合内角和、平角列方程求解。 【典例13】．如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在上的点处，点落在点处．若，则______．    【题型14 三角形内角和定理的应用】 核心：已知两角求第三角；或设未知数表示角的关系，列方程求所有内角。 【典例14】．在中，，这个三角形最大的内角是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，点在上，交于点．若，则的度数为______． 【题型15 直角三角形的两个锐角互余】 核心：直角三角形两锐角和为90°，已知一角求另一角，或列方程求解。 【典例15】．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边落在含角的三角尺的一条直角边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【题型16 锐角互余的三角形是直角三角形】 核心：若两锐角和为90°，直接判定为直角三角形，直角为第三个角。 【典例16】．满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 跟随训练1．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 【题型17 三角形的外角的定义及性质】 核心：识别外角，区分相邻/不相邻内角，利用“外角=不相邻两内角和”计算或比较大小。 【典例17】．如图，是的外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，，，等于（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_________ ． 【题型18 构成三角形的条件】 核心：排序线段，验证“较短两边之和>最长边”，快速判断。 【典例18】．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 跟随训练1．若一个等腰三角形的周长是8，则它的腰长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练2．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【题型19 确定第三边的取值范围】 核心：利用“两边之差<第三边<两边之和”，结合已知边计算，注意第三边为正数。 【典例19】．已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 跟随训练1．小丽用长为和的三根木棒钉成了一个三角形道具，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．有两根木棒长分别为、，要选第三根木棒与它们围成三角形，且长度为整数，则第三根木棒最长为________． 【题型20 三角形三边关系的应用】 核心：列不等式（组）求取值范围或判断，结合生活实际检验解的合理性。 【典例20】．若小华用一根长度为的铁丝围成了一个三角形，则下列长度不可能是这个三角形边长的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．小张同学要从长度分别为，，，的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒形成的三角形的周长为（   ） A．34 B．42 C．51 D．50 跟随训练2．在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【题型21 三角形的稳定性及应用】 核心：理解稳定性（形状固定），结合固定不变的场景（建筑、支架）判断应用。 【典例21】．下列图形中具有稳定性的是（　　） A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形 跟随训练1．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练2．港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【题型22 四边形的不稳定性】 核心：理解不稳定性（形状可变），结合灵活伸缩、折叠的场景判断应用。 【典例22】．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 跟随训练1．用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 05 过关•检测 1．如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 2．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4.8 C．5 D．6 3．一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则（    ）． A． B． C． D． 4．如图，为内一点，若，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地．下列关系正确的是（   ） 甲：，路程为； 乙：，路程为． A． B． C． D． 6．第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 7．已知三角形的两边长分别为2和7，第三边长为偶数，则三角形的周长为__________． 8．一副三角板如图摆放，其中与的顶点A重合，落在上，交于点F，则的度数为________． 9．一副直角三角板（含30°角的三角板和45°角的三角板）按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当时，的度数为_______°． 10．如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 11．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 12．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 13．已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 14．按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 15．已知直线，直线和直线，分别交于点C和点D，点P在直线上（点P与点C，D不重合）．点A，B分别在直线，上，且点A，B在的同侧．探究与，之间的数量关系． (1)当点P在线段上时，．请证明这个结论． (2)当点P在线段的延长线上或反向延长线上时，请直接写出与，之间的数量关系（不需要证明）． 16．综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角形 （7知识点+22题型+过关检测） 【题型1 三角形的概念相关】 6 【题型2 三角形的个数问题】 7 【题型3 三角形的分类】 8 【题型4 画三角形的高】 10 【题型5 与三角形的高有关的计算问题】 11 【题型6 利用网格求三角形面积】 13 【题型7 根据三角形中线求长度】 15 【题型8 根据三角形中线求面积】 17 【题型9 三角形角平分线的定义】 18 【题型10 三角形内角和定理的证明】 20 【题型11 与平行线有关的三角形内角和问题】 23 【题型12 与角平分线有关的三角形内角和问题】 24 【题型13 三角形折叠中的角度问题】 26 【题型14 三角形内角和定理的应用】 28 【题型15 直角三角形的两个锐角互余】 29 【题型16 锐角互余的三角形是直角三角形】 30 【题型17 三角形的外角的定义及性质】 32 【题型18 构成三角形的条件】 34 【题型19 确定第三边的取值范围】 35 【题型20 三角形三边关系的应用】 36 【题型21 三角形的稳定性及应用】 38 【题型22 四边形的不稳定性】 39 1. 理解三角形的概念，掌握三角形的边、角、顶点及相关表示方法，能准确识别三角形的各类元素，区分三角形与其他图形。 2. 掌握三角形的分类标准（按边、按角），能对不同三角形进行准确分类，理解等腰三角形、等边三角形的从属关系。 3. 熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义，能准确画出任意三角形（锐角、直角、钝角）的高，理解中线、角平分线的核心性质，会利用中线求三角形面积。 4. 掌握三角形内角和定理（180°），能完成定理的规范证明，灵活运用定理解决角度计算问题；掌握直角三角形的性质（两锐角互余）及判定定理（两锐角互余的三角形是直角三角形）。 5. 理解三角形外角的定义及性质（外角等于不相邻两内角和、外角大于任意不相邻内角），会用外角性质解决角度计算与大小比较问题。 6. 掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边），能判断三条线段能否构成三角形，准确确定第三边的取值范围，会用三边关系解决实际应用问题。 知识点1：三角形的概念03 知识•梳理 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 基本元素： · 边：组成三角形的三条线段（记为a、b、c或AB、BC、AC）； · 顶点：三条线段的公共端点（记为A、B、C）； · 角：相邻两边组成的角（内角，记为∠A、∠B、∠C），三角形有3个内角。 3. 表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。 4. 关键提醒：三条线段必须满足“不在同一直线上”且“首尾顺次相接”，缺一不可，否则无法构成三角形。 知识点2：三角形的分类 （1）按边分类 分类 定义 核心特征 不等边三角形 三条边都不相等的三角形 三边长度均不相同 等腰三角形 有两条边相等的三角形 至少两条边相等，相等的边叫腰，另一条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角 等边三角形 三条边都相等的三角形 三边相等，三个内角均为60°，是特殊的等腰三角形 （2）按角分类 分类 定义 核心特征 锐角三角形 三个内角都小于90°的三角形 三个角均为锐角（0°<每个内角<90°） 直角三角形 有一个内角等于90°的三角形 一个直角（90°），两个锐角互余；直角所对的边叫斜边，斜边最长 钝角三角形 有一个内角大于90°且小于180°的三角形 一个钝角（90°<钝角<180°），两个锐角 关键提醒：三角形分类需明确分类标准，同一三角形可按不同标准分类（如等边三角形既是等腰三角形，也是锐角三角形）；按角分类时，看“最大角”即可快速判断类型。 知识点3：三角形的高、中线、角平分线 （1）三角形的高 1. 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（简称高）。 2. 位置特征（培优重点）： · 锐角三角形：三条高都在三角形内部，且相交于一点（垂心）； · 直角三角形：两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，垂心是直角顶点； · 钝角三角形：两条高在三角形外部（需延长对边），一条高在内部，垂心在三角形外部。 3. 关键提醒：高是线段，不是直线；画钝角三角形的高时，必须延长对边，再作垂线。 （2）三角形的中线 1. 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 2. 核心性质： · 三角形的三条中线都在三角形内部，且相交于一点（重心）； · 中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高，面积相等）； · 重心分中线的比为2:1（顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的2倍，七年级暂不要求计算，了解即可）。 （3）三角形的角平分线 1. 定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 2. 核心性质： · 三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点（内心）； · 角平分线将对应的内角分成两个相等的角（如AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD）。 3. 关键提醒：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，二者本质不同，切勿混淆。 知识点4：三角形内角和定理 1. 定理内容：三角形三个内角的和等于180°（即∠A+∠B+∠C=180°）。 2. 证明思路（核心，必掌握）：通过作平行线，将三角形的三个内角转化为一个平角（180°）；或通过剪拼、折叠，将三个内角拼接成一个平角，验证定理。 3. 核心推论（培优高频）： · 推论1：直角三角形的两个锐角互余（若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则∠A+∠B=90°）； · 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形（若∠A+∠B=90°，则△ABC是直角三角形）； · 推论3：三角形的一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是直角三角形。 4. 关键提醒：内角和定理适用于所有三角形，是角度计算的核心依据；证明过程需规范，每一步推理都要有依据（如平行线性质、平角定义）。 知识点5：三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2. 基本特征：每个三角形有6个外角，每个顶点处有2个外角（互为对顶角，大小相等）；外角与相邻的内角互补（和为180°）。 3. 核心性质（培优重点，必记）： · 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（如∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD=∠A+∠B）； · 性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角（如∠ACD>∠A，∠ACD>∠B）。 知识点6：三角形三边关系 1. 基本性质（必背）： · 三角形两边之和大于第三边（如a+b>c，a+c>b，b+c>a）； · 三角形两边之差小于第三边（如|a-b|<c，|a-c|<b，|b-c|<a）。 2. 推论：判断三条线段能否构成三角形，只需验证“较短两边之和是否大于最长边”（最简方法，避免重复计算）。 3. 关键提醒：三边关系是判断线段能否构成三角形的唯一依据；求第三边取值范围时，需同时满足“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”，结果取不等式的公共部分。 知识点7：三角形的稳定性与四边形的不稳定性 1. 三角形的稳定性：三角形的三边长度确定后，其形状和大小就唯一确定，这种性质叫做三角形的稳定性。 · 应用实例：自行车车架、桥梁支架、屋顶桁架、篮球架支架等，利用稳定性加固结构。 2. 四边形的不稳定性：四边形的四边长度确定后，其形状和大小仍可改变，这种性质叫做四边形的不稳定性。 · 应用实例：伸缩门、折叠椅、活动衣架、折叠伞等，利用不稳定性实现伸缩、折叠功能。 04 题型•汇总 【题型1 三角形的概念相关】 核心：紧扣“不在同一直线、三条线段、首尾顺次相接”三个核心条件，明确三角形的基本元素与表示方法。 【典例1】．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 跟随训练1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 跟随训练2．如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 【题型2 三角形的个数问题】 核心：按一定顺序分类计数，避免重复或遗漏，遵循“有序性”原则。 【典例2】．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 跟随训练1．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 跟随训练2．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 【题型3 三角形的分类】 核心：明确按边、按角的分类标准，根据三角形的边、角特征精准归类。 【典例3】．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 跟随训练1．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 跟随训练2．已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【题型4 画三角形的高】 核心：按三角形类型（锐角/直角/钝角）确定高的位置，规范作图，标注垂直符号，钝角三角形需延长对边。 【典例4】．如图，，，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【详解】解：A、不是的高，不符合题意； B、是的高，不是的高，不符合题意； C、不是的高，不符合题意； D、是的高，符合题意； 跟随训练1．如图，在中，利用三角板（图中阴影所示）能直接画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； B、三角板的直角边有一条在直线上，且另一直角边经过点，能直接画出边上的高，故此选项符合题意； C、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； D、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； 跟随训练2．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 【题型5 与三角形的高有关的计算问题】 核心：利用面积公式，找准底与高的对应关系，钝角三角形注意高的位置，统一单位。 【典例5】．如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴， 设中边上的高为， ∵的面积为， ∴， ∴. 跟随训练1．如图，在中，是高，是中线，若，，则的面积为（    ） A．24 B．12 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式求出，再根据是中线即可求解． 【详解】解：∵在中，是高，，， ∴， ∵是中线， ∴． 跟随训练2．如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 【答案】 6 【分析】根据点到直线的距离定义，找到点到的垂线段，直接利用已知的长度得到结果； 先通过直角三角形的两条直角边计算三角形面积，再以为底、为高，结合面积相等的关系列等式求解的长度． 【详解】解：∵，垂足为， ∴点到的垂线段为， 又∵， ∴点到的距离是． ∵在中，，，， ∴． ∵，垂足为， ∴点到的距离是的长度， 此时，已知， ∴，解得， ∴点到的距离是． 【题型6 利用网格求三角形面积】 核心：两种方法——割补法（补矩形减多余三角形）、底高法（利用网格求底和高），交叉验证。 【典例6】．如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】先确定点C的位置，再求出面积即可． 【详解】解：如图，此时面积最大， ， 故选：C． 跟随训练1．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是1，则四边形的面积是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是利用网格求面积，解题的关键是熟练掌握割补法求不规则图形的面积． 利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：四边形的面积， 故选：B． 跟随训练2．如图，每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形的面积如果不小于1则称三角形为“离心三角形”，而如果该三角形的面积恰好等于1则称为“环绕三角形”．A、B是网格图形中的两个格点，点C是异于这两点的另一格点，且满足是“离心三角形”，那么是“环绕三角形”的有_______个． 【答案】5 【分析】本题考查正方形格框中三角形面积的计算．根据题意找出使面积为1的点的个数即可得到答案． 【详解】如图， 当C取的点时，的面积均为， 当C取这5个格点时，的面积均为1， 当C取这些点时，的面积大于1， ∴是“环绕三角形”的有一共有5个， 故答案为：5． 【题型7 根据三角形中线求长度】 核心：中线平分对边，利用“中点分对边为两段相等线段”，简单计算即可。 【典例7】．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 跟随训练1．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的中线的性质，三角形的高的定义，通过是的高，的面积为，求得，再由是的中线得，代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的高，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故选：． 跟随训练2．如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________． 【答案】10 【分析】首先求出，然后根据“与的周长的差是”列方程求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴ ∵，与的周长的差是， ∴ ∴，即 ∴． 【题型8 根据三角形中线求面积】 核心：中线分三角形为两个等面积小三角形，直接利用“面积平分”结论计算。 【典例8】．如图，在中，是上的一点，，点是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴． 跟随训练1．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用点、、分别为中点的条件，逐步推导的面积，进而求出阴影部分的面积 【详解】解：点为的中点， ， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， 即图中阴影部分的面积为． 跟随训练2．如图，中，是两条中线，，则________． 【答案】4 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求出的面积，再证明是的中线，可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，是中线， ∴， ∵是的中线， ∴点是的中点， ∴是的中线， ∴． 【题型9 三角形角平分线的定义】 核心：角平分线平分内角（两小角相等），结合内角和定理计算，区分线段与射线。 【典例9】．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 跟随训练1．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线和中线，根据角平分线和中线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，是角平分线，点E是的中点， ∴，，，是的中线， 故错误的是选项C； 故选C． 跟随训练2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 【题型10 三角形内角和定理的证明】 核心：作平行线转化三个内角为平角，推理过程规范，标注每一步依据（平行线性质、平角定义）。 【典例10】．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 跟随训练1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 跟随训练2．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【题型11 与平行线有关的三角形内角和问题】 核心：利用平行线性质（同位角/内错角相等）转化角度，结合内角和定理计算。 【典例11】．如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 跟随训练1．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 跟随训练2．如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【题型12 与角平分线有关的三角形内角和问题】 核心：标注角平分线分成的等角，结合内角和定理，逐步推导未知角。 【典例12】．如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出的值． 【详解】解：由题意可知：， ∵在中，、的平分线是，， ∴， ∴． 故选：B． 跟随训练1．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求得的度数，由角平分线和垂直的定义可得和的度数，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 跟随训练2．如图，直线，，，平分，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，利用平行线的性质求出 的度数，再根据三角形内角和定理即可求解 【详解】解：平分， 设与交于点， ∴． 【题型13 三角形折叠中的角度问题】 核心：抓住“折叠前后对应角相等”，设未知角，结合内角和、平角列方程求解。 【典例13】．如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠的性质和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：由折叠得，， 又， ， ， ． 跟随训练1．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 跟随训练2．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在上的点处，点落在点处．若，则______．    【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，，由折叠的性质可得，，利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴． 【题型14 三角形内角和定理的应用】 核心：已知两角求第三角；或设未知数表示角的关系，列方程求所有内角。 【典例14】．在中，，这个三角形最大的内角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和为，结合三个内角的比例关系，即可求出最大内角的度数． 【详解】解：∵，占比最大，因此是三角形最大内角， 设，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得， ∴，则这个三角形最大的内角是． 跟随训练1．如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：由题意知， 因为， 所以需要补的角的度数是． 跟随训练2．如图，点在上，交于点．若，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，得到，由垂直可得，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 【题型15 直角三角形的两个锐角互余】 核心：直角三角形两锐角和为90°，已知一角求另一角，或列方程求解。 【典例15】．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边落在含角的三角尺的一条直角边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的度数，得到的度数，由对顶角相等得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 跟随训练1．如图，中，D在的延长线上，过D作于F，交于E．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角形的外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 跟随训练2．如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】由已知结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由角平分线的定义可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型16 锐角互余的三角形是直角三角形】 核心：若两锐角和为90°，直接判定为直角三角形，直角为第三个角。 【典例16】．满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 跟随训练1．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 跟随训练2．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为， ∴第三个角是， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：，直角． 【题型17 三角形的外角的定义及性质】 核心：识别外角，区分相邻/不相邻内角，利用“外角=不相邻两内角和”计算或比较大小。 【典例17】．如图，是的外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【详解】解：是的外角， ． 跟随训练1．如图，，，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得，根据三角形的外角进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 跟随训练2．如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_________ ． 【答案】/130度 【分析】延长交于点，由对顶角相等可得，结合三角形的外角的性质可计算得．根据题意可得，则． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵横梁始终平行于， 又∵由调整得到， ∴， ∴． 【题型18 构成三角形的条件】 核心：排序线段，验证“较短两边之和>最长边”，快速判断。 【典例18】．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可， 选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项B：，∴能组成三角形，符合要求； 选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求． 跟随训练1．若一个等腰三角形的周长是8，则它的腰长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设等腰三角形腰长为x，根据周长表示出底边长，再利用三角形三边关系求出腰长的取值范围，即可判断选项． 【详解】设等腰三角形的腰长为，则底边长为． 根据三角形三边关系，得， 解第一个不等式，得． 解第二个不等式，得． 因此腰长的取值范围是． 观察选项，只有C选项在该范围内． 跟随训练2．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 【题型19 确定第三边的取值范围】 核心：利用“两边之差<第三边<两边之和”，结合已知边计算，注意第三边为正数。 【典例19】．已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 跟随训练1．小丽用长为和的三根木棒钉成了一个三角形道具，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由构成三角形的三边关系得到，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由题意可得， 在数轴上表示为． 跟随训练2．有两根木棒长分别为、，要选第三根木棒与它们围成三角形，且长度为整数，则第三根木棒最长为________． 【答案】9 【详解】解：设第三根木棒的长为，依题意，，即， ∵为整数， ∴的最大值为， 即第三根木棒最长为． 【题型20 三角形三边关系的应用】 核心：列不等式（组）求取值范围或判断，结合生活实际检验解的合理性。 【典例20】．若小华用一根长度为的铁丝围成了一个三角形，则下列长度不可能是这个三角形边长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三角形的一边长是x，另外两边的和是，根据三角形三边关系列不等式求解即可． 【详解】解：设三角形的一边长是x， ∴另外两边的和是， 则，解得：， ∴三角形边长的最大值应小于， 故选：D． 跟随训练1．小张同学要从长度分别为，，，的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒形成的三角形的周长为（   ） A．34 B．42 C．51 D．50 【答案】C 【分析】先列出从四根木棒中选取三根的所有组合，再根据三角形三边关系判断可构成三角形的组合，最后计算周长得到结果. 【详解】解：从四根木棒中选三根，共有4种不同组合： ① 组合为，，， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴ 该组合不能构成三角形. ② 组合为，， ∵，不满足三角形三边关系， ∴ 该组合不能构成三角形. ③ 组合为，， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴ 该组合可以构成三角形，周长为. ④ 组合为，， ∵，不满足三角形三边关系， ∴ 该组合不能构成三角形. 综上，只有组合③符合要求，故答案选C. 跟随训练2．在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【分析】设，，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的的长. 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 【题型21 三角形的稳定性及应用】 核心：理解稳定性（形状固定），结合固定不变的场景（建筑、支架）判断应用。 【典例21】．下列图形中具有稳定性的是（　　） A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，即可直接判断选项． 【详解】∵三角形具有稳定性，所有四边形都不具有稳定性， 选项A平行四边形、B长方形、C正方形都是四边形，都不具有稳定性，不符合题意； 只有D为三角形，具有稳定性，符合题意． 跟随训练1．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线，所以至少要钉上2根木条． 跟随训练2．港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 【题型22 四边形的不稳定性】 核心：理解不稳定性（形状可变），结合灵活伸缩、折叠的场景判断应用。 【典例22】．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【答案】B 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性， 故选：B． 跟随训练1．用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题． 根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，根据用木条钉成木架后是否得到三角形即可得出答案． 【详解】解：如图，用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是 ， 故选：D 跟随训练2．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性． 05 过关•检测 1．如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了中线定义：在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据中线定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是的中线，故A选项说法正确，不符合题意； B、是的中线，故B选项说法正确，不符合题意； C、由D，E分别是的边的中点，即，故C选项说法正确，不符合题意； D、在中，的对边是，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 2．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短、三角形的面积，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短可得当时，线段的值最小，再根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， ∴此时有， ∴此时， 即线段的最小值为． 故选：B． 3．一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可得即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴． 4．如图，为内一点，若，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，再求出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 5．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地．下列关系正确的是（   ） 甲：，路程为； 乙：，路程为． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中角度相等判断点、分别在线段、上，进而利用三角形的三边关系判断即可得解． 【详解】解：由图甲可知，，； 由图乙可知，，， 点在线段上，点在线段上．如图所示， ，， ． 又， 在中，由三角形三边关系可知：， ， 即． 6．第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性，构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：自行车支架一般都会采用的设计， 这种设计方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B． 7．已知三角形的两边长分别为2和7，第三边长为偶数，则三角形的周长为__________． 【答案】15或17 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合第三边长为偶数确定的所有可能值，最后分别计算三角形周长即可． 【详解】解：设三角形第三边长为， 根据三角形三边关系定理得， ， 第三边长为偶数， 或， 当时，三角形周长为； 当时，三角形周长为， 综上所述，三角形的周长为15或17． 8．一副三角板如图摆放，其中与的顶点A重合，落在上，交于点F，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】利用三角板已知度数确定的度数，然后利用三角形的外角与内角的关系即可求解． 【详解】根据题意可得，， ， ． 9．一副直角三角板（含30°角的三角板和45°角的三角板）按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当时，的度数为_______°． 【答案】15 【分析】证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴． 10．如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质，表示出相等的角，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 【点睛】注意角平分线的性质，角的和差，三角形内角和定理的灵活应用． 11．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 【答案】1 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，同理，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 12．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）取格点G，连接交于点E，则点E即为所求； （2）取格点F，连接，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，． 13．已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【详解】（1）解：如图1，； 如图2，； 如图3，； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 14．按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 15．已知直线，直线和直线，分别交于点C和点D，点P在直线上（点P与点C，D不重合）．点A，B分别在直线，上，且点A，B在的同侧．探究与，之间的数量关系． (1)当点P在线段上时，．请证明这个结论． (2)当点P在线段的延长线上或反向延长线上时，请直接写出与，之间的数量关系（不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，． 【分析】（1）延长交于H，根据平行线的性质以及三角形外角的性质即可解决问题． （2）当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，，证明方法类似． 【详解】（1）解：如图，延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：当点P在延长线上时，如图， 设与交于点， ∵， ∴， 又， ∴； 当点P在延长线上时，如图：设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 【答案】(1)前进小组的结论不成立，理由见解析 (2)的大小不发生变化且始终为． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据三角形的外角性质可得，根据角的平分线定义可得，；推得；根据三角形的外角性质可得，推得，即可求解． 【详解】（1）解：前进小组的结论不成立，理由如下， ∵点P是两外角平分线的交点， ∴ ， 在中，； （2）解：的大小保持不变．理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 即， 又∵， ∴， 故的大小不发生变化且始终为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $