八年级数学下学期5月学情自测卷（新教材人教版第十九章～第二十三章，高效培优）

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级下册第十九章~第二十三章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．二次根式的值为（ ） A．4 B．2 C． D． 2．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则它的斜边长为（ ） A． B．12 C．13 D．13或 4．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点的周长为的长为，那么对角线的和为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，分别是和的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形为菱形的是（ ） A． B． C． D．是的平分线 7．函数中，自变量的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D．且 8．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 11．如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（ ） A． B． C． D． 12．如图，已知长方形，动点从点处出发沿的路径向终点运动，设动点的运动路程为的面积为，图2反映了与之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．当时，或 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算：__________． 14．如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 15．如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 16．一次函数的图象过点，且与y轴交于点B，的面积是2，则这个一次函数的表达式为________． 17．如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为_______． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，点P是直线上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点Q的坐标为______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（4分）计算：． 20．（8分）如图，在中，点E在边上，连接． (1)利用尺规作图，在边求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，证明：四边形为菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴______________________，． ∵， ∴（）． ∴，______________________． ∵， ∴， ∴______________________ ∵， ∴四边形是平行四边形（______________________）．（填推理依据） ∵， ∴四边形是菱形（______________________）．（填推理依据） 21．（6分）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 22．（10分）数学课上，老师引导同学们用三角板探究四边形的判定和性质，老师先将两个全等的三角板和在同一平面内按如图所示的位置摆放．保持点A，，，在同一直线上，三角板可以沿直线平移（点，不重合）．已知，，，连接和． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)移动三角板的过程中，当点和点重合时，求证：四边形是菱形； (3)当四边形是矩形时，其周长是多少？ 23．（10分）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口． (1)学校门口到学校操场的距离为______米； (2)当乙追上甲时，求的值； (3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式． 24．（10分）拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 25．（12分）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，的长度为10？ (3)在P、Q运动过程中，四边形是有没有可能是菱形？若可能，求出t的值，若不可能，请明理由． 26．（12分）如图，为等腰三角形，，延长到点，使得，连接，点、分别为、中点，连接． (1)如图1，若，请你求出的度数； (2)如图2，过点作于，延长、交于点，求证：； (3)如图3，若点、分别为直线、直线上的动点，点为中点，连接、、，在（1）问的条件下，若，请直接写出的最小值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级下册第十九章~第二十三章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．二次根式的值为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次根式有意义，则， 解得：． 3．一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则它的斜边长为（ ） A． B．12 C．13 D．13或 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得，它的斜边长为：． 4．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、最长边为，，能组成直角三角形； B、最长边为，，，，，不能组成直角三角形； C、最长边为，，能组成直角三角形； D、最长边为，，能组成直角三角形． 5．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点的周长为的长为，那么对角线的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 6．如图，在中，分别是和的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形为菱形的是（ ） A． B． C． D．是的平分线 【答案】C 【详解】根据平行四边形性质推出，，，，求出，证明，推出，求出，得出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可． 7．函数中，自变量的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】解：∵要使函数有意义，需同时满足二次根式和分式的要求， ∴ ∴且． 8．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，经过二、四象限，经过一、二、三象限，A选项符合；当时，经过一、三象限，经过一、三、四象限，无符合的选项； 故选：A． 9．已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，，A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 10．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 11．如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 12．如图，已知长方形，动点从点处出发沿的路径向终点运动，设动点的运动路程为的面积为，图2反映了与之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．当时，或 【答案】B 【详解】解：由图2可知，当时，点P运动到点B， 当时，点P运动到点C， 当时，点P运动到点D， ∴ 由长方形对边相等可得，， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论错误，符合题意； 如图1所示，连接， 在中，由勾股定理得，故C结论正确，不符合题意； 当时，点P在上运动，则，当时，； 当时，点P在上运动，则，此时不满足； 当时，点P在上运动，则， 当时，； 综上所述，当时，或，故D结论正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．计算：__________． 【答案】 【详解】 故答案为：． 14．如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 【答案】/厘米 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的长度最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的长度最小为． 15．如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 【答案】/平方厘米 【详解】解：由题意可知，两条长方形纸条的对边分别平行 ， 四边形是平行四边形，过点作于点，作于点 由题意得，纸条宽度相等，即 平行四边形是菱形 在中，，， 四边形的面积为 ． 16．一次函数的图象过点，且与y轴交于点B，的面积是2，则这个一次函数的表达式为________． 【答案】或． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴的交点是， ∴， 即， ∴，， 将，分别代入， 得，， ∴一次函数的表达式是或． 17．如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，点P是直线上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点Q的坐标为______． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ，且， ，， 点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 设，则， 点在直线上， ， 解得， 点在直线上运动， ， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的坐标为． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（4分）计算： 【详解】解：原式 （2分） （3分） ． （4分） 20．（8分）如图，在中，点E在边上，连接． (1)利用尺规作图，在边求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，证明：四边形为菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴______________________，． ∵， ∴（）． ∴，______________________． ∵， ∴， ∴______________________ ∵， ∴四边形是平行四边形（______________________）．（填推理依据） ∵， ∴四边形是菱形（______________________）．（填推理依据） 【详解】（1）解：如图点F即为所求；（3分） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． （4分） ∵， ∴（）． ∴，． （5分） ∵， ∴， ∴， （6分） ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． （7分） ∵， ∴四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． （8分） 21．（6分）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 【详解】解：如图所示： （2分） 由题意可知，，， ∴， （3分） ∵，， （4分） ∴， （5分） ∴小明的平均速度为， 答：小明骑车的平均速度为． （6分） 22．（10分）数学课上，老师引导同学们用三角板探究四边形的判定和性质，老师先将两个全等的三角板和在同一平面内按如图所示的位置摆放．保持点A，，，在同一直线上，三角板可以沿直线平移（点，不重合）．已知，，，连接和． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)移动三角板的过程中，当点和点重合时，求证：四边形是菱形； (3)当四边形是矩形时，其周长是多少？ 【详解】(1)：证明：∵三角板和是两个全等的三角板， ∴， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3分） (2)：证明：由（1）知，四边形为平行四边形． 当点和点重合时， ∴， 四边形为菱形． （5分） (3)：解：如图，当四边形为矩形时，． ， 在中，，，设，则． 由勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去），． （7分） ∵ ，，， ∴，∴ 在中，设，则． （8分） 由勾股定理，得， 即，解得（负值舍去）， ∴， （9分） 矩形的周长为． （10分） 23．（10分）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口． (1)学校门口到学校操场的距离为______米； (2)当乙追上甲时，求的值； (3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式． 【详解】（1）解：∵甲从学校门口到图书馆的路程为1500米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， ∴学校门口和操场的距离为：（米）； （2分） （2）解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， （3分） 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴， 由题意，， （4分） 解得：， 故当乙追上甲时，x的值为20； （5分） （3）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟，乙骑车的速度为米/分钟， ∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， （7分） 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ， （8分） 解得： ∴． （10分） 24．（10分）拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， 依题意，得：，解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （3分） （2）（辆）（人），（辆）， 租车总辆数为8辆．故答案为8． （5分） （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ， 共有4种租车方案． （7分） 设租车总费用为元，则， ，的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为2720． 最少租车费用是2720元． （10分） 25．（12分）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，的长度为10？ (3)在P、Q运动过程中，四边形是有没有可能是菱形？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意可知，点的速度为，点的速度为， ， 点到达点需要，点到达点需要，且其中一个到达端点即停止， ， （2分） 若四边形是平行四边形，则， ， 解得； （3分） （2）解：过点作于点， 则， 在中，， ， （4分） ， ， ， 当时，； （5分） 当，； （6分） 和都在范围内， 答：当为或时，的长度为； （7分） （3）解：四边形不可能是菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足， ， ， 此时， （9分） 过点作于点，则，， 在中，， （11分） ，即， 故四边形不可能是菱形． （12分） 26．（12分）如图，为等腰三角形，，延长到点，使得，连接，点、分别为、中点，连接． (1)如图1，若，请你求出的度数； (2)如图2，过点作于，延长、交于点，求证：； (3)如图3，若点、分别为直线、直线上的动点，点为中点，连接、、，在（1）问的条件下，若，请直接写出的最小值． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， （2分） 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3分） （2）解：如图，连接，在上取点，使，连接， （4分） ∵，为中点， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （6分） ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，； （8分） （3）解：如图，延长到点，使得，连接，，， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∵点为中点，为中点， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， （10分） 由两点之间线段最短，可知当、、、四点共线时取得最小值， ∴的最小值为， （11分） 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． （12分） 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C B D C B A C B C B 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．13． 14./厘米 15．/平方厘米 16．或 17． 18． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（4分） 【详解】解：原式 （2分） （3分） ． （4分） 20．（8分） 【详解】（1）解：如图点F即为所求；（3分） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． （4分） ∵， ∴（）． ∴，． （5分） ∵， ∴， ∴， （6分） ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． （7分） ∵， ∴四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． （8分） 21．（6分） 【详解】解：如图所示： （2分） 由题意可知，，， ∴， （3分） ∵，， （4分） ∴， （5分） ∴小明的平均速度为， 答：小明骑车的平均速度为． （6分） 22．（10分） 【详解】(1)：证明：∵三角板和是两个全等的三角板， ∴， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3分） (2)：证明：由（1）知，四边形为平行四边形． 当点和点重合时， ∴， 四边形为菱形． （5分） (3)：解：如图，当四边形为矩形时，． ， 在中，，，设，则． 由勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去），． （7分） ∵ ，，， ∴，∴ 在中，设，则． （8分） 由勾股定理，得， 即，解得（负值舍去）， ∴， （9分） 矩形的周长为． （10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：∵甲从学校门口到图书馆的路程为1500米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， ∴学校门口和操场的距离为：（米）； （2分） （2）解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， （3分） 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴， 由题意，， （4分） 解得：， 故当乙追上甲时，x的值为20； （5分） （3）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟，乙骑车的速度为米/分钟， ∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， （7分） 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ， （8分） 解得： ∴． （10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， 依题意，得：，解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （3分） （2）（辆）（人），（辆）， 租车总辆数为8辆．故答案为8． （5分） （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ， 共有4种租车方案． （7分） 设租车总费用为元，则， ，的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为2720． 最少租车费用是2720元． （10分） 25．（12分） 【详解】（1）解：由题意可知，点的速度为，点的速度为， ， 点到达点需要，点到达点需要，且其中一个到达端点即停止， ， （2分） 若四边形是平行四边形，则， ， 解得； （3分） （2）解：过点作于点， 则， 在中，， ， （4分） ， ， ， 当时，； （5分） 当，； （6分） 和都在范围内， 答：当为或时，的长度为； （7分） （3）解：四边形不可能是菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足， ， ， 此时， （9分） 过点作于点，则，， 在中，， （11分） ，即， 故四边形不可能是菱形． （12分） 26．（12分） 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， （2分） 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3分） （2）解：如图，连接，在上取点，使，连接， （4分） ∵，为中点， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （6分） ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，； （8分） （3）解：如图，延长到点，使得，连接，，， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∵点为中点，为中点， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， （10分） 由两点之间线段最短，可知当、、、四点共线时取得最小值， ∴的最小值为， （11分） 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． （12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $