山西忻州市第一中学校2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题

高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 布 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 r 腳 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3,选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 长 上作答；宇体工整，笔迹清楚。 瓷 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数X; ②某森林树木的高度在(0,50]（单位：m)这一范围内变化，测得某一树木的高度X; ③某人射击2次，击中目标的环数之和X.其中离散型随机变量有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.设随机变量X服从正态分布N(100,d2),若P(X<80)=0.1,则P(X<120)= 叩 A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.9 3.若随机变量的分布如下表： -2 -1 1 2 3 0.2 0.1 2m 0.25 m 地 则P(||<2)的值为 A.0.3 B.0.4 C.0.55 D.0.85 4.甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知 甘 每局比赛甲获胜的概率为3，则甲第一局获胜并最终以4：1获胜的概率为 2 A. B品 c品 D. 【高二数学第1页（共4页）】 SX 5.如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有 公共边)不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法 共有 A C D A.12种 B.24种 C.48种 D.84种 6.已知a(1十x)3十(1-x)=a十a1x+…十a6x6,且a1十a3十a5=0,则a等于 A.8 B.0 C.4 D.-8 7.若函数f(x)=x2一ax十lnx在区间(1，e)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.（-∞，2√2] B.(-∞，3] C.[3,e2+1] D.(-∞，e2+1] 8.已知随机变量X满足两点分布，且P(X=1)=a,则“E(X)=号”是“D(X)=名”的 3 9 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一 排，则 A.不同的坐法有720种 B.若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种 C.若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种 D.若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种 椭圆C:文+之1的左右焦点分别为F,P,上顶点为A,直线AF,与C的另- 点为B,若∠FAF=号，则 A.C的短轴长为√3 B.C的焦距为2 C.△ABF2的周长为8 D.C的离心率为 11.某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机 会，已知顾客第一次抽奖的中奖概率为子，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽 奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为子记顾客第加次抽奖的中奖 概率为Pm,则 AR=贵 B某顾客消费20元，则其中奖概率为员 C,P,的最大值为号 D.当n≥2时，n越大，Pn越小 【高二数学第2页（共4页）】 SX 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四 部电影中任选一部，则不同的选法有 种. 13.在直三棱柱ABC-A1B,C1中，已知AB=AC=3,BC=BB1=2,则异面直线AB与B,C所 成角的余弦值为 14.已知随机事件A,B互相独立，且满足P(AUB)=是，P(A1B)=号，则P(E1A)一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 在(2+是)” 的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为2：1. (1)求n的值； (2)求展开式中含x的项的二项式系数， 16.(本小题满分15分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sm,且3a2十a4=16,S=25. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设6，=。1一，求数列(6.}的前n项和T an·an+1 17.(本小题满分15分) 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒，某医学研究小组为了解 20一30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段 的年轻人进行了随机抽样，得到如下2×2列联表， 健康状况 性别 感冒 不感冒 男 8 14 女 24 (1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取 3人访谈，记参与访谈的男性人数为X,求X的分布列和期望E(X)； (2)依上表，依据小概率值α=0.05的x2独立性检验，分析20一30岁年轻人的体质健康与 性别是否有关？ n (ad-bc)2 参考数据：参考公式：X=(a十b(c+(aF6十d,其中n=a+b+c+d, 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 工。 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【高二数学 第3页（共4页）】 SX 18.(本小题满分17分) 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长.该工 坊为了科学规划生产，统计了2021一2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 兵 年份代码x(x=t一2020) 1 2 3 4 5 销量y/万把 7 10 1 14 (1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并 预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把； 帐 (2)已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从 2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量X的分布列. 2(x,-元)(y-y 附：y=6x十a为回归直线方程，b= -,a=y-bx. 2(x,- 加 19.(本小题满分17分) 涨 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者 成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为 0.4).闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种 优惠券可叠加使用抵扣支付金额.已知消费者闯过第一关的概率为，，闯过第二关的概率 为p.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的 30%,进阶券面额的50%. (1)若。=0.8，p=0.5,记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X(单位：元)，求X的 分布列和数学期望E(X); (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为r(p)=0.2十 0.4p十0.2p2,记生产商销售一件该商品的期望利润为f(p)(单位：元). 附：期望利润=购买概率×（支付金额的期望一商品成本）一优惠券成本的期望. (i)求f(p)关于p的函数表达式； (i)证明：f(p)在[0,1]内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润f()最 脚 大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 些 【高二数学第4页（共4页）】 SX高二数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 答案 c D B A c A 题号 7 8 9 10 11 答案 B A AB BC AC 1.C【解析】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的，故均为离散型随机 变量，而②中的随机变量可以取(0,50]内的任意值，无法一一列举，故它不是离散型随机变量.故选C 2.D【解析】随机变量X服从正态分布N(100,g2),P(X<80)=0.1,∴.P(X>120)=0.1,P(X<120)= 1-P(X>120)=0.9. 3.B【解析】，0.2十0.1+2m十0.25十m=1,解得m=0.15;∴.P(|<2)=P(=-1)+P(=1)=0.1+ 2m=0.1+2×0.15=0.4,故选B. 4.A【解析】甲第一局获胜并最终以4：1获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输 掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为：(1-)×（号）广=品故选A 5.C【解析】由条件可知，可以分成只有A和D颜色相同，及只有B和C颜色相同两种情况，若只有A和D 颜色相同，则有CCC2=24种方法，只有B和C颜色相同，也有24种方法，所以一共有24×2=48种方法. 故选C. 6.A【解析】令x=1,则a(1+1)3+(1-1)6=8a=a+a十…+a6,令x=-1,则a(1-1)3+(1+1)°= 64=ao一a1十a2一ag十a4-a5十a6,作差可得8a-64=2(a1十ag十a)=0→a=8.故选A. 7.B【解析】由题意知了()=2x-a十子因为函数f(x)在x∈(1，e)上单调递增，所以了()=2x一a十 ≥0恒成立，即a≤2x+1在区间1心)上恒成立.令g()=2x+上x∈1.e).则g()=2- 以a≤3.故选B. 8.A【解折】当E(X0)=号时得a=号则P(X=0)=3,DX0=(号）广×号+（兮）广x号=号充分性成 立：反之.D(X)=(0-a2(1-a)+(1-a)a=号，即d-a+号=0，解得a=号或a=号必要性不成立.故 选A. 9.AB【解析】对于A中，不同的坐法有A=6×5×4×3×2×1=720种，所以A正确； 对于B中，若小明和小强要一起坐，则不同的坐法有2A=2×5×4×3×2×1=240种，所以B正确； 对于C中，若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有AA=4×3×2×1×5×4=480种，所以C错误； 对于D中，若小明在小强的左边，则不同的坐法有号-360种，所以D错误.故选AB 10.BC【解析】由图知，AF=AF,=a,因∠FAP,=受，则△AF,F是正三角形，又FF:=2c,则 4=2,故椭圆的离心率为e={=号，故D错误； 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 SX 由椭圆C:十兰1可得心m+1,6=m,则C=G一=1，由a=2c可得m+1=4,解得m三3， 椭圆C的短轴长为2b=2√3，故A错误： 焦距为2c=2,故B正确；△ABF2的周长为4a=8,故C正确.故选BC. F O 1AC【解桥】对于A:由题春可得B,=之1-P+号P:=分一吉P所以B=专名B=号 日×}品A正确： 对于B,第一次未中奖的概率为1一}-冬，在第一次未中奖的条件下.第二次也未中奖的概率为1一号-号，因 此，两次均未中奖的概率为子×合-令，由对立事件的概率可得其中奖概率为：1一令-号，B错误： 对于C:由卫=号-言P得卫.-号-(P-号)所以{卫.-号}是等比数列，首项为P-号 7 }-号=录公比为言所以卫=多-(-)当u为奇数时P,=号(》<告：当 为偶数时卫，=号+多（行）》厂随u增大面减小，当m=2时取得最大值是，综上，卫，的最大值为是，C 正确； 对于D:当n为奇数时，P。= -器（合）》<，随u的增大而增大：当n为偶数时P.=号十 易（合）厂随n啦大而减小，D错误：故选AC 12.64【解析】由题意每个人都有4种选法，故不同的选法有43=64种. 13.号【解析】作ADLBC,因为AB=AC=3,所以D是BC的中点，过D作DD,/B,由直三棱挂性质得 DD⊥面ABC,如图，作出符合题意的图形，以D为原点建立空间直角坐标系， 因为BC=BB,=2,所以BD=CD=1,由勾股定理得AD=2√2，则A(2√2,0,0)，B(0,-1,0), B1(0,-1,2),C(0,1,0),可得AB=(-2√2，-1,0)，B1C=(0,2,-2),设异面直线AB与B1C所成角为0， 则cos0= Ai·B,CL22 AB·BC13X226 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 SX 14.S【解析】因为A,B互相独立，所以P(AB)=P(A)=号，又因为P(AUB)=P(A)十P(B)- PAnB=是，把PA)-号代入可得：号+PB)-号PB)=,放P(B)-6P(B)=1-P(B)- 由A,B相互狼立.得PBA=P(B)= 15.解：(1)，第4项的二项式系数为C,第3项的二项式系数为C. 又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为2：1， ………+…4………+…………………………4…4……………4…4…+……………小……… (3分) n·(n-1)·(n-2) 3×2X1 2 n·(n-1) =8，故n的值为8。 (7分) 2×1 (2)因T+1=C8·(2x)8-r· 3 =Cg·28-·3·x8-- (9分) 由8了=4解得7=3，………… (11分) 故展开式中含x的项的二项式系数为C=56.……(13分) 16.解：(1)设等差数列{a.}的首项为a1,公差为d, 3(a1+d)+a1+3d=16 则 /a1=1 5a+54=25 ,解得 ………………………………………(6分) d=2 因此通项公式为an=2n一1.… (7分) 1 (2)将an=2n-1代人b.= ………………………(11分) a·a+ 裂项得6=号(2二2十) 所以T-(1-3+日-专++）=(1-n) 2n+1 即T.=2n十 ………(15分) 17.解：(1)样本中感冒的男性有8人，女性有4人，比例为2：1，按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，则抽 取男性4人，女性2人，随机变量X的所有取值为1,2,3，……(1分) P(X-1)-CC-1 …………(3分）) P(X=2)= C=3 C 5 (5分) P(X=3)= (7分) 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 5 5 所以EX0=1X号+2号+3X=2. 44 (8分) (2)提出零假设H:20一30岁年轻人的体质健康与性别无关， 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 SX 根据列联表中的数据，得到×=50X8×244×14)2 12×38×22×28 ≈3,29，…(12分) 因为3.293.841，不能拒绝零假设H。, 所以没有95%的把握认为20一30岁年轻人的体质健康与性别有关. (15分) 18.解：0)7=1+2+3+4+5=3，y=7+8+10+1+14=10. 5 (2分) 5 2(xy,)=1×7+2X8+3X10+4×11+5×14=167,… (3分) = x2=12+22十32+42+52=55，…… (4分) =1 (x,-x)(y-) 6=1 2(xy)-5××y_167-5×3X10=1.7, i= (6分) (x-x)” 2x-5X(x)2 55-5×37 =1 =1 a=y-ix=10-1.7×3=4.9, 所以y关于x的线性回归方程为y=1.7x十4.9；… (7分) 当=1.7x+4.9>20>号≈89 所以预测该工坊油纸伞的销量最早在2029年能超过20万把. (8分) (2)该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率， 所以2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为8=，……………………… (9分) 由题意可知：X~B(3,号)） (10分) 所以Px=0)=C()广(1-号)广'=15 PX=D=c()'(1-)广= …(13分) P(X=2)=c()'(1-)=酷 px=3)=c(）'(1-)=器 7 (16分) 所以其中线上售出数量X的分布列为： X 0 1 2 3 心 8 36 54 27 125 125 125 125 ……………………………………………………………(们7分) 19.解：(1)实际支付金额的所有可能取值为60,70,80,90,100， P(X=100)=1-=0.2, …… (1分) P(X=90)=p(1-)·0.6=0.8×0.5×0.6=0.24, P(X=80)=p0(1-p)·0.4=0.8X0.5X0.4=0.16,……… (2分) P(X=70)=pp·0.6=0.8×0.5×0.6=0.24, P(X=60)=pap·0.4=0.8×0.5×0.4=0.16, 4”4444444444 (3分) X的分布列为： X 60 70 80 90 100 P 0.16 0.24 0.16 0.24 0.2 【高二数学参考答案 第4页（共5页）】 SX E(X)=60X0.16+70×0.24+80×0.16+90×0.24+100X0.2=80.8.……(4分) (2)()已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：E(X)=100-(10×0.6+20×0.4十20p)=86-20p,………………(5分) E(X)一商品成本=(86-20p)一41=45-20p,…(6分) 优惠券成本期望：基础券成本=(10×0.6+20×0.4)×30%=4.2， 进阶券成本=20p×50%=10p, 总成本期望=4.2十10巾，……………(9分) 购买概率r(p)=0.2十0.4p十0.2p2, 代入公式：f()=r(p)(45-20p)-(4.2+10p)=(0.2+0.4p+0.2p2)(45-20p)-4.2-10p =-4p3十p2十4p十4.8(0≤p≤1).…(11分) (ii)对f(p)求导得：f(p)=-12p+2p+4, 令了(p)=0,整理得60-p一2=0，解得根为p=号p=一（会去，不在[0,1内） 当p∈[0，号)时(p)>0fp)单调递增， 当p∈（号，1时f(p）0,f(p)单调递减；…（(14分） 因此f(p)在[0,1]内存在唯一极大值点b=号，且该点为最大值点， 所以最大期望利润：（号）=-4X(号）十（号）十4×号十4.86.7 (17分) 【高二数学参考答案第5页（共5页）】 SX