专题02 概率中必考六类经典问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题02 概率中必考六类经典问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 古典概型】 2 【类型2 利用互斥事件的概率公式求概率】 4 【类型3 利用对立事件的概率公式求概率】 5 【类型4 独立事件的乘法公式 】 6 【类型5 频率估计概率】 8 【类型6 概率综合】 10 知识点1 概率 1．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 2．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 3．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 4．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 知识点2 频率与概率 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 【方法技巧与总结】 1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=∅，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0. 【类型1 古典概型】 1．（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 5．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求该样本的第80百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在和内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率. 【类型2 利用互斥事件的概率公式求概率】 7．（24-25高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 8．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 9．（24-25高一下·山西吕梁·期末）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7 10．（24-25高二上·上海宝山·月考）已知事件与事件互斥，如果，，那么__________. 11．（24-25高一下·全国·单元测试）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 12．（24-25高一下·河南周口·月考）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，则： (1)恰有1罐中奖的概率为多少？ (2)能中奖的概率为多少？ 【类型3 利用对立事件的概率公式求概率】 13．（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 14．（24-25高一下·安徽·期末）已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·山东潍坊·月考）某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.9 16．（24-25高一下·江西景德镇·期中）口袋中装有一些白球、黑球和红球，其中它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.4，摸出黑球的概率为0.3，则摸出红球的概率为_________． 17．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 18．（24-25高一下·云南红河·期中）某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 【类型4 独立事件的乘法公式 】 19．（24-25高一下·河南许昌·期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·山东枣庄·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（ ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期末）已知事件和事件相互独立，，则_________． 23．（24-25高一下·甘肃定西·期末）甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 24．（24-25高一下·天津河西·期末）11分制乒乓球比赛规则如下：在每一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每一球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一局11分制的乒乓球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果互不影响，且本局开始由甲率先发球. (1)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (2)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (3)双方比分为，求再打4个球后甲获得比赛胜利的概率. 【类型5 频率估计概率】 25．（2025高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 26．（2025高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 27．（2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 28．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是__________． 29．（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 30．（25-26高二上·广东江门·月考）树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成绩频率分布直方图如图： (1)从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率； (2)如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于分的概率； (3)根据频率分布直方图，分别从中位数和平均数的角度，比较，两个校区的物理成绩． 【类型6 概率综合】 31．（24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高二下·吉林长春·期末）如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）甲袋中有20个红球，10个白球；乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，则2个球中恰有1个红球的概率为__________． 35．（25-26高二上·福建泉州·期中）2025年8月21日、在官方公众号发文称，正式发布模型，此次平级也标志若国产大模型在技术选代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司部门有4位领导，部门有2位领导，需要从这6位领导中随机选取2位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求两位组长都来自于部门的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 36．（25-26高二上·四川眉山·月考）在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.5，张志答对每道题的概率都是0.6，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． (1)求李明第二次答题通过面试的概率； (2)求张志通过面试的概率； (3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 概率中必考六类经典问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 古典概型】 2 【类型2 利用互斥事件的概率公式求概率】 6 【类型3 利用对立事件的概率公式求概率】 9 【类型4 独立事件的乘法公式 】 12 【类型5 频率估计概率】 15 【类型6 概率综合】 19 知识点1 概率 1．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 2．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 3．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 4．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 知识点2 频率与概率 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 【方法技巧与总结】 1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=∅，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0. 【类型1 古典概型】 1．（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得. 【解答过程】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为： ，共10个样本点， 其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个. 所以数字之和是偶数的概率为. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为，列举出所有情况，和至少有一个在八月的情况，从而求出概率. 【解答过程】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为， 4个节气中任选2个节气，有以下情况，， 共6种情况， 其中这2个节气至少有一个在八月的情况有， 共5种情况，所以这2个节气至少有一个在八月的概率为. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【解答过程】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·黑龙江·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 【答案】 【解题思路】根据已知确定所有可能情况，再列举出的对应情况，应用古典概型的概率求法求概率. 【解答过程】由题设，所有可能的有序数对共有个， 而的情况有 ，共有16个， 所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可； （3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率. 【解答过程】（1）由图知，可得； （2）由图，， ， 所以； （3）由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自， 令中4人为，中2人为， 所以，6人任意抽取2人有，共15种， 其中2人来自同一区间有，共7种， 所以这2人的成绩在同一区间内的概率为. 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求该样本的第80百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在和内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率. 【答案】(1)84分 (2)71分 (3) 【解题思路】（1）应用百分位数的求法求样本的第80百分位数； （2）根据直方图平均数的求法求平均分； （3）应用分层抽样等比例性质确定各组抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率即可. 【解答过程】（1）由图知， 则该样本的第80百分位数在区间内，设为， 所以，可得分； （2）由，可得， 所以样本平均分分； （3）由（2）及题设，6名同学分别来自和有2名、4名， 设的2名为，的4名为， 所以任意抽取2人的基本事件有，共15种， 其中两组各抽一名有，共8种， 所以所求概率为. 【类型2 利用互斥事件的概率公式求概率】 7．（24-25高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【解答过程】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 8．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【解题思路】根据，互斥，，求解即可. 【解答过程】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 9．（24-25高一下·山西吕梁·期末）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【解题思路】将甲不输棋的事件进行分拆，再利用互斥事件概率的加法公式即可得解. 【解答过程】甲不输棋的事件A是甲胜乙的事件B与甲乙下成平局的事件C的和，显然B，C互斥， 而，又，于是得， 所以甲胜的概率是0.2. 故选：A. 10．（24-25高二上·上海宝山·月考）已知事件与事件互斥，如果，，那么__________. 【答案】 【解题思路】根据互斥得到，计算，得到答案. 【解答过程】事件与事件互斥，则，， 故. 故答案为：. 11．（24-25高一下·全国·单元测试）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 【答案】(1)0.64 (2)0.36 【解题思路】（1）（2）列出符合要求的事件，利用互斥事件的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）对任意一人，其血型为的事件分别记为，，，，由已知得，，，， 因为型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． （2）由于型血不能输给型血的人， 则“任找一人，其血不能输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． 12．（24-25高一下·河南周口·月考）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，则： (1)恰有1罐中奖的概率为多少？ (2)能中奖的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）“恰有1罐中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖；（2）“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况；如果设A=“中奖”，B=“恰有一罐中奖”，=“第一罐中奖”，=“第二罐中奖”，通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题. 【解答过程】（1）设事件A=“中奖”，事件B=“恰有一罐中奖”， 事件=“第一罐中奖”，事件=“第二罐中奖”， 那么事件=“两罐都中奖”，=“第一罐中奖，第二罐不中奖”， =“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且， 因为互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 ， 我们借助树状图来求相应事件的样本点数， 可以得到，样本空间包含的样本点个数为， 且每个样本点都是等可能的，因为，所以 ， 故恰有1罐中奖的概率为； （2）因为两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 ，由（1）可知样本空间包含的样本点个数为，, 所以, 故能中奖的概率为. 【类型3 利用对立事件的概率公式求概率】 13．（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 【答案】C 【解题思路】根据已知条件结合对立事件概率公式计算求解. 【解答过程】第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分， 那么小王此次考核得分低于10分的概率是， 则小王此次考核得分不低于10分的概率是. 故选：C. 14．（24-25高一下·安徽·期末）已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及概率的基本性质求解. 【解答过程】由，得， 又，则，而， 所以. 故选：A. 15．（25-26高一下·山东潍坊·月考）某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.9 【答案】A 【解题思路】由题意可知一次射击中不够8环与射中10环或9环或8环是对立事件，利用对立事件的概率公式求解即可 【解答过程】解：因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1. 所以在一次射击中不够8环的概率为， 故选：A. 16．（24-25高一下·江西景德镇·期中）口袋中装有一些白球、黑球和红球，其中它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.4，摸出黑球的概率为0.3，则摸出红球的概率为_________． 【答案】0.3 【解题思路】根据摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件，求解概率. 【解答过程】根据题意，摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件， 所以其概率为. 故答案为：0.3. 17．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）使用列举法，结合古典概型概率公式可得； （2）先求2个小球上标号相同的概率，然后由对立事件的概率关系可得. 【解答过程】（1）分别记6个小球为，从中任取3个小球有： ，共20种. 3个小球上标号均不相同的有： 共8种， 所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为. （2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法. 2个小球上标号相同的取法有： 共12种取法， 所以2个小球上标号相同的概率为， 所以取出的2个小球上标号不相同的概率. 18．（24-25高一下·云南红河·期中）某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）由互斥事件的和事件的概率公式的计算可得结果； （2）由对立事件的概率公式的计算可得结果； （3）由互斥事件的和事件的概率公式和对立事件的概率公式的计算可判定结论. 【解答过程】（1）记“他乘火车去”为事件，“他乘轮船去”为事件，“他乘汽车去”为事件，“他乘飞机去”为事件，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥， 故，即他乘火车或乘飞机去的概率为. （2）设他不乘轮船去的概率为P， 则. （3）由于， 故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 【类型4 独立事件的乘法公式 】 19．（24-25高一下·河南许昌·期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据甲投次或乙投次或丙投次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【解答过程】第4次是丙投篮，可能有： ①甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ②甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ③甲投次，乙投次，丙连投次， 概率为. 综上所述，第4次是丙投篮的概率为. 故选：C. 20．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用相互独立事件的概率公式，即可求解. 【解答过程】因为事件A，B是相互独立事件，所以事件也是相互独立事件， 又 ，所以 ， 故. 故选：A. 21．（24-25高一下·山东枣庄·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由在一轮活动中，两人全答对，在另一轮活动中，只有一个人答对的情况下利用独立事件的乘法公式可得. 【解答过程】由题意可得在一轮活动中，两人全答对，在另一轮活动中，只有一个人答对， 所以其概率为. 故选：A. 22．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期末）已知事件和事件相互独立，，则_________． 【答案】 【解题思路】利用相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【解答过程】因为， 所以. 故答案为：. 23．（24-25高一下·甘肃定西·期末）甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，根据独立事件概率公式，求出结果； （2）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； （3）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； 【解答过程】（1）设事件表示甲发球甲获胜，事件表示乙发球甲获胜； 事件表示甲发球乙获胜，事件表示乙发球乙获胜； 可知. 则第二局比赛结束后乙获胜，即； （2）第四局比赛结束后甲获胜，则第四局一定是甲获胜，前三局甲胜2局，乙胜1局， 则事件概率为； （3）第六局比赛结束后甲获胜，则第六局一定是甲获胜，前面五局中甲获胜3句，乙获胜2局，则事件概率为 ； 则第六局比赛结束后甲获胜的概率为. 24．（24-25高一下·天津河西·期末）11分制乒乓球比赛规则如下：在每一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每一球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一局11分制的乒乓球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果互不影响，且本局开始由甲率先发球. (1)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (2)双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； (3)双方比分为，求再打4个球后甲获得比赛胜利的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）分析可知甲连得2分，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解，注意发球人； （2）分析可知甲连得2分，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解，注意发球人； （3）分析可知第一、二球甲输赢各一个，第三、四球均为甲赢，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解，注意发球人. 【解答过程】（1）设甲以获得比赛胜利的事件为A， 双方比分为时，轮到由乙发球，则． （2）设甲以获得比赛胜利的事件为B， 双方比分为时，轮到由甲发球，则． （3）设再打4个球后甲获得比赛胜利的事件为C， 双方比分为时，轮到由甲发球，再打4个球后甲获得比赛胜利的情况为第一、二球甲输赢各一个，第三、四球均为甲赢， 则. 【类型5 频率估计概率】 25．（2025高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【解题思路】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【解答过程】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C. 26．（2025高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先设该校有a名同学，根据题目条件计算得出每天玩手机不超过2 h的学生中近视人数；再用频率估计概率即可求解. 【解答过程】设该校有a名同学， 则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h. 因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50% 所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a， 则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为． 故选：B． 27．（2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 【答案】C 【解题思路】根据题意利用频率估计概率进行计算. 【解答过程】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C 28．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是__________． 【答案】0.44 【解题思路】由频率估计概率，得出所求概率. 【解答过程】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 故答案为：0.44. 29．（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率，再对元件的寿命在（单位：h）内的概率估计即可； （2）先求出200个电子元件的寿命在以上的频率，再对元件的寿命在以上的概率估计即可. 【解答过程】（1）因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为， 故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为； （2）因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在以上的概率为. 30．（25-26高二上·广东江门·月考）树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成绩频率分布直方图如图： (1)从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率； (2)如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于分的概率； (3)根据频率分布直方图，分别从中位数和平均数的角度，比较，两个校区的物理成绩． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中的数据算出答案即可； （2）首先求出从校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率，然后可算出答案； （3）分别求出两个校区的中位数和平均数，进行比较即可. 【解答过程】（1）从校区抽取的名学生中随机选取一名，这名学生的成绩不低于分的频率为， 利用样本估计总体，频率估计概率，所以从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率为. （2）由频率分布直方图可得校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率约为， 校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率约为， 则这三名学生物理成绩都低于分的概率约为， 这三名学生中至少有一名学生成绩不低于分的概率为． （3）校区的中位数是， 校区的中位数是， 因为，所以，校区物理成绩的中位数高于校区物理成绩的中位数； 校区成绩平均数为， 校区成绩平均数为， ， 所以校区物理成绩的平均数高于校区物理成绩的平均数． 【类型6 概率综合】 31．（24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意知，还原情境，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可. 【解答过程】由题意“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰， ①前两轮没有用通行卡，且第三轮都答错了， 概率为； ②前两轮有一轮使用通行卡，第三轮两人均答错或只有一人答对， 概率为； 故所求概率为. 故选：C. 32．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【解答过程】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得： . 故选：D. 33．（24-25高二下·吉林长春·期末）如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【解答过程】由题意得，我们第一次抛掷正方体骰子，为奇数的概率为， 此时第二次抛掷正四面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为奇数时的概率为， 我们，第一次抛掷正方体骰子，为偶数的概率为， 此时第二次抛掷正八面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为偶数时的概率为， 而为奇数时和为偶数时互斥， 由互斥事件加法公式得的概率为，故C正确. 故选：C. 34．（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）甲袋中有20个红球，10个白球；乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，则2个球中恰有1个红球的概率为__________． 【答案】 【解题思路】设出事件，得到，，求事件的概率即可； 【解答过程】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球， 则，， 则2个球中恰有1个红球的概率，即求事件的概率， ． 故答案为：. 35．（25-26高二上·福建泉州·期中）2025年8月21日、在官方公众号发文称，正式发布模型，此次平级也标志若国产大模型在技术选代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司部门有4位领导，部门有2位领导，需要从这6位领导中随机选取2位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求两位组长都来自于部门的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）用列举法求得选取2位当组长的总方法数，再求得两位来自于部门的不同结果，利用古典概型概率公式求解； （2）记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”，再利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式求解. 【解答过程】（1）记部门的4名领导为，部门的2名领导为， 从这6位领导中随机选取2位当组长，不同结果有： ，共15个， 两位组长都来自于部门的不同结果有：，共6个， 所以两位组长都来自于部门的概率为； （2）记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”， 则， ， 则 ， 所以甲经过培训合格的概率为. 36．（25-26高二上·四川眉山·月考）在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.5，张志答对每道题的概率都是0.6，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． (1)求李明第二次答题通过面试的概率； (2)求张志通过面试的概率； (3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率． 【答案】(1)0.25 (2)0.84 (3)0.96 【解题思路】（1）设相应事件，利用相互独立事件的概率公式计算得解； （2）设相应事件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解； （3）设相应事件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式求解. 【解答过程】（1）设“李明第次答对题目”，，则， 李明第二次答题通过面试的事件为，而相互独立， 所以李明第二次答题通过面试的概率. （2）设“张志第次答对题目”，，则， 张志通过面试的事件， 所以张志通过面试的概率. （3）设李明通过面试的事件， 则， 令李明和张志至少有一人通过面试的事件， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $