2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册全册综合测试卷(提升版)

**基本信息** 选择性必修第二册提升版期末卷，以数列、函数与导数为核心，通过选择、填空、解答题梯度设计，突出推理证明与探究应用，适配期末综合能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|数列定义与运算、函数性质、导数几何意义|结合等差等比综合（题1），考查抽象能力| |选择题（多选）|3/18|数列求和、函数单调性与极值|多选项设计（题9），体现批判性思维| |填空题|3/15|数列递推、切线方程、不等式恒成立|情境简洁，聚焦核心技能（题13切线问题）| |解答题|5/77|数列证明与求和、导数应用与探究|分层设问（题16三问），融合推理与模型意识，呼应高考综合题趋势|

选择性必修第二册全册综合测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不是等差数列的等比数列满足，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，且，，成等比数列，则的值为（    ） A． B．81 C．80 D．90 3．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，则数列的前100项的和为（   ） A． B． C． D． 8．已知存在使不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列的前n项和为．下列说法正确的是（） A．若是等差数列，且，，则公差为2 B．若，，则数列是等差数列 C．若是等比数列，且，公比，，则 D．若是等比数列，且，则公比为 10．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的定义域为 B．在上单调递减，在上单调递增 C．的最小值为1，且无最大值 D．若，且，则 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数无最小值 B．函数有2个极值点 C．函数有5个零点 D．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，，则数列的前5项的和为________． 13．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 14．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 16．已知数列中，，满足. (1)证明数列是等比数列； (2)设，求的通项公式； (3)设，的前项和记为，试证明. 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 18．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 选择性必修第二册全册综合测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不是等差数列的等比数列满足，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项化简可得从而得到值，结合等比数列通项公式求解即可. 【详解】因为等比数列不是等差数列，故， 由于，，成等差数列，所以， 即， 因为，所以，解得：或(舍去)， 所以. 2．已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，且，，成等比数列，则的值为（    ） A． B．81 C．80 D．90 【答案】C 【详解】因为为等差数列，且首项为：，设公差为 则，所以 则，， 因为，，成等比数列，所以， 所以，解得或 当时，，，因为非常数列，所以舍去． 当时，，所以． 3．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 4．已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，即， 所以，则当时，， 因为，所以， 所以， 则数列的前10项和． 5．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，再求出导函数根据导函数正负得出单调性即可求出最值列式求出参数. 【详解】令，，则， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 又不等式恒成立，则，得， 则实数的取值范围为. 6．已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及复合函数求导法则求出，确定函数的单调性，进而求出的范围. 【详解】由函数是上的偶函数，得，求导得， 由是偶函数，得，则， 解得，由函数在上都单调递减，得在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 不等式，即， 解得，所以实数的取值范围是. 7．已知数列满足，则数列的前100项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用累加法得到，代入得到，再利用分组求和法计算得到答案. 【详解】，即. . . 故 . 8．已知存在使不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干条件，可将不等式转化为，令，，得，设，利用导数求得在上为递增函数，且在上只有一个零点，设为，得到，进而得到函数的单调性，求得取得最小值，结合题意，即可求解. 【详解】 令，， 则， 设，可得，函数在上为单调递增函数， 又由， 所以函数在上只有一个零点，设为，即，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 其中最小值为， 要使得存在成立，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列的前n项和为．下列说法正确的是（） A．若是等差数列，且，，则公差为2 B．若，，则数列是等差数列 C．若是等比数列，且，公比，，则 D．若是等比数列，且，则公比为 【答案】BC 【分析】先利用等差数列前项和公式算出A公差为判定A错误，再由递推式求出B数列为常数列符合等差数列定义，接着用等比数列求和公式求出C中、判定正确，最后由等比数列和的比值化简得，求出公比为判定D错误，综上正确选项为BC. 【详解】选项A：，解得，，故A错误. 选项B：，，计算得：，，数列为常数列，常数列是公差为的等差数列，故B正确. 选项C：等比数列前项和公式：，代入得：，化简：，，解得，，则，故C正确. 选项D：若数列的公比，则，矛盾，故， 由已知，解得，，故D错误. 10．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的定义域为 B．在上单调递减，在上单调递增 C．的最小值为1，且无最大值 D．若，且，则 【答案】BCD 【分析】根据对数函数定义域要求确定的定义域，以此判断选项A；对求导，根据导数在不同区间的正负判断单调区间，以此分析选项B；结合单调区间找到极值点，进而确定最值情况，判断选项C；利用函数单调性构造函数，通过函数值的大小关系推导变量间的不等式，判断选项D； 【详解】选项A，对数要求真数，因此的定义域为，A错误. 选项B，对求导得：， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，B正确. 选项C，由B的单调性可知，在处取得最小值：， 当时，，因此无最大值，C正确. 选项D，不妨设，要证，即证. 因为在单调递增，只需证. 构造函数，求导得：， 因此在单调递减，得，即， 故，得，即，D正确. 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数无最小值 B．函数有2个极值点 C．函数有5个零点 D．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据导函数分析出函数的单调性，进而得到函数的最值以及极值点，求出选项ABD.再利用换元法，结合的图象求解选项C. 【详解】由，可得，易知恒成立； 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 当时，，单调递增，则极大值，极小值. 当时，时，函数图象如下图所示： 选项A.的极小值，且时均大于，因此存在最小值，A错误. 选项B.有两个不同的变号零点和，对应两个极值点，B正确. 选项C.令，，解得或. 结合图象可知，当时，由可知该方程在和各有1个解，共2个解； 当时，由可知该方程在，，各有一个解，共3个解，共5个解. 选项D.的单调减区间是，若在上是减函数，则，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，，则数列的前5项的和为________． 【答案】 【分析】通过累加法得出数列的通项即可得数列通项，再利用裂项相消可得答案. 【详解】已知数列满足，， 所以， 累加可得， 即，所以，当时，，符合通项公式， 所以， 所以的前5项的和为. 13．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 【答案】或 【分析】先根据导数得出切线斜率 计算求出参数及切点，再点到直线距离等于半径得出参数. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，则，则，， 即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切， 则有，解得或 14．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先将不等式整理为，构造同构函数，由是上的单调递增函数，将问题转化为恒成立；再求的最大值，从而得到实数的取值范围. 【详解】原不等式整理得：. 构造函数，原不等式等价于对任意恒成立. 对求导得：恒成立，因此是上的单调递增函数， 不等式等价于：. 将不等式变形为对任意恒成立，令，求导得， 令，得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为，故，即. 综上，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递增数列定义，利用作差法，分为偶数与为奇数进行讨论即可得证； （2）计算可得与的通项公式，再利用等比数列与等差数列定义即可得证. 【详解】（1）， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 则，所以是递增数列； （2）由题意得，， 由，得， 则， 两式相减得，得， 得， 因为，所以，得， 则， 有，， 则，， 所以是首项为，公比为4的等比数列， 是首项为，公差为2的等差数列. 16．已知数列中，，满足. (1)证明数列是等比数列； (2)设，求的通项公式； (3)设，的前项和记为，试证明. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对已知递推公式变形构造目标数列，通过等比数列定义验证公比为常数、首项非零，完成证明；（2）利用第一问的结论求出的通项，代入的对数式化简，直接得到的通项公式；（3）写出通项后用错位相减法求出前项和，通过放缩证明不等式成立. 【详解】（1）由已知递推式得，变形得， 首项，因此（常数）， 故数列是首项为、公比为的等比数列； （2）由（1）的结论得：， 整理得， 所以 故的通项为； （3）由题意得， 前项和①，②， ①②得：， 即 整理得：因为，所以， 因此，得证. 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 18．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 19．已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. （3）在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $