2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册全册综合测试卷(基础版)

选择性必修第二册全册综合测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【详解】由已知，，，， ，， . 2．设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，令可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，所以， 所以， 解得. 3．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， ，， ，， . 4．已知曲线 在处的切线方程为，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，求出切线斜率和切点处的函数值，进而求出结果. 【详解】对函数求导得，可得曲线在处的切线斜率为， 由切线方程为，可得，即， 又，故切点坐标为，将其代入切线方程中得， 所以，所以. 5．已知等差数列满足，则的公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，解得． 6．已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据为、的等差中项得出，结合可求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】一方面，若，由可得， 此时， 则为、的等差中项， 所以“”“为、的等差中项”； 另一方面，若为、的等差中项，所以， 所以，解得， 故“”“为、的等差中项”. 所以“”是“为、的等差中项”的充要条件. 7．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用给定的单调区间列出不等式，分离参数求解. 【详解】函数在区间上单调递增，则，， 即，成立，而函数在上单调递增，即， 因此，解得，所以实数k的取值范围是. 故选：D 8．设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，故， 因此在上单调递增， 所以对于任意的正数，有，即，即， 又因为，所以，结合选项可知B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】已知等差数列的公差为d，则，解得， ，解得，故B错误； ，故A正确； ，故，故C错误； ，故D正确． 10．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号， 当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点， 但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确； 的单调减区间是，所以 C正确； 函数在上单调递增，所以，所以D错误. 11．(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 【答案】ABC 【分析】函数求导后根据极值点判定条件和单调性判定条件逐一分析选项即可 【详解】选项A，令，即，因为，所以，解得，所以的零点只有，A正确； 选项B，， 则，在上单调递增(因为)， 且，，所以在上先减后增. 当，；时，；时，；时，， 由零点存在定理，在有一个零点，在有一个零点，因此有两个极值点，B正确； 选项C，由B选项分析可知，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，即在处取得极小值，C正确； 选项D，由选项C分析可知，在区间先增后减，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为等差数列的前项和，若，则___________. 【答案】14 【分析】由等差数列的前项和公式求得首项和公差，再计算. 【详解】设等差数列的公差为，由，得 解得则 13．若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】1 【详解】因为对于任意，不等式恒成立，即， 令，， 当时，，所以在上单调递增， 所以，恒成立， 当时，令，所以， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 令，， 所以在上单调递减，又因为，所以，不满足恒成立. 综上,.所以实数的最大值为. 14．已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】由题意得，令函数，而， 求导得， 则函数在上单调递增，， 不等式，因此， 所以x的范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2) 【分析】(1)根据等差数列与等比数列的基本量运算即可求得数列的通项公式； (2)利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 于是 ； 则， 故的通项公式为，的通项公式为. （2）由题可知 数列的前项和为 . 16．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性，并求出的极值． 【答案】(1) (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；有极小值，无极大值． 【详解】（1）函数的定义域为，， 在点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为，即． （2）令，解得． 当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值，无极大值． 17．已知数列中，． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项积为，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将已知条件变形为，结合等差数列的定义即可得证明； （2）由（1）求得，进而求得，利用错位相减求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 等式两边同除以， 得，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知 得， 则， 则， 所以 两式相减得 所以． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为 (2) 【分析】（1）求导即可分析的单调性； （2）将变换为，令，求导研究的极值即可． 【详解】（1）因为，其中， ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得，由可得， 由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为． （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则，其中，恒成立， 所以由可得，由可得， 故函数的减区间为，增区间为， 所以，即，故的取值范围是． 19．已知函数，其中. (1)当时，求在处的切线； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； (3) 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定函数的单调性即可； （3）将问题化为的图象与直线有两个不同的交点，并应用导数研究函数性质，利用其图象分析参数范围. 【详解】（1）当时，，则， 又，则， 切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ∴， 若，则，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， 所以，则 ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， 所以a的取值范围是. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 选择性必修第二册全册综合测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．0 2．设函数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 4．已知曲线 在处的切线方程为，则 （   ） A． B． C． D． 5．已知等差数列满足，则的公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 8．设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 10．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 11．(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为等差数列的前项和，若，则___________. 13．若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 14．已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 16．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性，并求出的极值． 17．已知数列中，． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项积为，求数列的前项和． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 19．已知函数，其中. (1)当时，求在处的切线； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $