精品解析：湖南娄底市娄星区石井中学2026年中考二模联考数学试题

湖南省2026年初中学业水平联考试卷（二） 数学 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登米记作米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走米应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】解：向上攀登米记作米，则向下行走米应记作米． 2. 2026年期间，市场监管部门加大对学生文具的抽检力度，全力守护学生健康．某合格笔记本中，有害物质残留量仅为克，远低于国家标准．将用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、二次根式的加减运算法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意． 4. 将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作直线，由结合平行公理的推论可得，再根据两直线平行内错角相等，得到，结合三角尺的角算出，最后依据，两直线平行同旁内角互补，通过求出． 【详解】解：如图，作直线，由题意得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【解析】 【分析】先由解析式得到，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数为，， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限，A选项错误． ∵ 反比例函数中，恒不为， ∴ 图象与轴没有交点，B选项错误． ∵ 时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 当时，随的增大而增大，C选项错误． ∵ 点，都在第二象限的函数图象上，且， ∴ ，D选项正确． 6. 如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，则正方形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，推出，证明得到，即可求解． 【详解】解：正方形的顶点与正方形的边均在直线上， ，， ， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， 正方形的周长为． 7. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 8. 如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，为半径的弧，已知，则的长是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到为等边三角形，得到圆心角，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， 为等边三角形， ∴， 的长． 9. 如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，先通分，然后计算减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 方程组的解为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得 ； 将代入②得， ∴， 解得 ； ∴原方程组的解为． 12. 如图，是的中位线，已知，则四边形的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，，进而证明，得出，即可得解． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 13. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，恰好抽到“夏”的概率为． 14. 如图，是的直径，点C、D在上，且在的两侧，连接，若，则的度数为____________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】先推导出，进而得到，则，即可解答． 【详解】解：∵同为的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，第17题6分，第18、19题每小题8分，第20、21题每小题9分，第22题10分，第23、24题每小题11分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】先去括号，然后合并同类项，然后把，代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 如图，是的直径，弦于点，点在上，弦与交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：， ． ∵， ， ． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，易得，再根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）如图，连接，由圆的性质以及垂径定理可得，利用勾股定理可得，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径，， 为的中点． ， ． ． ． 19. 为了解青年人才在济发展需求，某学校组织八年级学生针对来济就业且毕业5年内的青年人才进行问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出相关信息： a．调查问卷的部分信息如下： 调查问卷 请根据实际情况回答问题，只能选择一项： 以下四项服务中，您最希望得到的是（ ） A．人才公寓 B．技能培训 C．子女托管 D．交友联谊 b．不完整的条形统计图和扇形统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了______名青年人才； （2）扇形统计图中“技能培训”对应的圆心角为______度； （3）请补全条形统计图； （4）按照“项目赋能年”规划，2026年济南市计划引进3000名青年人才．根据本次调查的数据，请估计最希望得到人才公寓服务的人数． 【答案】（1）； （2）； （3） 补全条形统计图 （4）人． 【解析】 【分析】（1）根据交友联谊的人数和所占百分比求解即可； （2）用乘以技能培训的人数占比求解即可； （3）先求出调查中最希望得到人才公寓服务的人数，再补全条形统计图即可； （4）用3000名青年人才乘以最希望得到人才公寓服务的人数占比求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次共调查了名青年人才； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：调查中最希望得到人才公寓服务的人数为（人）， 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计最希望得到人才公寓服务的人数为人． 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 解：过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 21. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和无限未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传达了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划购买甲、乙两种机器人．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ （2）若该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过1900万元，则该公司最少可以购进多少个甲种机器人？ 【答案】（1）购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元 （2）该公司最少可以购进10个甲种机器人 【解析】 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需要x万元，则购买一个甲种机器人需要万元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个．再根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个乙种机器人需要x万元，则购买一个甲种机器人需要万元． 由题意，得，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴， 答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元． 【小问2详解】 解：设该公司购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个． ， ， ， ， ∵m为整数， ∴m的最小值为10． 答：该公司最少可以购进10个甲种机器人． 22. 如图，矩形中，E、F分别在上，将四边形沿对折至四边形，使G点落在上，与交于点P． （1）求证：； （2）如图1，若，，，求的长； （3）如图2，当G为中点，P为中点时，与有何数量关系？并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）2 （3） 解：，理由如下： ∵G为中点，P为中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则，， 由（1）可得， ∴，即， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，再证明，即可证明； （2）由矩形的性质得到，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程可得；利用相似三角形的性质可得，则； （3）设，则，，根据相似三角形的性质得到，则，由折叠的性质得到，由勾股定理得，据此求出x与y的关系式即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 由（1）可得， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 23. 如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； （3）如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 【答案】（1），，； （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）令，得，可求解，的坐标，令，可求出的坐标； （2）作交于点G，可得，得出，可求出，求出直线的解析式为，设，可得点的坐标为或，则可得出或，求出f即可； （3）作轴交于点S，轴交于点T，设，，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，解得，再得出，，分别得出，，利用，化简求出，代入即可求解． 【小问1详解】 解：令，得， 解得，， ∴，， 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：作交于点G， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴点的横坐标为或， 对应点的纵坐标分别为或， 则点的坐标为或， ∵， ∴或， 即或， 解得，，，， ∵F在抛物线的对称轴直线的右侧， ∴或， 当时，； 当时，； 所以点F的坐标为和； 【小问3详解】 解：作轴交于点S，轴交于点T， 设，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 令，则， 则， 令，则， 则， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故点P的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年初中学业水平联考试卷（二） 数学 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登米记作米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走米应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 2026年期间，市场监管部门加大对学生文具的抽检力度，全力守护学生健康．某合格笔记本中，有害物质残留量仅为克，远低于国家标准．将用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 6. 如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，则正方形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 8. 如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，为半径的弧，已知，则的长是（） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 10. 计算：_______． 11. 方程组的解为____． 12. 如图，是的中位线，已知，则四边形的面积为________． 13. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为____． 14. 如图，是的直径，点C、D在上，且在的两侧，连接，若，则的度数为____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 三、解答题（本大题共8小题，第17题6分，第18、19题每小题8分，第20、21题每小题9分，第22题10分，第23、24题每小题11分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，是的直径，弦于点，点在上，弦与交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 19. 为了解青年人才在济发展需求，某学校组织八年级学生针对来济就业且毕业5年内的青年人才进行问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出相关信息： a．调查问卷的部分信息如下： 调查问卷 请根据实际情况回答问题，只能选择一项： 以下四项服务中，您最希望得到的是（ ） A．人才公寓 B．技能培训 C．子女托管 D．交友联谊 b．不完整的条形统计图和扇形统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了______名青年人才； （2）扇形统计图中“技能培训”对应的圆心角为______度； （3）请补全条形统计图； （4）按照“项目赋能年”规划，2026年济南市计划引进3000名青年人才．根据本次调查的数据，请估计最希望得到人才公寓服务的人数． 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 21. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和无限未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传达了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划购买甲、乙两种机器人．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ （2）若该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过1900万元，则该公司最少可以购进多少个甲种机器人？ 22. 如图，矩形中，E、F分别在上，将四边形沿对折至四边形，使G点落在上，与交于点P． （1）求证：； （2）如图1，若，，，求的长； （3）如图2，当G为中点，P为中点时，与有何数量关系？并说明理由． 23. 如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； （3）如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $