精品解析：湖南省娄底市娄星区2025年初中毕业学业水平考试数学模拟卷

2025年初中毕业学业水平考试模拟卷数学 （请把答案写在答题卡上 时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 地球与月球的平均距离大约为，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对顶角相等 B. 菱形的四条边都相等 C. 平移不改变图形的形状和大小 D. 任意多边形的内角和等于 8. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“三倍点”．已知点，下列结论错误的是（ ） A. 点是点的“三倍点” B. 若直线上的点A是点的“三倍点”，则点A的坐标为 C. 抛物线上存在两个点是点的“三倍点” D. 若点B是点的“三倍点”，则的最小值是 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：x2-16= ________________． 12. 分式方程的解是______． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 14. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 15. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 17. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）． 18. 如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长与“下圆弧”长 的差为______（用含，d的式子表示）． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简再求值：其中． 21. 如图，在四边形中，，，对角线和相交于点．请在以下两个条件中：“①；②”，选择一个作为已知条件，再解决下列问题： （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多AI（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国AI事业得到了迅猛发展．为了解AI软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“”的用户记为A类，经常使用“豆包”的用户记为B类，经常使用“”的用户记为C类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为D类，经常使用其他AI软件的用户记为E类． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的师生人数为______人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数是______； （4）某班以下四位同学中，小明经常使用“”、小梅经常使用“豆包”、小萱经常使用“”、“翠花”经常使用“腾讯元宝”，若数学活动小组随机从4人抽取2人，则抽中的同学中，经常使用“”和“”的概率为多少？ 23. 为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个. （1）求每辆大客车和小客车的座位数； （2）经学校统计，实际参加活动人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？ 24. 某数学兴趣小组进行实践活动：测量某山的高度，他们设计了如下测量方案： 项目 测量某山的高度 测量工具 测距仪、测角仪 示意图 如图2是一段索道的示意图，点A为山的观景台，点B是索道停靠点． 测量数据 从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离． 根据表格中提供的信息，解答下列问题： （1）求观景台点到山脚的距离；（结果精确到） （2）求的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 25. 如图1，抛物线与x轴交于点A和B（其中点A在B左侧），顶点为P，点C是x轴上一个动点，其横坐标为，连接，．已知抛物线y与x的变化规律如下表所示： … 0 1 3 4 5 … … 0 3 4 3 0 … （1）直接写出_____，_____，_____； （2）记点到的距离为，点到的距离为，若，求证：d为定值； （3）如图2，过点作的平行线交于点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 26. 如图1，的直径垂直弦于点E，且． （1）求的长． （2）探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业学业水平考试模拟卷数学 （请把答案写在答题卡上 时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 地球与月球的平均距离大约为，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：384000用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从上面看，得到的图形是 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，正确； B．与不是同类项，不能合并，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是根据数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列得：，，，，，，， ∵数据有奇数个，最中间的数据为：， ∴这组数据的中位数为． 故选：B． 6. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 7. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对顶角相等 B. 菱形的四条边都相等 C. 平移不改变图形的形状和大小 D. 任意多边形的内角和等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查几何基本概念的理解，包括对顶角性质、菱形的定义、平移性质以及多边形内角和公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据对顶角性质、菱形的定义、平移性质以及多边形内角和公式，逐个选项判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，此命题正确，不符合题意； B、菱形的四条边都相等，此命题正确，不符合题意； C、平移不改变图形的形状和大小，此命题正确，不符合题意； D、根据多边形的内角和公式为，其中为边数，可以判定“任意多边形的内角和等于”命题错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，根据即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， 故选：A． 9. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“三倍点”．已知点，下列结论错误的是（ ） A. 点是点的“三倍点” B. 若直线上的点A是点的“三倍点”，则点A的坐标为 C. 抛物线上存在两个点是点的“三倍点” D. 若点B是点的“三倍点”，则的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，根据题中新定义假设参数，利用一元一次方程，一元二次方程代入即可求解，解题的关键是正确理解题目所给“三倍点”定义．根据“三倍点”定义判断A正确；设“三倍点”，根据定义得出方程，解方程即可判断B正确；设抛物线的“三倍点”为，根据定义列出方程，解方程即可判断C错误；设，根据“三倍点”定义得出， 根据两点间距离公式得出，求出最值，即可判定D正确． 【详解】解：A、∵，， ∴，， ∴， 则是的“三倍点”，故A正确，不符合题意； B、由题意设“三倍点”， ∴， 解得：， ∴点，故B正确，不符合题意； C、设抛物线的“三倍点”为， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，即存在1个点是点的“三倍点”，故C错误，符合题意； D、设， ∴， 则， ， ， ， 当时，有最小值， ∴的最小值，故D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 12. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，运用转化的思想将分式方程转化为整式方程进行求解，解题的关键是解分式方程必须要验根．将方程两边同时乘以，转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，将的值代入原方程进行检验． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 14. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 15. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 17. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【答案】0.93 【解析】 【分析】根据题意，用频率估计概率即可． 【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93， 故答案为：0.93． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 18. 如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长与“下圆弧”长 的差为______（用含，d的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的实际应用，求出该邮票的对应的圆心角度数，设“下圆弧”的半径为，分别表示出和，再求差即可． 【详解】解：∵由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案， ∴每一枚邮票的圆心角为， 设“下圆弧”的半径为，则设“上圆弧”的半径为， ∴“上圆弧”长， “下圆弧”长， ∴“上圆弧”长与“下圆弧”长 的差为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊锐角三角函数值的实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用绝对值、负整数指数幂、零指数幂的性质及特殊锐角三角函数值进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简再求值：其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简原式，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，在四边形中，，，对角线和相交于点．请在以下两个条件中：“①；②”，选择一个作为已知条件，再解决下列问题： （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 选择①， 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； 选择②， 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）选择①，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明；选择②，先证明四边形是平行四边形，得，然后证明，得，根据两直线平行，同旁内角互补，可知，得，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明； （2）因为，由，，可求，在中，由勾股定理可求长，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ，， ， 在中，， ． 22. 2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多AI（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国AI事业得到了迅猛发展．为了解AI软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“”的用户记为A类，经常使用“豆包”的用户记为B类，经常使用“”的用户记为C类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为D类，经常使用其他AI软件的用户记为E类． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的师生人数为______人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数是______； （4）某班以下四位同学中，小明经常使用“”、小梅经常使用“豆包”、小萱经常使用“”、“翠花”经常使用“腾讯元宝”，若数学活动小组随机从4人抽取2人，则抽中的同学中，经常使用“”和“”的概率为多少？ 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如图， （3）； （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、求扇形圆心角的度数、组合与概率的计算，解题的关键是读懂图像信息，理解两个统计图中数量之间的关系． （1）从两个统计图中可知，B类用户80人，占比，计算即可求出被抽取的师生人数； （2）根据总人数及图中A类、B类、C类、D类用户的人数，可求出E类人数，补全条形统计图即可； （3）先求A类人数所占的百分比，再乘以即可； （4）先用列表或画树状图法分析所有可能出现的结果，再根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：B类用户80人，占比， 被抽取的师生人数为：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 E类用户的人数为：（人）， 【小问3详解】 ，即“A”部分所对应扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问4详解】 根据题意，求经常使用“”和“”的概率就是求同时抽中小明和小萱的概率，列表如下： 小明 小梅 小萱 翠花 小明 —— 小梅、小明 小萱、小明 翠花、小明 小梅 小明、小梅 —— 小萱、小梅 翠花、小梅 小萱 小明、小萱 小梅、小萱 —— 翠花、小萱 翠花 小明、翠花 小梅、翠花 小萱、翠花 —— 由表可知，共有12种等可能得情况，其中抽取的两位同学恰好是小明和小萱的情况共有2种， 抽中小明和小萱的概率为． 23. 为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个. （1）求每辆大客车和小客车的座位数； （2）经学校统计，实际参加活动人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？ 【答案】（1）每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为40个和25个.（2）最多租用小客车3辆 【解析】 【分析】（1）设每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为个和个，结合每辆大客车的座位数比小客车多15个以及师生共301人参加一次大型公益活动，列出方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）中所求，利用总人数为310人，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）设每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为个和个，依题意得， 答：每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为40个和25个. （2）设租用小客车辆，则租用大客车辆，依题意得， . 解得 ∵为整数， ∴的最大值为3. 答：最多租用小客车3辆. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，根据题目中的等量关系（不等关系）正确列出方程组及不等式是解题关键． 24. 某数学兴趣小组进行实践活动：测量某山的高度，他们设计了如下测量方案： 项目 测量某山的高度 测量工具 测距仪、测角仪 示意图 如图2是一段索道的示意图，点A为山的观景台，点B是索道停靠点． 测量数据 从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离． 根据表格中提供的信息，解答下列问题： （1）求观景台点到山脚的距离；（结果精确到） （2）求的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】（1）约为米； （2）约为米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点，由题意得，在中，根据的长，由，即可求出的长； （2）过点作于点，过点作，由题意得，在中，根据，由，即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，由题意得， ， 在中，， ， 答：观景台点到山脚的距离约为米； 【小问2详解】 过点作于点，过点作， 由题意得，，， ，， 在中，， ， 答：的长约为米． 25. 如图1，抛物线与x轴交于点A和B（其中点A在B左侧），顶点为P，点C是x轴上一个动点，其横坐标为，连接，．已知抛物线y与x的变化规律如下表所示： … 0 1 3 4 5 … … 0 3 4 3 0 … （1）直接写出_____，_____，_____； （2）记点到的距离为，点到的距离为，若，求证：d为定值； （3）如图2，过点作的平行线交于点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1），， （2） 证明：由（1）可知，，， 当时，，解得或， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 如图，过点作轴于点，过点作于点，作于点， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，，即，解得， 在中，，即，解得， ∵， ∴， ∴为定值． （3）面积的最大值2，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据二次函数的对称性和表格数据求解即可得； （2）过点作轴于点，过点作于点，作于点，先求出和的值，再解直角三角形分别求出和，由此即可得证； （3）先证出，再证出，利用相似三角形的性质可得的长，然后根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：将二次函数化成顶点式为， ∴这个二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等；时的函数值与时的函数值相等， ∴，， 由表格可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）已得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为2， ∴此时，， 又∵， ∴， ∴，即点与点重合， ∴此时点的坐标为， 综上，面积的最大值2，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 26. 如图1，的直径垂直弦于点E，且． （1）求的长． （2）探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 【答案】（1）8 （2）①证明：连接，如图2， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦于点E， ∴， ∴， ∴； ②的长为或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，由点是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立； ②分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图1， ∵的直径垂直弦于点E，且， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②解：当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 即， ∴； 当时， 在中，， 在中，， ∴， 同理， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $