专题03 分式方程重难点题型汇编（七大题型）（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 聚焦分式方程从概念到应用的完整知识链，通过七大题型系统覆盖定义辨析、解法训练、解的情况分析及四类实际应用，实现知识逻辑与解题能力的递进培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式方程定义|4题|概念辨析，识别分式方程|概念生成基础，明确分式方程本质特征| |解分式方程|4题|技能训练，含去分母、验根步骤|核心解法掌握，培养运算能力与推理意识| |根据解的情况求值|4题|条件分析，涉及增根、无解等|深化理解解的存在性，发展逻辑推理能力| |工程问题应用|5题|模型构建，含工作效率、时间关系|实际应用迁移，用数学语言表达现实世界| |行程问题应用|4题|模型构建，含速度、路程关系|实际应用迁移，培养数学眼光观察现实世界| |销售问题应用|5题|模型构建，含单价、数量关系|实际应用迁移，强化应用意识与数据观念| |其他问题应用|4题|跨情境模型，含费用、比例等|拓展应用场景，提升问题解决的灵活性|

专题03 分式方程重难点题型汇编 （七大题型） 【题型1 分式方程定义】................................................................................................................1 【题型2 解分式方程】....................................................................................................................2 【题型3 根据分式方程解的情况求值】......................................................................................5 【题型4 分式方程应用－工程问题】................................................................................................7 【题型5 分式方程应用－行程问题】...............................................................................................10 【题型6 分式方程应用－销售问题】..............................................................................................12 【题型7 分式方程应用－其他问题】...............................................................................................15 【题型1 分式方程定义】 1．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 2．在下列各式中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 【详解】解：A、是整式方程，不是分式方程，不符合题意； B、是整式方程，不是分式方程，不符合题意； C、不是方程，不是分式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 3．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 4．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】①的分母中含有未知数，是分式方程； ②是整式方程； ③是整式方程； ④的分母中含有未知数，是分式方程． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 【题型2 解分式方程】 5.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2)原分式方程无解 【分析】（1）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可； （2）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解； （2）解：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解． 6.解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 7.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【详解】（1）解： 检验，当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解： 检验，当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 8.解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 9．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且． 10．解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 【答案】 【分析】先确定分式方程的分母，令分母为零得到增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根， 方程两边同乘最简公分母去分母，得：， 将增根代入整式方程，得：， 解得． 11．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求解分式方程，得到含的解的表达式，再根据分式方程的解为负数，且分母不为零，列出关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】解：， 将方程变形为， 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 分式方程的解为负数， ，且， 即，且， 解得， 解得， 已经满足， 的取值范围是． 12．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 【题型4 分式方程应用－工程问题】 13．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)精加工数量应为个，最大利润是元 【分析】（1）根据“一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）根据题意令粗加工个数为个，则精加工个数为个，得不等式，解出，再得出对应的利润与的函数关系，根据函数性质求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． （2）解：共采摘苹果个数为个， 令粗加工个数为个，则精加工个数为个， 则， 解得， 总利润为， 故越小，利润越大， 最小为， ∴总利润最大为元， 对应精加工个数为个， 故精加工数量应为个，最大利润是元． 14．某工厂有A，B型机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人2小时搬运的化工原料和B型机器人3小时搬运的化工原料重量相同． (1)两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ (2)两种机器人系统升级优化后，A型机器人每小时增加的搬运化工原料重量是B型机器人每小时增加的搬运化工原料重量的1.5倍．工厂里有一批共480千克的化工原料需要搬运．升级后，A型机器人搬运了一半，另外一半由B型机器人搬运，两种类型的机器人一共用了5小时完成，求升级后A型机器人每小时可以搬运多少千克化工原料． 【答案】(1)A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料. (2)升级后A型机器人每小时可以搬运120千克化工原料． 【分析】（1）设B型机器人每小时搬运千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料，根据工作效率时间工作总量列出方程求解即可； （2）设B型机器人每小时增加千克，则A型机器人每小时增加千克，根据工作总量工作效率工作时间，两种类型的机器人一共用了5小时完成，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时搬运千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料， 由题意可得：， 解得：， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料． （2）解：设B型机器人每小时增加千克，则A型机器人每小时增加千克， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴A型机器人每小时可以搬运：（千克）， 答：升级后A型机器人每小时可以搬运120千克化工原料． 15．为助力云南乡村振兴，完善滇西乡村交通基础设施，甲，乙两个工程队共同修建一条乡村惠民公路，甲队每天比乙队多修米，甲队修建米所用的时间与乙队修建米所用的时间相等，求甲，乙两队每天各修多少米． 【答案】甲队每天修米，乙队每天修米 【分析】设甲队每天修米，则乙队每天修米，根据时间相等列出分式方程，并转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲队每天修米，则乙队每天修米， 根据题意，可列方程：， 两边同乘以，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（米）． 答：甲队每天修米，乙队每天修米． 16．2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 【答案】(1)甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品 (2)应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件 【分析】（1）设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件，根据题意列出函数关系式，先求得，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （件）． 答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件， 根据题意得：， 安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 又为正整数， 最大取20， 当时，取得最大值，为（件）， 此时（天）． 答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件． 17．某科技公司生产服务和工业两种机器人，去年共生产2000台．今年生产线优化升级，服务机器人产量预计比去年增加，工业机器人产量预计比去年增加，则两种机器人总产量预计将比去年共增加380台． (1)求今年服务机器人和工业机器人的产量预计各是多少台？ (2)今年出厂检测时，实际产量与预计相同，公司安排两组工程师同时开始检测工作：A组负责检测服务机器人，B组负责检测工业机器人．已知A组每小时检测效率是B组的1.5倍，最终A组比B组提前30分钟完成任务．问B组每小时检测工业机器人多少台？ 【答案】(1)今年服务机器人产量预计为1380台，工业机器人产量预计为1000台 (2)B组每小时检测工业机器人160台 【分析】（1）设去年服务机器人x台，工业机器人y台，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设B组每小时检测a台，则A组每小时台，根据“A组比B组提前30分钟完成任务”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设去年服务机器人x台，工业机器人y台， ， 解得，， 今年产量： 服务机器人：台， 工业机器人：台， 答：今年服务机器人产量预计为1380台，工业机器人产量预计为1000台； （2）解：设B组每小时检测a台，则A组每小时台， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：B组每小时检测工业机器人160台． 【题型5 分式方程应用－行程问题】 18.2026年，中国在海陆空多维交通与国防领域的“提速”成果密集落地，全国两会期间披露，CR450动车组正在进行提速攻坚实验，计划年内定型，该次列车采用永磁牵引、碳纤维轻量化等技术进行提速，北京至上海有望比原来减少1小时，已知京沪高铁全长1320千米，原来动车组的提速为330千米每小时，求提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快多少千米？ 【答案】提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快110千米． 【分析】设提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快千米．根据北京至上海有望比原来减少1小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快千米． 经检验：是原方程的解 答：提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快110千米． 19.请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 【答案】(1) (2)小明今天的速度为 【分析】（1）由小明今天的速度是原来速度的1.2倍，可得出小明今天的速度为 ； （2）利用时间路程速度，结合小丽比小明多用，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵小明原来的速度为，今天小明速度是平时骑车速度的1.2倍， ∴小明今天的速度为 ． （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴ ． 答：小明今天的速度为． 20.湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力． 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小张跑步的平均速度； (2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由． 【答案】(1)小张跑步的平均速度为180米/分 (2)小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由见解析 【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为米/分，根据时间路程速度结合骑车的时间比跑步的时间少用了5分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）根据时间路程速度可求出小张跑步及骑车的时间，再求出总耗时29分钟，然后与30分钟比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小张跑步的平均速度为180米/分； （2）解：小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由如下： 小张跑步的时间为：（分钟），骑车的时间为：（分钟）， ∵（分钟），， ∴小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场． 21.昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 【答案】甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟，然后表示出各自的时间，再由“甲跑完这段路程比乙少用1分钟”建立分式方程求解． 【详解】解：设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟， 根据题意列方程得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 则 答：甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟． 【题型6 分式方程应用-销售利润问题】 22．为落实全民健身国家战略，丰富广大群众元旦期间的体育生活，展现市民健康向上的精神风貌，某市第四十届元旦越野跑于2025年1月1日在市体育中心门前举行，某校准备为学生制作，两种纪念章．经了解，每个种纪念章比每个种纪念章多4元，用1000元订制种纪念章的数量与用800元订制种纪念章的数量相同，，两种纪念章每个各为多少元？ 【答案】每个种纪念章和种纪念章分别为20元和16元 【分析】本题主要考查了分式方程的运用，理解数量关系，掌握分式方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，设种纪念章为元/件，则种纪念章为元/件，由此列式求解即可． 【详解】解：设种纪念章为元/件，则种纪念章为元/件， 根据题意得：， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ∴， 答：每个种纪念章和种纪念章分别为20元和16元． 23．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 【答案】甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元，根据用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样列出方程，从而可解决问题． 【详解】解：设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元． 24．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家的喜欢．某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品，已知每件冰墩墩的进价比每件雪容融的进价贵10元，用350元购进冰墩墩的件数恰好与用300元购进雪容融的件数相同．求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元？ 【答案】冰墩墩每件的进价是70元，雪容融每件的进价是60元 【分析】设冰墩墩每件的进价是元，则雪容融每件的进价是 元，可得： ， 解方程并检验可得冰墩墩每件的进价是70元，则雪容融每件的进价是60元． 【详解】解：设冰墩墩每件的进价是元，则雪容融每件的进价是 元，可得： ， 解得 ， 经检验是方程的根，也符合题意， ， 所以冰墩墩每件的进价是70元，则雪容融每件的进价是60元． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据条件列出分式方程是解题的关键． 25．“带动三亿人参与冰雪运动”是北京携手张家口申办2022年冬奥会时，中国向国际社会许下的郑重承诺．为此某俱乐部开设了滑雪营，准备购买一批运动器材，已知甲类器材比乙类器材单价低120元，用20000元购买甲类器材与用30000元购买乙类器材的数量相同，求甲类器材的单价为多少元？ 【答案】甲器材单价为240元 【分析】设甲类器材的单价为x元，则乙类器材的单价为(x + 120)元，由题意：用2000元购买甲类器材与用30000元购买乙类器材的数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】设甲类器材的单价为x元，则乙类器材的单价为(x + 120)元， 由题意得： 解得：x= 240， 经检验，x = 240是原分式方程的解，且符合题意， 答：甲类的单价为240元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26．为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用4000元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用6400元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元．问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？ 【答案】第一批口罩每包的价格是25元，公司前后两批一共购进480包口罩 【分析】设第一批口罩每包的价格是x元，则第二批口罩每包（x−5）元，根据数量＝总价÷单价，结合第二批口罩的数量是第一批的2倍，即可得出关于x的分式方程，解出检验后即可得出结论． 【详解】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包元．根据题意，得 ． 解得． 经检验，是所列方程的根． 则（包）． 答：第一批口罩每包的价格是25元，公司前后两批一共购进480包口罩． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，抓住第二批口罩的数量是第一批的2倍，找到相等关系是解决问题的关键． 【题型7 分式方程应用－其他问题】 27．王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】(1) (2) 燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元. 【分析】（1）参照题干中燃油车每千米行驶费用的计算方法，用总行驶费用除以续航里程即可得到代数式； （2）先化简燃油车每千米行驶费用的代数式，再根据题干给出的费用差列分式方程求解得到的值，再代入计算得到两款车的每千米行驶费用． 【详解】（1）解：由题意得，新能源车满电总费用为（元）， 续航里程为千米， 因此新能源车每千米行驶费用为元； （2）解：化简燃油车每千米行驶费用：， 根据题意列方程得：， 整理得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 燃油车每千米行驶费用为（元）， 新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.12元． 28．列方程解下列问题： 重庆市第十四届全民健身运动会参赛人数超万人，运动会设置了若干个大项目，下面又设了若干个小项目，已知小项目数量比大项目数量的7倍多14项，比大项目数量的8倍少10项． (1)求第十四届全民健身运动会设置的大、小项目各有多少个？ (2)其中的热门项目“骑跑两项”第十四届有120人参赛，第十五届参赛人数比第十四届增加了56人，其中第十五届参赛队伍比第十四届增加了4支，平均每支队伍的人数增了，求第十五届有多少支参赛队伍？ 【答案】(1)大项目有24个，小项目有182个． (2)第十五届有16支参赛队伍． 【分析】（1）设大项目的数量为个根据题意列方程求解即可； （2）设第十四届有支参赛队伍，根据题意列分式方程求解即可，注意要验根． 【详解】（1）解：设大项目的数量为个， 根据题意得， 解得， 则， 答：大项目有24个，小项目有182个． （2）解：设第十四届有支参赛队伍． 根据题意得， 化简得， ， 移项并求解： ， ， ， ， 经检验，是分式方程的根， ， 答：第十五届有16支参赛队伍． 29．综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 【答案】(1)再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样 (2)店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确处理题中的数量关系是解答本题的关键． （1）先算出七分糖奶茶的初始甜度和全糖奶茶的甜度，然后设加入糖的质量为未知数，根据加入糖后两者甜度相等列方程求解； （2）分别计算出调整后奶茶的甜度和五分糖奶茶的甜度，再进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，七分糖奶茶的含糖量为克； 全糖奶茶的甜度为， 设往七分糖奶茶中再加入x克糖能跟全糖奶茶甜度一样，此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为克，奶茶总质量克，其甜度为， 根据甜度相等得： 解得， 经检验，是原方程的根， 答：再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样； （2）解：五分糖奶茶的甜度为； 三分糖奶茶的含糖量为克，加入克糖后，含糖量变为克，奶茶总质量为克，此时甜度为； ∵， ∴， 所以，店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度． 30．某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1) (2)人 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程重难点题型汇编 （七大题型） 【题型1 分式方程定义】................................................................................................................1 【题型2 解分式方程】....................................................................................................................1 【题型3 根据分式方程解的情况求值】......................................................................................2 【题型4 分式方程应用－工程问题】................................................................................................2 【题型5 分式方程应用－行程问题】................................................................................................4 【题型6 分式方程应用－销售问题】................................................................................................5 【题型7 分式方程应用－其他问题】................................................................................................6 【题型1 分式方程定义】 1．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列各式中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 4．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2 解分式方程】 5.解方程： (1)； (2)． 6.解方程： (1) (2) 7.解方程： (1)； (2)． 8.解下列方程： (1)； (2)． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 9．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 10．解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 11．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 12．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【题型4 分式方程应用－工程问题】 13．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 14．某工厂有A，B型机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人2小时搬运的化工原料和B型机器人3小时搬运的化工原料重量相同． (1)两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ (2)两种机器人系统升级优化后，A型机器人每小时增加的搬运化工原料重量是B型机器人每小时增加的搬运化工原料重量的1.5倍．工厂里有一批共480千克的化工原料需要搬运．升级后，A型机器人搬运了一半，另外一半由B型机器人搬运，两种类型的机器人一共用了5小时完成，求升级后A型机器人每小时可以搬运多少千克化工原料． 15．为助力云南乡村振兴，完善滇西乡村交通基础设施，甲，乙两个工程队共同修建一条乡村惠民公路，甲队每天比乙队多修米，甲队修建米所用的时间与乙队修建米所用的时间相等，求甲，乙两队每天各修多少米． 16．2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 17．某科技公司生产服务和工业两种机器人，去年共生产2000台．今年生产线优化升级，服务机器人产量预计比去年增加，工业机器人产量预计比去年增加，则两种机器人总产量预计将比去年共增加380台． (1)求今年服务机器人和工业机器人的产量预计各是多少台？ (2)今年出厂检测时，实际产量与预计相同，公司安排两组工程师同时开始检测工作：A组负责检测服务机器人，B组负责检测工业机器人．已知A组每小时检测效率是B组的1.5倍，最终A组比B组提前30分钟完成任务．问B组每小时检测工业机器人多少台？ 【题型5 分式方程应用－行程问题】 18.2026年，中国在海陆空多维交通与国防领域的“提速”成果密集落地，全国两会期间披露，CR450动车组正在进行提速攻坚实验，计划年内定型，该次列车采用永磁牵引、碳纤维轻量化等技术进行提速，北京至上海有望比原来减少1小时，已知京沪高铁全长1320千米，原来动车组的提速为330千米每小时，求提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快多少千米？ 19.请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 20.湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力． 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小张跑步的平均速度； (2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由． 21.昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 【题型6 分式方程应用-销售利润问题】 22．为落实全民健身国家战略，丰富广大群众元旦期间的体育生活，展现市民健康向上的精神风貌，某市第四十届元旦越野跑于2025年1月1日在市体育中心门前举行，某校准备为学生制作，两种纪念章．经了解，每个种纪念章比每个种纪念章多4元，用1000元订制种纪念章的数量与用800元订制种纪念章的数量相同，，两种纪念章每个各为多少元？ 23．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 24．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家的喜欢．某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品，已知每件冰墩墩的进价比每件雪容融的进价贵10元，用350元购进冰墩墩的件数恰好与用300元购进雪容融的件数相同．求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元？ 25．“带动三亿人参与冰雪运动”是北京携手张家口申办2022年冬奥会时，中国向国际社会许下的郑重承诺．为此某俱乐部开设了滑雪营，准备购买一批运动器材，已知甲类器材比乙类器材单价低120元，用20000元购买甲类器材与用30000元购买乙类器材的数量相同，求甲类器材的单价为多少元？ 26．为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用4000元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用6400元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元．问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？ 【题型7 分式方程应用－其他问题】 27．王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 28．列方程解下列问题： 重庆市第十四届全民健身运动会参赛人数超万人，运动会设置了若干个大项目，下面又设了若干个小项目，已知小项目数量比大项目数量的7倍多14项，比大项目数量的8倍少10项． (1)求第十四届全民健身运动会设置的大、小项目各有多少个？ (2)其中的热门项目“骑跑两项”第十四届有120人参赛，第十五届参赛人数比第十四届增加了56人，其中第十五届参赛队伍比第十四届增加了4支，平均每支队伍的人数增了，求第十五届有多少支参赛队伍？ 29．综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 30．某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $