专题02 分式运算重难点题型汇编（九大题型）（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题02 分式运算重难点题型汇编 （九大题型） 【题型1 分式的乘法运算】..........................................................................................................1 【题型2 分式的除法运算】..........................................................................................................2 【题型3 分式的乘除法混合运算】..............................................................................................3 【题型4 同分母分式的加减】......................................................................................................6 【题型5 最简公分母】.................................................................................................................7 【题型6 异分母分式的加减】......................................................................................................9 【题型7 分式的加减法的实际应用】..........................................................................................11 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】......................................................................................14 【题型9 分式化简求值】..............................................................................................................15 【题型1 分式的乘法运算】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘法即可。 【详解】解：． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据分式乘法法则计算，再约分即可得到结果。 【详解】解：原式 ． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可。 【详解】解：． 4．化简的结果为______。 【答案】 【分析】先对原式的分子运用平方差公式进行因式分解，再根据分式乘法运算法则约分，即可得到化简结果。 【详解】解：． 5．化简： 的结果为_____________。 【答案】 【分析】此题是分式的乘法运算。先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简。 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型2 分式的除法运算】 6．计算：______。 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式分母进行因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。 【详解】解： ． 7．化简：______。 【答案】 【分析】先对分子分母进行因式分解，再根据分式乘除法的运算法则计算即可。 【详解】解：原式． 8．计算：________ 【答案】 【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果。 【详解】解： ． 9．计算：______ 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再对多项式因式分解，最后约分得到计算结果。 【详解】解： ． 10．计算的结果是______。 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，根据分式的除法法则计算即可。 【详解】解： , 故答案为：． 【题型3 分式的乘除法混合运算】 11.计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答的关键． （1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）按照分式乘除运算法则，结合因式分解进行计算即可； （3）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （4）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 12.计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1）先把除法运算化为乘法运算，再进行计算，约分，即可求解； （2）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解； （3）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ． （2） 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【题型4 同分母分式的加减】 15．化简__________。 【答案】0 【分析】先将原式中两个分式变形为同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算。 【详解】解： 16．计算的结果是________。 【答案】 【详解】解：． 17．计算的结果是______。 【答案】a 【分析】根据同分母分式的减法法则计算，再因式分解约分得到最简结果。 【详解】解：． 18．计算的结果是______。 【答案】2 【分析】根据同分母分式的减法法则计算。 先对分子因式分解，再约分得到结果。 【详解】解：原式 ． 19．计算的结果是______。 【答案】/ 【分析】先化为同分母，利用同分母分式的加减法法则计算即可。 【详解】 ． 20．当时，计算：______。 【答案】2018 【分析】本题涉及分式的加减运算、平方差公式，通过分式加减法则化简式子，再代入求值。先根据同分母分式的减法法则计算，再利用平方差公式因式分解，最后约分，再代入求值。 【详解】 当时， ． 故答案为：． 【题型5 最简公分母】 21．分式和的最简公分母为______． 【答案】 【分析】最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，按照定义计算即可． 【详解】解：分式和的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 22．分式，，的最简公分母是______________． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是掌握最简公分母并能熟练运用求解． 根据最简公分母的求法，需将各分母因式分解后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 其中可因式分解为， 因此所有分母的因式为和， 最简公分母为， 故答案为：． 23．分式，的最简公分母是_________． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式，的最简公分母是， 故答案为：． 24．分式，，的最简公分母是_________________． 【答案】． 【分析】本题考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 先对分式的分母因式分解，然后确定最简公分母． 【详解】解：， ， ， ∴最简公分母是：． 故答案为：． 25．分式、的最简公分母是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式． 根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是：， 故答案为：． 【题型6 异分母分式的加减】 26.计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算先看是同分母加减还是异分母加减，异分母加减关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 先将原式通分后化成同分母的分式再进行加减运算，最后约分化简成最简分式． 【详解】解： ． 27.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据异分母加减运算法则计算即可； （）根据异分母加减运算法则计算即可； （）根据异分母加减运算法则计算即可； （）根据异分母加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 28.计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查了初中数学中的分式加减运算、通分、因式分解等知识点，解题的关键在于正确确定公分母、进行通分和化简，同时注意符号处理和约分，确保每一步运算的准确性． （1）先通分，再进行同分母分式的加法运算； （2）先通分，再进行同分母分式的加法运算； （3）先通分，再进行同分母分式的加法运算； （4）先把分解因式，再通分，然后进行同分母分式的加法运算； 【小题1】解：原式； 【小题2】原式； 【小题3】原式； 【小题4】原式． 29.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算． （1）对分母进行因式分解后，约分，即可得到结果； （2）对分子进行因式分解后，进行约分，即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 分式的加减法的实际应用】 30．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质和运用知识解决实际问题的能力．增加前的窗户面积与地板面积的比值减去增加后的窗户面积与地板面积的比值，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，， 即． 所以他这样做采光条件变好了． 31．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据题意可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再相加即可． 【详解】解：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队完成一项工程需天， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工程的， 故选：D 32．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 33．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 【答案】(1)甲的平均价格是，乙的平均价格是 (2)所以乙的购买方式平均单价低． 【分析】此题考查了列代数式，分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． （1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价； （2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算． 【详解】（1）解：甲的平均价格是（元） 乙的平均价格是：（元） （2）解：甲－乙  即 因为（）， 所以， 所以，即 所以． 所以乙的购买方式平均单价低． 34．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低． 【答案】（1）；（2）嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格 【分析】本题考查分式减法的实际应用： （1）作差法比较大小即可； （2）求出两人购买商品的平均价格，作差法比较大小即可． 【详解】解：（1）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，嘉嘉两次所购买商品的平均价格为：（元），琪琪两次购买该商品的平均价格为：（元） ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格． 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 35．化简，． 【答案】 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果。 【详解】解：原式 36.计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可。 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 37．化简：． 【答案】 【分析】根据分式混合运算法则，进行计算即可。 【详解】解： ． 38．化简：． 【答案】 【分析】先把括号内的式子通分，再把除法变为乘法，约分即可。 【详解】解： ． 39．化简：． 【答案】 【分析】先算括号里面的加法，再算除法，即可求解。 【详解】解： ． 【题型9 分式化简求值】 40.先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： ． 把代入，得． 41.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 42.先化简，再求值：，在，，中选取适当的一个作为x的值代入求分式的值． 【答案】，当时，原式． 【分析】先根据分式混合运算法则化简，得出最简结果，再根据分式有意义的条件得出，代入求值即可． 【详解】解： = = =， ∵有意义， ∴，， ∴，， ∴在，，中只能取， 当时，原式． 43.已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：原式 ， 由得， 原式． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式运算重难点题型汇编 （九大题型） 【题型1 分式的乘法运算】...........................................................................................................1 【题型2 分式的除法运算】...........................................................................................................1 【题型3 分式的乘除法混合运算】...............................................................................................2 【题型4 同分母分式的加减】.......................................................................................................2 【题型5 最简公分母】..................................................................................................................3 【题型6 异分母分式的加减】.......................................................................................................3 【题型7 分式的加减法的实际应用】............................................................................................3 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】........................................................................................5 【题型9 分式化简求值】..............................................................................................................5 【题型1 分式的乘法运算】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．化简的结果为______。 5．化简： 的结果为_____________。 【题型2 分式的除法运算】 6．计算：______。 7．化简：______。 8．计算：________ 9．计算：______ 10．计算的结果是______。 【题型3 分式的乘除法混合运算】 11.计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 12.计算： (1)； (2)； (3)． 13.计算： (1)； (2)． 14.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 同分母分式的加减】 15．化简__________。 16．计算的结果是________。 17．计算的结果是______。 18．计算的结果是______。 19．计算的结果是______。 20．当时，计算：______。 【题型5 最简公分母】 21．分式和的最简公分母为______． 22．分式，，的最简公分母是______________． 23．分式，的最简公分母是_________． 24．分式，，的最简公分母是_________________． 25．分式、的最简公分母是________． 【题型6 异分母分式的加减】 26.计算：． 27.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28.计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 29.计算： (1)； (2)． 【题型7 分式的加减法的实际应用】 30．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 31．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 32．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 33．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 34．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低． 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 35．化简，． 36.计算： (1); (2)． 37．化简：． 38．化简：． 39．化简：． 【题型9 分式化简求值】 40.先化简，再求值：，其中 41.先化简，再求值：，其中． 42.先化简，再求值：，在，，中选取适当的一个作为x的值代入求分式的值． 43.已知，求代数式的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $