专题01 分式的计算与化简（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 聚焦分式运算全流程，以题型分层构建从概念到探究的逻辑体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式的化简|4题|考查最简分式判断、定义新运算|从概念辨析到“巧分式”新定义，夯实分式基本性质| |分式的加减乘除|6题|含选择、填空、解答，覆盖运算法则|承接化简，训练通分、约分等核心运算技能| |分式的化简及求值|5题|结合条件求值，含字母参数|综合化简与代入，培养代数变形能力| |分式运算问题的探究|6题|含新定义、规律探究、多问解答|深化运算应用，发展逻辑推理与创新意识|

专题01 分式的计算与化简 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的化简 1 题型二、分式的加减乘除（重点） 1 题型三、分式的化简及求值（重点） 2 题型四、分式运算问题的探究（难点） 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式的化简 1.下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）化简：_____． 4.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 题型二、分式的加减乘除 1．（2026·河南平顶山·二模）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2.（2026·河南三门峡·一模）化简 的结果是（   ） A． B． C． D． 3.（2026·河南郑州·模拟预测）化简：______． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______（填序号）． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）计算： (1) (2) 题型三、分式的化简及求值 1.（25-26八年级下·山西临汾·期中）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·山东济宁·二模）已知，则代数式的值为（  ） A． B． C．4 D．2 3.（2026·湖北武汉·二模）当时，分式的值是______． 4．（2026·四川成都·二模）已知，则代数式的值是______． 5.（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）先化简，再从，1，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 题型四、分式运算问题的探究 1．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）先化简，再选取合适的整数代入，下列说法正确的是（   ） A．化简结果为可取2 B．化简结果为可取0 C．化简结果为可取1 D．化简结果为可取2 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）给定，定义．例如．判断以下结论正确的个数有（   ） ①；②；③若的值为整数，则满足条件的整数共有12个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级上·上海·期末）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如果两个分式与的和为常数，且是整数，则称是的“和整分式”，称为“和整值”．例如：分式，，所以，是的“和整分式”，“和整值”．已知分式，，是的“和整分式”，且“和整值”．当为正整数时，分式的值为正整数，则的值______． 5．（25-26八年级下·四川内江·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 6．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”.求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 1．（25-26八年级下·重庆·期中）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津滨海新区·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·山东泰安·期中）已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 6．（2026·广东中山·模拟预测）计算：______． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是_______（填序号）． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，其中，则P、Q的大小关系是__________． 10．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 11．（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算或化简： (1)； (2)． 12．已知，求分式的值． 13．（广东深圳市南二外等校2025-2026学年第二学期九年级测试数学试卷）先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 14．（25-26八年级下·河南周口·期中）我们定义：如果两个分式A与B的差为整数k，则称A是B的“差整分式”，整数k称为A关于B的“差整值”．例如分式，，，则A是B的“差整分式”，A关于B的“差整值”为2． (1)已知分式，，判断C是不是D的“差整分式”．若不是，请说明理由；若是，求出C关于D的“差整值”． (2)已知分式，，M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是，求P所代表的代数式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式的计算与化简 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的化简 1 题型二、分式的加减乘除（重点） 2 题型三、分式的化简及求值（重点） 5 题型四、分式运算问题的探究（难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式的化简 1.下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，判断各选项分子分母是否存在除1以外的公因式，即可得到答案． 【详解】解：A、无法分解因式，分子与分母没有除1以外的公因式，则是最简分式； B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； C、，分子分母含有公因式，不是最简分式； D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 2.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质，给等式右边的分子分母同乘，即可求出被遮挡部分的式子. 【详解】解：设*部分的式子为，，且， 根据分式的基本性质， 给等式的分子分母同乘得：， ， 即*部分的式子为， 故选B. 3.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）化简：_____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解： ． 4.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 题型二、分式的加减乘除 1．（2026·河南平顶山·二模）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2.（2026·河南三门峡·一模）化简 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通分，再进行分式加减运算． 【详解】解： 故选：D． 3.（2026·河南郑州·模拟预测）化简：______． 【答案】 【分析】根据异分母分式的减法计算即可． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】利用运算法则对每个式子进行计算，然后判断对错． 【详解】解：①计算 原式，∴①正确． ②计算 原式，∴②错误． ③计算； 原式，∴③错误． ④计算； 原式，∴④错误． ⑤计算 原式，∴⑤正确． 综上，正确的是①⑤． 故答案是：①⑤． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先通分再合并分子化简后约分； （2）第二题先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三、分式的化简及求值 1.（25-26八年级下·山西临汾·期中）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2.（2026·山东济宁·二模）已知，则代数式的值为（  ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】先对所求分式因式分解化简，再利用已知条件得到的值，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 3.（2026·湖北武汉·二模）当时，分式的值是______． 【答案】 【分析】先算括号内的同分母分式的减法，再算分式乘法，再把代入即可求解． 【详解】解： ， 将代入可得，原分式的值为． 4．（2026·四川成都·二模）已知，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题先根据分式的运算法则化简原式，再结合已知等式变形，整体代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， 移项得：， 将代入， 可得：原式． 5.（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）先化简，再从，1，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】先按照分式的混合运算，对原式进行化简，再根据分式有意义的条件，确定x的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 当时， ． 题型四、分式运算问题的探究 1．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）先化简，再选取合适的整数代入，下列说法正确的是（   ） A．化简结果为可取2 B．化简结果为可取0 C．化简结果为可取1 D．化简结果为可取2 【答案】B 【分析】先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再根据分式有意义的条件确定x的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：原式 根据分式有意义的条件 分母不能为0 ，除式不能为0， 可得 即且 逐一判断选项∶ A．时，除式为0，分式无意义，错误； B．化简结果为，，满足且，符合要求．正确； C．化简结果错误，错误； D．化简结果错误，且时，分式无意义，错误． 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）给定，定义．例如．判断以下结论正确的个数有（   ） ①；②；③若的值为整数，则满足条件的整数共有12个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键． 序列定义为周期函数，周期为，计算前几项可得模式；结论①直接计算验证；结论②利用周期性和乘积性质，每项，求和得；结论③化简表达式为多项式与分式，要求分式为整数，需为的约数，但排除后仅得个整数，与结论声称个不符. 【详解】解：∵ ，， ∴ ； ； ； ；故结论①正确， ，即， ，即， 故序列周期为6，即， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵，，，， ∴， 要求值为整数，则需为的约数，即，，，，，， 得，，，，，，，，，，，， 由于， 故有个整数，与结论中个不符，故③错误； 综上，正确结论为①和②，共个， 故选C． 3．（25-26七年级上·上海·期末）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如果两个分式与的和为常数，且是整数，则称是的“和整分式”，称为“和整值”．例如：分式，，所以，是的“和整分式”，“和整值”．已知分式，，是的“和整分式”，且“和整值”．当为正整数时，分式的值为正整数，则的值______． 【答案】1 或 2 【分析】本题考查了分式的加法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． 根据题意可得，再去分母，整理即可解得；并化简 D，再根据 D 的值为正整数，列出方程求解 x，检验即可． 【详解】解：∵C 是 D 的和整分式，且和整值， ∴． 即 ． 通分得 ． 则 ． 解得 ． 于是 （其中 ）． ∵ D 的值为正整数，x 为正整数， ∴ 或 ． 解得：或． 故答案为：或． 5．（25-26八年级下·四川内江·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 【答案】(1)是， (2) (3) 【分析】（1）根据“和整分式”的定义求，再根据分式的加减法法则计算，并判断； （2）根据“和整分式”的定义可得，再去分母，并整理，然后根据对应系数相等得出答案； （3）先确定，再根据题意讨论可得答案． 【详解】（1）解：是，理由如下：∵ ， ∴A与B是和整分式，“和整值”； （2）解：∵C与D是“和整分式”，且“和整值”， ∴， 去分母，得， 整理，得， ∴， 解得； （3）解：∵，且x为正整数，分式D也为正整数， ∴当或，分式D也为正整数， 解得或（舍）， 所以． 6．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”.求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【答案】(1)2 (2)常数 (3)的值为：3或7或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式相加并计算即可； （2）将两式相加并计算，根据E与F关于C的“合值”为1求得a的值即可． （3）根据与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，可得，从而得到，再由分式的值为正整数，可得取1或5或，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 与关于的“合值”为：2； 故答案为：2； （2），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， 所以能与分母进行约分，且约分后分子为， 若与约分，则，解得， 时，，符合题意； 若与约分，则，解得（舍去）； ； （3），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ， ， ， 分式的值为正整数，为整数， 是的整数倍， 取1或5或， 此时的值为：3或7或． 1．（25-26八年级下·重庆·期中）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“分子与分母没有公因式的分式是最简分式”，对各选项分别判断即可得到结果． 【详解】解：对选项A：分母无法分解因式，分子与没有公因式，不能约分，所以是最简分式． 对选项B：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项C：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项D：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 3．（2026·天津滨海新区·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分合并化简即可得到结果． 【详解】原式 ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，约分化简分式后，再代入计算结果． 【详解】解：∵， 又， ∴原式． 5．（20-21八年级上·山东泰安·期中）已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 6．（2026·广东中山·模拟预测）计算：______． 【答案】 【详解】解：. 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是_______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：①， 故①计算结果错误； ②， 故②计算结果错误； ③， 故③计算正确； ④， 故④计算结果错误． 故答案为：③． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，其中，则P、Q的大小关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法的应用，作差法比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 通过作差法比较P和Q的大小，计算并化简，结合条件判断计算结果的符号，即可解答． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据可得，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式． 13．（广东深圳市南二外等校2025-2026学年第二学期九年级测试数学试卷）先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确根据分式的混合运算法则化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可，要注意取2，3时分式无意义，故只能取1． 【详解】解： ； 取2，3时分式无意义， ∴当时，原式 14．（25-26八年级下·河南周口·期中）我们定义：如果两个分式A与B的差为整数k，则称A是B的“差整分式”，整数k称为A关于B的“差整值”．例如分式，，，则A是B的“差整分式”，A关于B的“差整值”为2． (1)已知分式，，判断C是不是D的“差整分式”．若不是，请说明理由；若是，求出C关于D的“差整值”． (2)已知分式，，M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是，求P所代表的代数式． 【答案】(1)是； (2) 【分析】（1）先计算，再根据结果即可得解； （2）先根据题意得出，进而得到，最后进行整理即可． 【详解】（1）解：C是D的“差整分式”， 理由：∵， ∴C关于D的“差整值”为， ∴C是D的“差整分式”，C关于D的“差整值”为． （2）解：∵M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是， ∴， ∴， 整理得． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $