专题5.3 分式方程（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题5.3 分式方程 教学目标 1.理解分式方程的定义，能区分整式方程与分式方程； 2.掌握解分式方程的基本步骤，熟练会去分母化为整式方程； 3.牢记解分式方程必须检验，能正确识别增根并会列、解简单的分式方程实际应用题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握分式方程的解法步骤； （2）解分式方程必须检验 （3）列简单分式方程解决实际问题。 2.难点 （1）理解分式方程产生增根的原因； （2）准确进行去分母运算，不漏乘常数项； （3）实际应用题找准等量关系，正确设数列方程 知识点01 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数。 （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）。 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。 （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。 【即学即练】 。1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【即学即练】 1．解分式方程：． 2．解方程： (1)； (2)． 知识点03 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 与分式方程有关应用题的常见类型： 【即学即练】 1．在推进乡村振兴中，某村采用“线上直播＋线下批发”两种方式销售本地特色沃柑．据统计，每小时销售的沃柑数量线上直播比线下批发多千克，且线上直播销售千克所用时间与线下批发销售千克所用时间相等．求线下批发每小时销售沃柑多少千克． 2．京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为，朝阳站至怀柔南站运营里程约为，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快，求该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长． 题型1分式方程定义 【典例1】下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 解分式方程 【典例2】解下列分式方程： (1)； (2)． 【变式1】解分式方程：． 【变式2】解分式方程： (1)； (2)． 【变式3】解分式方程： (1)； (2)． 题型3 根据分式方程解的情况求值 【典例3】若关于的分式方程有增根，则________． 【变式1】已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 【变式2】已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【变式3】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 题型4 分式方程应用-工程问题 【典例4】若关于的分式方程有增根，则________． 【变式1】已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 【变式2】已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【变式3】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 题型5 分式方程应用-行程问题 【典例5】广湛高铁2025年12月22日正式开通营运，全长约为，一列字头高速动车的平均速度是字头动车的倍，运行时间比字头动车少小时．求该字头高速动车的平均速度． (1)设字头动车的速度为，请用含的式子将表格补充完整． 路程（） 速度 时间（h） D字头动车 420 ② G字头高速动车 420 ① ③ 填空：①________；②________；③________； (2)请列出方程完成本题解答． 【变式1】正在建设的京沪高铁二线经过我市，预计2028年6月贯通运营，将为我们的出行带来便捷．已知我市到南京的路程约为，高铁贯通后一列动车组列车的平均速度是普快列车的2倍，运行时间比普快列车少，求该列动车组列车的平均速度． 【变式2】八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 【变式3】自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前1分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距12米的大柳树下，比赛枪声响后，先到是冠军． 蚂蚁 题型6 分式方程应用-销售问题 【典例7】年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）； (2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ 【变式1】“给垃圾一个分类的归宿，还我们一个清洁的世界”，柘城县某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到种类型的垃圾桶比种类型的垃圾桶贵元，用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同．求购买一个种类型的垃圾桶和购买一个种类型的垃圾桶各需要多少元？ 【变式2】2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用800万元购进A种机器人的数量是用500万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【变式3】某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用元购进一批这种T恤衫，由于市场供不应求，该店铺又用元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵元． (1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率为（除去元的快递费用），那么每件T恤衫的标价是多少元？ 题型7 分式方程应用-其他问题 【典例7】2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【变式1】嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 【变式2】每年的12月底至1月初，是韶关皇帝柑的最佳品尝期，某果园计划种植皇帝柑，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加6万千克，种植面积可减少30亩，求改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是多少万千克？ 【变式3】“你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 1．下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 2．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 4．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若，则________． 8．若方程的解是非负数，则的取值范围___________． 9．解方程： (1)； (2)． 10．广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 11．新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度． 12．2020年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情，打破了我们宁静的生活，为了预防新型冠状病毒肺炎，人们已经习惯出门戴口罩．某口罩生产企业在若干天内加工120万个口罩（每天生产数量相同），在实际生产时，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数是原来的1.5倍，从而提前2天完成任务，问该企业原计划每天生产多少万个口罩？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 分式方程 教学目标 1.理解分式方程的定义，能区分整式方程与分式方程； 2.掌握解分式方程的基本步骤，熟练会去分母化为整式方程； 3.牢记解分式方程必须检验，能正确识别增根并会列、解简单的分式方程实际应用题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握分式方程的解法步骤； （2）解分式方程必须检验 （3）列简单分式方程解决实际问题。 2.难点 （1）理解分式方程产生增根的原因； （2）准确进行去分母运算，不漏乘常数项； （3）实际应用题找准等量关系，正确设数列方程 知识点01 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数。 （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）。 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。 （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。 【即学即练】 。1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 2．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 知识点02 解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【即学即练】 1．解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【详解】解：两边同乘以得， ， 解得， 检验：当时， ， 为分式方程增根， 故原分式方程无解． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 原分式方程无解 【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验即可； （2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验所得值是否使原方程分母不为0，若使分母为0则为增根，原方程无解． 解题的关键在于正确掌握解分式方程步骤，以及注意检验所得值是否是方程的解． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，， 因此原分式方程的解为； （2）解： ， 检验：当时，， 因此是增根，原分式方程无解． 知识点03 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 与分式方程有关应用题的常见类型： 【即学即练】 1．在推进乡村振兴中，某村采用“线上直播＋线下批发”两种方式销售本地特色沃柑．据统计，每小时销售的沃柑数量线上直播比线下批发多千克，且线上直播销售千克所用时间与线下批发销售千克所用时间相等．求线下批发每小时销售沃柑多少千克． 【答案】千克 【分析】设线下批发每小时销量为千克，根据“线上线下销售时间相等”列分式方程，求解并检验后得到结果． 【详解】解：设线下批发每小时销售沃柑千克，则线上每小时销售千克， 根据题意可得，， 解得， 当，，则是原方程的解， 故线下批发每小时销售沃柑千克． 2．京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为，朝阳站至怀柔南站运营里程约为，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快，求该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长． 【答案】该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时 【分析】设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时，根据题意列方程求解即可． 本题考查分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时． 题型1分式方程定义 【典例1】下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可得出答案． 【详解】A、是整式方程，不符合题意； B、是整式方程，不符合题意； C、是关于的整式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的识别，解题的关键是掌握分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可 【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项符合题意； C．是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．是代数式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可，正确理解分式方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，含有分式，是分式方程，符合题意； 故选：． 【变式3】下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B 题型2 解分式方程 【典例2】解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为； （2）解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 【变式1】解分式方程：． 【答案】无解 【分析】先去分母,得到一元一次方程，解这个一元一次方程，求得，再进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解． 【变式2】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】分式方程去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得到， 解得 经检验，是分式方程的根． （2）解： 去分母得到， 解得， 经检验是增根， ∴原分式方程无解． 【变式3】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 原分式方程无解 【详解】（1）解：， ， ， 经检验是原分式方程的解； （2）解：， ， ， 经检验是增根， 所以原分式方程无解． 题型3 根据分式方程解的情况求值 【典例3】若关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】先根据增根的定义确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求解，排除不成立的结果即可得到的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得或， ， 方程两边同乘最简公分母，得， 将代入上式，得， 整理得，解得； 将代入上式，得， 整理得，等式不成立，故无解； 综上所述，． 【变式1】已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据分式方程的增根求参数的值，先将原分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程有增根得到增根的取值，再代入整式方程求解即可得到的值． 【详解】解：， 去分母，得， 展开并整理，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， ∴的值为． 【变式2】已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求解分式方程，得到含的解的表达式，再根据分式方程的解为负数，且分母不为零，列出关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】解：， 将方程变形为， 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 分式方程的解为负数， ，且， 即，且， 解得， 解得， 已经满足， 的取值范围是． 【变式3】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数且分母不为零，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程变形为 去分母，两边同乘得： 整理得： 解得： 由分式方程的解为正数，可得，且即 解得：且． 题型4 分式方程应用-工程问题 【典例4】若关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】先根据增根的定义确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求解，排除不成立的结果即可得到的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得或， ， 方程两边同乘最简公分母，得， 将代入上式，得， 整理得，解得； 将代入上式，得， 整理得，等式不成立，故无解； 综上所述，． 【变式1】已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据分式方程的增根求参数的值，先将原分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程有增根得到增根的取值，再代入整式方程求解即可得到的值． 【详解】解：， 去分母，得， 展开并整理，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， ∴的值为． 【变式2】已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求解分式方程，得到含的解的表达式，再根据分式方程的解为负数，且分母不为零，列出关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】解：， 将方程变形为， 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 分式方程的解为负数， ，且， 即，且， 解得， 解得， 已经满足， 的取值范围是． 【变式3】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数且分母不为零，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程变形为 去分母，两边同乘得： 整理得： 解得： 由分式方程的解为正数，可得，且即 解得：且． 题型5 分式方程应用-行程问题 【典例5】广湛高铁2025年12月22日正式开通营运，全长约为，一列字头高速动车的平均速度是字头动车的倍，运行时间比字头动车少小时．求该字头高速动车的平均速度． (1)设字头动车的速度为，请用含的式子将表格补充完整． 路程（） 速度 时间（h） D字头动车 420 ② G字头高速动车 420 ① ③ 填空：①________；②________；③________； (2)请列出方程完成本题解答． 【答案】(1)①；②；③ (2)， 【分析】本题考查了分式方程的应用－行程问题，解题关键是找出等量关系列方程． （1）根据路程速度时间解答即可； （2）设D字头动车的速度为，则该列动车组列车的平均速度为，根据字头高速动车的运行时间比字头动车少小时列方程求解即可； 【详解】（1）解：设D字头动车的速度为，则时间为：； ∵字头高速动车的平均速度是字头动车的倍， 则字头高速动车的平均速度为：，时间为：， 故答案为：①；②；③． （2）解：设D字头动车的速度为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：G字头高速动车的平均速度为． 【变式1】正在建设的京沪高铁二线经过我市，预计2028年6月贯通运营，将为我们的出行带来便捷．已知我市到南京的路程约为，高铁贯通后一列动车组列车的平均速度是普快列车的2倍，运行时间比普快列车少，求该列动车组列车的平均速度． 【答案】该列动车组列车的平均速度为． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设普快列车速度为，则动车组列车的平均速度为，根据走过相同路程，运行时间比普快列车少，列方程求解．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 【详解】解：设普快列车速度为，则动车组列车的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 则， 答：该列动车组列车的平均速度为． 【变式2】八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米，根据时间差建立方程求解． 【详解】解：设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米， 由题意得，， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， 答：大巴的平均速度是． 【变式3】自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前1分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距12米的大柳树下，比赛枪声响后，先到是冠军． 蚂蚁 【答案】蚂蚁的速度是2米/分，乌龟的速度是米/分． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设蚂蚁的速度是x米/分，则乌龟的速度是米/分，根据乌龟比蚂蚁提前1分钟跑到终点，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设蚂蚁的速度是x米/分，则乌龟的速度是米/分， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：蚂蚁的速度是2米/分，乌龟的速度是米/分． 题型6 分式方程应用-销售问题 【典例7】年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）； (2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ 【答案】(1) (2)每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元 【分析】（1）根据“甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元”，即可求解； （2）根据“万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同”列方程即可求解． 【详解】（1）解：每台乙型机器人的进价为万元，每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元， 每台甲型机器人的进价为万元； （2）根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元． 【变式1】“给垃圾一个分类的归宿，还我们一个清洁的世界”，柘城县某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到种类型的垃圾桶比种类型的垃圾桶贵元，用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同．求购买一个种类型的垃圾桶和购买一个种类型的垃圾桶各需要多少元？ 【答案】购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元 【分析】设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元，根据“总价单价数量”，利用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同，建立分式方程求解即可． 【详解】解：设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ， 答：购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元． 【点睛】解分式方程后必须检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义． 【变式2】2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用800万元购进A种机器人的数量是用500万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【答案】购买一个A种机器人需20万元，购买一个B种机器人需25万元. 【分析】设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元，利用“用800万元购进A种机器人的数量是用500万元购进B种机器人数量的2倍”作为等量关系建立方程求解即可. 【详解】解：设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元， ， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：购买一个A种机器人需20万元，一个B种机器人需25万元. 【变式3】某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用元购进一批这种T恤衫，由于市场供不应求，该店铺又用元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵元． (1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率为（除去元的快递费用），那么每件T恤衫的标价是多少元？ 【答案】(1)购进第一批T恤衫每件的进价是元，第二批T恤衫每件的进价是元 (2)每件T恤衫的标价是元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，掌握利润问题的基本公式是解题关键． （1）根据“第二批数量是第一批的倍”这一等量关系，结合“数量=总价÷单价”列出分式方程，求解并检验得到第一批和第二批T恤衫的进价； （2）先计算总数量、总成本及目标总销售额，再根据“分段销售的销售额等于目标总销售额”列出一元一次方程，解出每件T恤衫的标价． 【详解】（1）解：设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元， 由题意得：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：购进第一批T恤衫每件的进价是元，第二批T恤衫每件的进价是元． （2）解：设每件T恤衫的标价是元， 总件数为：（件）， 总成本为：（元）， 可得， 解得：． 答：每件T恤衫的标价是元． 题型7 分式方程应用-其他问题 【典例7】2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【答案】“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元 【分析】根据每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，设出未知数，由购买两种物品数量相等建立方程求解即可． 【详解】解：设“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ， 答：“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元． 【变式1】嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 【答案】理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题． 【详解】解：∵每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元， 因此可列方程， 解得，经检验，是分式方程的解， 则圆珠笔的数量为， ∵圆珠笔的数量一定是整数， ∴不符合题意． 故嘉嘉搞错了． 【变式2】每年的12月底至1月初，是韶关皇帝柑的最佳品尝期，某果园计划种植皇帝柑，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加6万千克，种植面积可减少30亩，求改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是多少万千克？ 【答案】改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克 【分析】设改良前的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，则改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，依题意得：，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设改良前的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，则改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 答：改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克． 【变式3】“你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 【答案】件 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该公司使用后每小时能完成件作品，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该公司使用后每小时能完成件作品， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该公司使用后每小时能完成件作品． 1．下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 2．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． 先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得， 解得， 当时，分母， ∴方程的解为． 故选：A． 3．若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了已知分式方程的解求参数，将代入分式方程，求解的值即可． 【详解】解：由题意得 , 解得， 故选：D． 4．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 5．定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算、解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．根据定义新运算得到方程，再解分式方程求出的值即可． 【详解】解：由题意得，， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选：B． 6．若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解、分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母为，根据分式方程无解的条件求解即可． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当时，原方程分母为，此时方程无解， 即：，解得：； 故选：B． 7．若，则________． 【答案】3 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得， 移项得， 合并同类项得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 8．若方程的解是非负数，则的取值范围___________． 【答案】且 【分析】根据解分式方程的方法将方程求解，再根据解是非负数即可求解． 【详解】解： 分式方程两边同时乘以得，， ∴，且， ∵方程的解是非负数， ∴，且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查根据分式的解求参数，理解并掌握解分式方程的方法，根据分式的解求参数的方法是解题的关键． 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键： （1）先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解：（1）方程两边乘，得 ， 解得， 检验：当，， 所以，原分式方程的解为； （2）方程两边乘，得 ， 解得， 检验：当，， 所以，原分式方程的解为． 10．广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 【答案】该商家第一批购进40个吉祥物． 【分析】设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物，利用单价总价数量，结合第二批购进吉祥物的单价比第一批贵了5元，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商家第一批购进40个吉祥物． 11．新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度． 【答案】 【分析】设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】解：设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为， 解得： 经检验是方程的解， 则， 答：雅万高铁的平均速度为． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，行程问题，找到合适的等量关系列出方程是解题的关键． 12．2020年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情，打破了我们宁静的生活，为了预防新型冠状病毒肺炎，人们已经习惯出门戴口罩．某口罩生产企业在若干天内加工120万个口罩（每天生产数量相同），在实际生产时，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数是原来的1.5倍，从而提前2天完成任务，问该企业原计划每天生产多少万个口罩？ 【答案】该企业原计划每天生产20万个口罩 【分析】设该企业原计划每天生产x万个口罩，则在实际生产时每天生产1.5x万个口罩，根据提前2天完成任务，列出分式方程求解即可得． 【详解】解：设该企业原计划每天生产x万个口罩，则在实际生产时每天生产1.5x万个口罩，由题意得： ， 解得：， 检验：时，， 是原分式方程的解， 答：该企业原计划每天生产20万个口罩． 【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，列出分式方程是解题关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $