专题5.2 分式运算（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题5.2 分式运算 教学目标 1.掌握分式的乘除、乘方、加减运算法则； 2.熟练会找最简公分母进行通分，能正确进行分式混合运算； 3.会规范化简分式并求值。 教学重难点 1.重点 （1）分式乘除、加减的基本运算法则； （2）分式混合运算的规范步骤； （3）分式化简求值。 2.难点 （1）分式加减中通分的准确计算； （2）混合运算中因式分解、约分、符号处理的综合运用； （3）化简求值时忽略原式分母有意义的取值限制。 知识点01 分式的乘除法运算及乘方运算 1.分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 2.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【即学即练】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法运算，因式分解在分式约分中的应用，掌握分式乘法先因式分解，再约分的步骤是解题的关键． （1）先确定符号，再将分子分母分别相乘，通过约分得到最简结果； （2）先对分子分母的多项式因式分解，再通过约分简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 知识点02 同分母分式相加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误。 （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 【即学即练】 1．计算：． 【答案】（） 【分析】本题考查了同分母分式的加减运算，完全平方公式的应用，掌握同分母分式相加减，分母不变，分子相加减的法则，以及对分子进行因式分解约分的技巧是解题的关键． 三个分式分母相同，先合并分子，最后约分得到结果． 【详解】解：原式 （）． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据同分母加减运算法则计算即可； （）根据同分母加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点03 最简公分母与通分 1.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 2.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【即学即练】 1．通分：，，． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】解：最简公分母是， 则， ， ． 2．按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分子分母所含相同因式，直接约分即可得到答案； （2）根据通分定义，将分母不同的分式化为分母相同的与原分式相等的分式直接通分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ，， 两个分式的最简公分母为， ；． 【点睛】本题考查分式的通分、约分，熟记通分、约分的定义，掌握通分、约分运算方法是解决问题的关键． 知识点04 异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 注意： （1）异分母的分式相加减，先通分是关键。通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法。 （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式。 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 2．计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查分式的加减法；同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母相加减，先通分，分子相加减，注意结果要化简； （1）两个分式分母相同，直接合并分子； （2）分母不同，需先因式分解和通分，再化简. 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式        . 题型1分式的乘法运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，提公因式法，因式分解，关键是掌握分式的乘法、提公因式法、因式分解的运用．先把分式的分子和分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式． 【变式2】化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，先对分式的分子分母因式分解，约分后再相乘即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查分式的乘法，掌握分式的乘法法则是解题的关键． 题型2 分式的除法运算 【典例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，进行计算即可； （2）根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，相乘时要先分解因式，然后约分进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了分式除法，解本题的关键在熟练掌握分式除法的法则． 【变式1】计算： (1)÷； (2)． 【答案】(1)2mn2 (2) 【分析】（1）将除法换为乘法，再约分即可； （2）将各部分因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：原式= =； （2）解：原式= = =． 【点睛】本题主要考查分式的除法，掌握分式除法的相关运算法则是正确化简的关键． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先把除法变成乘法，然后约分即可； （2）先把除法变成乘法，再进行因式分解，然后约分即可． 【详解】解：（1） （2） ． 【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键． 【变式3】计算： 【答案】． 【分析】根据分式的除法法则即可得． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 题型3 分式的乘除法混合运算 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是分式的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）（2）（3）（4）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1】计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式运算，涉及到因式分解，熟记运算法则是关键． （1）根据分式的乘除混合运算运算即可； （2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用乘法公式，分式的性质进行化简即可求解； （2）运用乘法公式，分式的性质进行化简即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查分式的乘除运算，正确约分是解题的关键． 题型4 同分母分式的加减 【典例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)2 (5) 【分析】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握同分母分式和异分母分式加减的法则． （1）利用同分母分式加减法则即可解答此题； （2）利用同分母分式加减法则即可解答此题； （3）先化成同分母分式，再利用同分母分式加减法则即可解答此题； （4）利用同分母分式加减法则即可解答此题； （5）利用同分母分式加减法则即可解答此题； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 【变式2】化简：． 【答案】． 【分析】本题考查了同分母分式的减法，根据同分母分式的减法进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质； （1）首先通分，再合并同类项，再约分运算，即可得到答案； （2）首先通分，再合并同类项，再结合平方差公式进行约分化简，即可得到答案． 【详解】（1） ． （2） ． 题型5 最简公分母 【典例5】通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 【变式1】通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 【变式2】通分： (1)， (2) 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查分式的通分： （1）先确定最简公分母为，然后再通分即可； （2）先确定最简公分母为，然后再通分即可 【详解】（1）解：； ； （2）解： 【变式3】通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可； （2）先找出最简公分母，然后通分即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，，的最简公分母为：， ∴三个分式通分为：，，． （2）解：∵， ， ， ∴分式，，的最简公分母为：， 三个分式通分为：，，． 【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母． 题型6 异分母分式的加减 【典例6】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加法和减法运算法则，是解题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （2）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （3）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （4）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先通分，化为同分母分式，再计算即可； （2）先对分母因式分解，然后通分，化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查异分母分式的减法： （1）先通分，再根据同分母的分式相减进行计算即可； （2）先通分，再根据同分母的分式相减进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型7 分式的加减法的实际应用 【典例7】一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 【答案】(1) (2)倒不完，理由见解析 【分析】（1）裂项相消法进行计算即可； （2）根据题意，列出算式求出倒出去的水的和，利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：倒不完，理由如下： ； 故倒不完． 【变式1】安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【答案】(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 【变式2】某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 【答案】 【分析】本题考查分式加减的实际应用，先分别求出原计划治理沙漠所需的时间和实际治理沙漠所需的时间，再通过作差得到实际比原计划提前的时间． 【详解】解：原计划治理沙漠所需的时间为年， 实际治理沙漠所需的时间为年， 则提前的时间为： ， 答：该地实际可比原计划提前年使全部沙漠得到治理． 【变式3】从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 【答案】(1) (2)走第一条路花费时间少，少 【分析】本题考查了速度，路程，时间之间的关系，异分母分式的加减运算的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握速度，路程，时间之间的关系． （1）分别表示出上坡路的时间和下坡路的时间，然后相加即可； （2）表示出走第一条路所用时间，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：走第二条路所用时间：； （2）解：走第一条路所用时间： ∴ ∴走第一条路花费时间少，少． 题型8 分式的加减乘除法混合运算 【典例8】化简：． 【答案】3 【分析】先将括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简即可． 【详解】解： ． 【变式1】化简：． 【答案】 【分析】先算括号里加法，再算除法，最后约分化简． 【详解】解：原式 . 【变式2】化简： 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型9 分式化简求值 【典例9】化简并求值：，其中， 【答案】， 【详解】解：， 当时，原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先算括号内的分式减法，再算分式除法，然后约分化成最简，最后把代入即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式2】先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】注意分式有意义的条件是分母不为0，故且，故只能选3代入求值． 【详解】解：原式 由，知且且，故取，代入得原式的值为 ． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握乘除混合运算按从左到右顺序进行，除法转化为乘法后再计算是解题的关键． 根据运算顺序从左到右计算，除以分数相当于乘以倒数． 【详解】解：, ∴最后结果为 故选：B． 2．分式与的最简公分母是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：． 3．计算的结果为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同分母分式的减法，利用同分母分式的减法法则运算即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 4．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．设被盖住的部分为，由题意得，利用等式的性质求出表示的式子即可得出答案． 【详解】解：设被盖住的部分为， 由题意得，， ， 被盖住的部分为1． 故选：D． 5．若（其中），则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式化简求值，将变形为是解题的关键． 由可得，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 6．的结果是(     ) A．p B． C． D． 【答案】A 【分析】先将式子中的分子和分母进行因式分解，再进行约分即可． 【详解】 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的计算，准确将式子中的分子、分母进行因式分解是解答本题的关键． 7．计算______． 【答案】 【详解】解：． 8．若且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，根据题意，设，依次可得，，的值，即可求出． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 9．计算：________． 【答案】 【分析】先利用同分母分式减法法则计算，再约分化简即可得到结果． 【详解】解：． 10．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法运算，先把对应分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】解： ． 11．有甲、乙两筐水果，甲筐水果有，乙筐水果有，售完后，两筐水果都卖了120元． (1)哪筐水果的单价更高？ (2)单价高的水果价格是单价低的多少倍？ 【答案】(1)甲筐水果的单价更高，理由见解析 (2)单价高的水果价格是单价低的倍 【分析】首先计算甲、乙两筐水果的单价，比较其大小，再求倍数关系． 【详解】（1）解：甲筐水果的单价为元，乙筐水果的单价为元． ， ． ． ． ∴甲筐水果的单价更高． （2）解：， ， ． 【点睛】本题考查了分式的运算以及比较大小，解题关键是熟练掌握分式的乘除法法则以及因式分解的方法，准确进行分式的运算和大小比较． 12．化简： 【答案】 【分析】先把括号内的式子通分相减，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】解： ． 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把除法化为乘法，再进行化简得，然后把代入计算，即可作答． 【详解】解： 依题意，把代入，得原式 ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 分式运算 教学目标 1.掌握分式的乘除、乘方、加减运算法则； 2.熟练会找最简公分母进行通分，能正确进行分式混合运算； 3.会规范化简分式并求值。 教学重难点 1.重点 （1）分式乘除、加减的基本运算法则； （2）分式混合运算的规范步骤； （3）分式化简求值。 2.难点 （1）分式加减中通分的准确计算； （2）混合运算中因式分解、约分、符号处理的综合运用； （3）化简求值时忽略原式分母有意义的取值限制。 知识点01 分式的乘除法运算及乘方运算 1.分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 2.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【即学即练】 1．计算：． 2．计算： (1)． (2)． 3．计算：． 知识点02 同分母分式相加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误。 （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 【即学即练】 1．计算：． 2．计算： (1)． (2)． 知识点03 最简公分母与通分 1.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 2.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【即学即练】 1．通分：，，． 2．按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 知识点04 异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 注意： （1）异分母的分式相加减，先通分是关键。通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法。 （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式。 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2)． 题型1分式的乘法运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】化简：． 【变式2】化简： 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 分式的除法运算 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)÷； (2)． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【变式3】计算： 题型3 分式的乘除法混合运算 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1) ； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型4 同分母分式的加减 【典例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1】计算： 【变式2】化简：． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型5 最简公分母 【典例5】通分： (1)，； (2)，． 【变式1】通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【变式2】通分： (1)， (2) 【变式3】通分： (1)，，； (2)，，． 题型6 异分母分式的加减 【典例6】计算：． 【变式1】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型7 分式的加减法的实际应用 【典例7】一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 【变式1】安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【变式2】某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 【变式3】从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 题型8 分式的加减乘除法混合运算 【典例8】化简：． 【变式1】化简：． 【变式2】化简： 【变式3】计算：． 题型9 分式化简求值 【典例9】化简并求值：，其中， 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 2．分式与的最简公分母是（  ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（   ） A．1 B．3 C． D． 4．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（   ） A． B． C． D．1 5．若（其中），则的值是（   ） A． B． C． D． 6．的结果是(     ) A．p B． C． D． 7．计算______． 8．若且，则_____． 9．计算：________． 10．计算：． 11．有甲、乙两筐水果，甲筐水果有，乙筐水果有，售完后，两筐水果都卖了120元． (1)哪筐水果的单价更高？ (2)单价高的水果价格是单价低的多少倍？ 12．化简： 13．先化简，再求值：，其中． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $