21.3.2 菱形 同步分层试卷2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下册 21.3.2 菱形 同步分层试卷 一、夯实基础 1．已知菱形的一条边长为4，则这个菱形的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 2．如图，添加下列条件仍然不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AB=BC B．∠ABC=90° C．AC⊥BD D．∠1=∠2 3．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．四个角都是直角 4．如图，在菱形中，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（　　） A．13 B．52 C．120 D．240 6．如图，在作线段的垂直平分线时，小聪是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线即为所求．根据他的作图方法可知四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为48，顶点，则顶点B的坐标为　 　． 8．如果菱形的高是，且相邻两个内角的度数之比为，那么这个菱形的边长为　 　． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点H，连接．若，，则的长为　 　． 10．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积． 二、能力提升 11．如图， 在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形． 小米的作法是： 连结 ， 作 的垂直平分线 分别交 于点 ， 连结 ， 则四边形 是菱形．则小米的依据是　 　 12．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E.若BE＝CE，则∠BAE的度数为　 　°. 13． 如图1，在菱形中，对角线相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形是菱形，现有如图2所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 14．如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？ 15．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点F． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 三、拓展创新 16．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：∵菱形的四条边都相等， ∴其边长都为4， ∴菱形的周长． 故选：D． 【分析】本题考查菱形的基本性质，菱形的四条边长度相等，求周长只需用单条边的长度乘以4，将边长4代入计算就能得到菱形的周长。 2．【答案】B 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形.符合题意； C、对角线垂直的平行四边形是菱形.不符合题意； D、由 可得出AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形.不符合题意； 故选： B. 【分析】根据菱形的判定方法即可一一判断. 3．【答案】B 【知识点】菱形的性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角线互相平分； 菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等， 故B正确． 故选：B． 【分析】根据菱形和矩形的性质，对选项逐个判断即可． 4．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【分析】根据菱形性质可得，，根据三角形内角和定理即可求出答案. 5．【答案】C 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝24， ∴菱形的面积=， 故答案为：C． 【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可． 6．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定 【解析】【解答】解：∵分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C，D， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：B． 【分析】根据基本作图，得到，因为四边相等的四边形是菱形，可以判定四边形是菱形． 7．【答案】 【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质 【解析】【解答】解：由题意得 ∵ ∴ ∴ ∴顶点B的坐标为 故答案为：． 【分析】根据菱形对角线乘积的一半等于面积48，由A(-6，0)，则AC=12，，B(0，-4). 8．【答案】6 【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质 【解析】【解答】解： 如图所示∶过点D作于点E， 四边形是菱形，相邻两内角的度数之比为 则， 在中， ， ， 即菱形的边长为∶． 故答案为∶6． 【分析】 利用菱形的性质结合已知得出的数，再利用所对边与斜边的关系得出的长，计算即可解答． 9．【答案】4 【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点； 在中，为的中点， ∴． 故答案为：4。 【分析】根据菱形面积的公式，再结合菱形的面积，求得的长，然后再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半这个性质，即可求解。 10．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB， ∴四边形DBCE是平行四边形． ∴EC∥AB，且EC＝DB． 在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线， ∴AD＝DB＝CD． ∴EC＝AD． 四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是菱形． （2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6， 是等边三角形 ∴AD＝DB＝CD＝6． ∴AB＝12，由勾股定理得． ∵四边形DBCE是平行四边形， ∴DE＝BC＝6． ∴． 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形DBCE是平行四边形，则EC∥AB，且EC＝DB，再根据三角形中线性质可得EC＝AD，再根据菱形判定定理即可求出答案. （2）根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则AD＝DB＝CD＝6，再根据勾股定理可得AC，再根据平行四边形性质可得DE＝BC＝6，再根据菱形面积即可求出答案. 11．【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N， ∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON， ∵AD∥BC， ∴∠AMO＝∠CNO， 在△AOM和△CON中 ∴△AOM≌△CON（AAS） ∴AM＝CN， 又∵AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， 又∵MN⊥AC， ∴四边形AMCN是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 故答案为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【分析】由MN垂直平分AC，推出△AOM≌△CON，从而得出AM＝CN，再根据AM∥CN，推出四边形AMCN是平行四边形，再由MN⊥AC，即可得出四边形AMCN是菱形，即可得出答案． 12．【答案】30 【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形的两锐角互余 【解析】【解答】解： 连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AD∥BC， ∵AE⊥BC， BE=CE， ∴AB=AC， ∠AEB=90°， ∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠BAE=90°-∠B=30°， 故答案为：30. 【分析】由菱形ABCD， 得AB=BC，AD∥BC，由AE⊥BC，BE=CE，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，即可证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=60°， 继而求得∠BAE的度数. 13．【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念 【解析】【解答】解：方案甲：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD. ∵AE=CF， ∴AO－AE=CO－CF， 即EO=FO. 又∵DO=BO， ∴四边形BEDF是平行四边形. 又∵AC⊥BD.， ∴四边形BEDF是菱形. 故方案甲是对的. 方案乙：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD//BC，BO=DO，AC⊥BD. ∴∠ADB=∠CBD. ∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD， ∴ 又∵∠DOE=∠BOF，DO=BO， ∴△DOE≌△BOF(ASA). ∴OE=OF. ∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形BEDF是平行四边形. 又∵AC⊥BD.， ∴四边形BEDF是菱形. 故方案乙是对的. 故答案为：C. 【分析】方案甲：证明OE=OF，再结合菱形的性质即可证明四边形BFDE是菱形；方案乙，先证明△DOE≌△BOF，得到OE=OF，再结合菱形的性质即可证明四边形BFDE是菱形. 14．【答案】解：连接AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD， ∴BO= = =5厘米， ∴BD=2BO=10厘米， ∴BM=3BD=30厘米． 【知识点】菱形的性质 【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求得一个菱形中另一条对角线的长，即可求得BM的长. 15．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）已得：四边形是菱形，∴， ∵在中，，是的中点，，， ∴， ∴， 即四边形的面积为． 【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】(1)本题考查菱形的判定、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质，先根据E是中点得到，结合得到内错角相等，利用AAS判定，得到，再结合D是中点推出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，最后利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明其为菱形； (2)本题考查菱形的面积计算和三角形的中线性质，根据菱形的性质可知菱形的面积为，再根据直角三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得到，先计算的面积，再依次推导求出菱形的面积。 （1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）已得：四边形是菱形， ∴， ∵在中，，是的中点，，， ∴， ∴， 即四边形的面积为． 16．【答案】解：（1）∵四边形OABC为矩形，B（5，2）， ∴BC=OA=5，AB=OC=2， ∵点D时OA的中点， ∴OD=OA=2.5， 由运动知，PC=2t， ∴BP=BC-PC=5-2t， ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB=OD=2.5， ∴5-2t=2.5， ∴t=1.25. （2）①当Q点在P的右边时，如图1， ∵四边形ODQP为菱形， ∴OD=OP=PQ=2.5， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=1.5， ∴2t=1.5； ∴t=0.75， ∴Q（4，2）； ②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2， 同①的方法得出t=2， ∴Q（1.5，2）， ③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3， 同①的方法得出，t=0.5， ∴Q（-1.5，2）； 综上所述：t=0.75，Q（4，2）；或t=0.5，Q（-1.5，2），或t=2，Q（1.5，2）． 【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【分析】（1）先求出BP=BC-PC=5-2t，再利用平行四边形的性质可得PB=OD=2.5，列出方程5-2t=2.5，求出t的值即可； （2）分类讨论：①当Q点在P的右边时，②当Q点在P的左边且在BC线段上时，③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，再分别画出图形并利用菱形的性质分析求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $