专题13.7 平面与平面平行（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦高中数学“平面与平面平行”核心知识点，系统梳理空间中平面位置关系、判定定理（含推论）及性质定理（含其他性质），以学习支架形式衔接线面平行知识，为后续空间几何综合应用奠定基础。 该资料通过生活实例与正方体等模型培养直观想象，定理探究与证明过程发展逻辑推理，即学即练和变式题型强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识，弥补应用短板。

专题13.7 平面与平面平行 教学目标 1.通过对生活中实例的直观感受和操作确认，了解平面与平面的位置关系． 2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理． 3.在探究平面与平面的位置关系的过程中，发展直观想象素养． 4.在对两平面平行的判定定理和性质定理的探究和应用过程中，发展直观想象和逻辑推理素养 教学重难点 1.重点 两平面平行的判定定理和性质定理的探究． 2.难点 两平面平行的判定定理和性质定理的应用. 知识点01 空间中平面与平面的位置关系 空间中平面与平面的位置关系： (1)空间两个平面的位置关系： 位置关系 两平面平行 两平面相交 图形表示 符号表示 α∥β α∩β＝l 公共点 没有公共点 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧： 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【即学即练】 1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断即可. 【解析】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C，若，则或与相交，故C错误； 对于D，若，则存在直线（不与重合），使得，又，则或与相交， 若，则，此时可以满足，只需即可，所以， 若与相交，则与也相交，又，所以与也相交，与相矛盾， 所以，则，故D正确； 故选：D. 2．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 【答案】(1)相交； (2)相交； (3)平行； (4)平行； (5)相交 【分析】根据直线与平面的位置关系的判定、平面与平面位置关系的判定直接判断答案即可. 【解析】（1）由于A点在平面内，M不在平面内，所以所在的直线与平面相交. （2）由于C点在平面内，N不在平面内，所在的直线与平面相交. （3）由正方体的结构特征得平面平面，， 所以所在的直线与平面平行. （4）由正方体的结构特征得平面平面， 所以平面与平面平行. （5）由正方体的结构特征得平面平面， 而平面平面， 所以平面与平面相交. 知识点02 平面与平面平行的判定定理 1.判定定理： （1）自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. （2）图形语言 （3）符号语言 . 简记为“若线面平行，则面面平行”. 2判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 【即学即练】 1．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（  ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【分析】由面面平行的判定定理即可判断. 【解析】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D. 2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明：(1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【解析】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点. 而是的中点，则，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以. （2）由，分别是，中点，得， 又平面，平面，则平面， 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又，平面，所以平面平面. 知识点03 平面与平面平行的性质定理 1.性质定理： （1）自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）图形语言 （3）符号语言 . 简记为“若面面平行，则线线平行”. 2.两个平面平行的其他性质 （1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. （2）平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. （3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. （5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【即学即练】 1．已知正方体，平面与平面的交线为l，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面平行的性质，即可判断. 【解析】如图，在正方体中， 平面平面，平面平面， 平面平面，. 对于A，，，故A正确； 对于B，因为与相交，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为与不平行，所以与不平行，故C错误； 对于D，因为与不平行，所以与不平行，故D错误； 故选：A. 2．如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的性质，即可证明. 【解析】证明：取的中点，连接，， 因为是的中点，所以，， 因为三棱台中，，，，所以， 所以，，即四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以． 题型01 平面与平面的位置关系 【典例1】在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 【答案】证明见解析 【分析】由延长CE与，会相交于一点，即可求证； 【解析】证明：在正方体中，E为的中点， 与不平行. 延长CE与，延长线相交于一点， ，. 又平面，平面， 平面，平面， 所以平面与平面相交. 【变式1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（  ） A．BD1∥GH B．BD∥EF C．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD1 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可． 【解析】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误； 易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误； 因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误； 对于，平面平面，理由是： 由，，，分别是棱，，，的中点， 得出，， 所以平面，平面， 又，所以平面平面． 故选：． 【变式2】已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【答案】B 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【解析】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B. 【变式3】已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解 【解析】选项A：有可能出现的情况； 选项B：和有可能异面； 选项C：和有可能相交； 选项D：由，，得直线和平面没有公共点，所以， 故选：D 题型02 平面与平面平行的判定与证明 【典例1】如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 【答案】证明见解析 【分析】由，所以平面，由四边形为平行四边形，所以，可得平面，进而可得结果. 【解析】证明  ：因为，分别为，的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 又由已知得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以．而平面，平面， 所以平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 平面与平面平行的判定方法： (1)根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. (2)根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行. (3)根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行. (4)根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. (5)利用反证法. 【变式1】下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【解析】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 【变式2】设、是平面内的两条不同直线，、是平面内的两条相交直线，则以下能够推出的是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可得出结论. 【解析】A中，当且时，、可相交（如、同时平行于、的交线）； B中，当且时，，，又、是平面内的两条相交直线，所以； C中，当且时，、可相交（如、同时平行于、的交线）； D中，当且时，、可相交（如、同时平行于、的交线）. 故选：B. 【变式3】如图，在正四棱台中分别为棱，的中点.证明：    (1)四点共面； (2)多面体是三棱台. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，得到四点共面； （2）作出辅助线，得到四边形EFHG为梯形，延长GE、HF，则GE与HF必相交，不妨设，由点线面的关系得到，故交于一点，由平面平面，得到多面体是三棱台. 【解析】（1）连接，如图所示，    在正四棱台中，， 分别为棱的中点， ， 四点共面. （2），且， 四边形EFHG为梯形， 延长GE、HF，则GE与HF必相交，不妨设， 平面平面， 平面平面， 又平面平面， 交于一点. 又平面平面， ∴多面体是三棱台. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. (1)求证：平面； (2)若为中点，求证平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，中点且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，证得平面， 由（1）可得平面，结合面面平行的判定定理，即可得证. 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 因为底面是正方形，底面，且分别是的中点， 所以，且，， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）解：因为为的中点，连接，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 由（1）可得平面，且平面， 所以平面平面. 【变式5】如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． 【解析】（1）在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 （2）在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 题型03 利用面面平行性质定理证明 【典例1】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【答案】证明见解析 【分析】连接，即可证明平面，从而得到平面平面，由面面平行的性质即可得证. 【解析】连接，如图，    ∵、分别是、中点， ∴为中位线，. 平面，平面，∴平面. 又∵平面，，，平面， ∴平面平面. 又∵平面平面，平面平面，∴. 【变式1】已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【解析】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立； 由，，若，则或相交，充分性不成立． 相交情况如下：    则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式2】（多选）如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（  ） A． B．平面 C． D．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据面面平行的性质，结合三角形中位线、线面平行的判定定理即可逐项判断. 【解析】由三棱柱性质可知平面平面，又平面平面，平面平面， 由面面平行的性质可知； 又点，分别是，的中点，可知，即可得，所以A正确； 由，平面，平面，所以平面，即B正确； 又经过的重心，所以，且，， 所以，可知C正确； 因为四点共面，且易知与相交，所以平面与平面相交，因此D错误； 故选：ABC 【变式3】如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； （2）由题设，再由线面平行的判定和性质即可证明结论. 【解析】（1）∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD，又平面PBC，平面平面， ∴. 【变式4】如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；    【答案】证明见解析 【分析】连接，利用三棱柱性质和面面平行的判定定理可证明平面平面，由面面平行的性质可得平面； 【解析】证明：连接，如下图所示：    因为，且，分别是棱的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面， 所以平面. 题型04 面面平行性质定理证明的应用 【典例1】如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面平行的性质定理可得，即可得，即可得解. 【解析】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 1.平行关系的相互转化： 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示. 2.利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤: (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条． (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)． (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上． (4)由定理得出结论． 【变式1】如图，在三棱柱中，过的平面（非平面）与平面交于DE，则DE与AB的位置关系是（  ） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质推理判断. 【解析】在三棱柱中，平面平面，而平面平面， 平面平面，则，在平行四边形中，， 所以. 故选：B 【变式2】四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则___________    【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【解析】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面，则， 所以. 故答案为：   【变式3】知正方体中，、分别为对角线、上的点，且，若是上的点，=_________时，能使平面平面. 【答案】 【分析】（连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； 根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明. 【解析】连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. 当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 故答案为： 【变式4】体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为_________ 【答案】 【分析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【解析】依题意得，N是的中点，， 则， 延长直线MN于P，延长交直线MN于Q， 连接AP交于E，连接AQ交于F， 作出截面AFNME如下图所示， 则中， ， 故的面积 =， 四边形MNFE的面积 ， 故所求截面面积为. 故答案为： 【变式5】已知底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，且，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论. 【答案】见解析 【分析】连接交于，连接，过点作的平行线交于点，过点作，交于点，连接，利用线面平行的判定定理，证得平面，同理平面，证得平面平面，得到平面，进而得到，即可得到答案． 【解析】在棱上存在点，使平面， 证明：如图所示，连接交于，连接，过点作的平行线交于点，过点作，交于点，连接， 因为，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 又，所以平面平面，所以平面， 因为，是的中点，所以是的中点， 又因为，所以是的中点， 而，所以为的中点， 综上可知，当点是的中点时，平面. 题型05 两个平行平面间的距离及其应用 【典例1】如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 【变式1】正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【解析】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 【变式2】半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别取的中点，作出截面，结合几何体的性质，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，由此即可求得答案. 【解析】分别取的中点，连接，    根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形； 根据题意可知， 而平面， 故平面，又平面， 故平面平面，则平面平面， 作，垂足为S，平面平面， 平面，故平面， 则梯形的高即为平面与平面之间的距离； ， 故， 即平面与平面之间的距离为， 故选：B. 【变式3】在长方体中，已知，，与平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距离是 ． 【答案】 【分析】在长方体中，根据与平面ABCD所成角的大小是，解直角三角形，求得棱的长，即可得答案. 【解析】如图，连接AC， 因为 平面ABCD,故 即为与平面ABCD所成角， 则， 又因为，，则 , 故在 中， ， 在长方体中, 平面ABCD到平面的距离即为棱 的长， 即平面ABCD到平面的距离为， 故答案为：. 题型06 立体几何中的面面平行探索性问题 【典例1】在直三棱柱中，，为的中点，在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】存在点， 【分析】取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【解析】当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 利用平面与平面平行的性质定理的基本步骤: 【变式1】在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判断、性质推理得证. （2）取PE的中点M，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理得解. 【解析】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 【变式2】如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，． 【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明； （2）分析可得在侧棱上是否存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【解析】（1） 如图，连接交于点，连接，，，则为的中点， 当为的中点时，， 又平面，平面，所以平面； （2）在侧棱上存在点，使得平面，满足， 理由如下：取的中点，由，得， 过作的平行线交于，连接，，中，有， 又平面，平面，所以平面， 由，得， 又，又平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面， 即在侧棱上存在点，使得平面，满足． 【变式3】如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析; (2)点为棱BC的中点时，平面平面， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置. 【解析】（1）因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； （2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)1 【分析】（1）取PB的中点Q，连接QF，EQ，由题意可证得四边形DEQF为平行四边形，可证得，进而可证得结论； （2）由（1）及线面平行的性质定理，可证得结论； （3）取AB的中点N，由中位线的性质可得，再由线面平行的判断定理可得平面DBF，并可得． 【解析】（1） 取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2）设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3）在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 1．为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（  ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 【答案】D 【分析】ABC可以举出其他情况反驳即可，D选项易知其正确. 【解析】对A，若，，，则或与异面，故A错误； 对B，若，，，则或相交； 对C，若，，则或； 对D，若，，则或与异面，正确. 故选：D. 2．已知为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行、面面平行的性质对选项逐一判断即可. 【解析】对于选项A： 若，所以可能平行也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，所以可能与平面平行，也可能在平面内，所以B错误； 对于选项C： 若，那么，也可能平面相交，所以C错误； 对于选项D： 根据平行平面的传递性，若，则.所以D正确. 故选：D. 3．已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则. B．若，，则. C．若，则. D．若，则. 【答案】C 【分析】对于每个选项，根据已知的直线与平面、平面与平面的位置关系，结合直线与平面、平面与平面的平行、垂直等概念，分析直线与直线、直线与平面、平面与平面可能存在的位置关系，即可得解. 【解析】选项A，若，则可能有，，或与相交但不垂直，所以A错误； 选项B，若，，则可能有，与相交或与异面，所以B错误； 选项C，因为，所以或，又，则，所以C正确； 选项D，若，则与可能相交，也可能平行，所以D错误. 故选：C. 4．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（　　） A．α，β都平行于直线a B．α内存在不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是α内的两条直线，且， D．l，m是两条异面直线，且，，， 【答案】D 【分析】举例说明并判断A，B，C；利用线面平行的性质、面面平行的判定推理判断D作答. 【解析】对于A，当，，且时，满足都平行于直线a，不能推出，A不能； 对于B，当，且在内直线b一侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出，B不能； 对于C，当l与m平行时，不能推出，C不能； 对于D，因，，则存在过直线的平面，于是得，，，则， 因，，则存在过直线的平面，于是得，，，则， 又是两条异面直线，则是平面内的两条相交直线，所以，D能. 故选：D 5．在三棱锥P-ABC中,点D在PA上,且PDDA,过点D作平行于底面ABC的平面,分别交PB,PC于点E,F,若ΔABC的面积为9,则ΔDEF的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据可知，为的三等分点，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此求得三角形的面积. 【解析】画出图像如下图所示，由于，故为的三等分点，由于平面平行于平面故，且相似比为，故面积比为，由于的面积为，所以三角形点的面积为， 故选:A. 6．如图，在棱长为4的正方体中，点P是的中点，动点Q在平面内（包括边界），若平面，则AQ的最小值是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别为的中点，连接，证明平面平面，得到的轨迹为线段，AQ的最小值是边上的高，计算得到答案. 【解析】如图所示：分别为的中点，连接， ，，故，平面，平面，故平面； 易知四边形为平行四边形，，平面，平面，故平面； ，平面，故平面平面， 当平面时，面平面，故的轨迹为线段， ，，AQ的最小值是边上的高，为. 故选：D 7．（多选）下列命题正确的是 (　　) A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； D.一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行． 【答案】CD 【分析】根据面面平行的定义、判定定理对选项逐一判断即可. 【解析】如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线． 对于A：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在． 对于B：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同A. 对于C：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义． 对于D：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理． 故选：CD 8．（多选）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，下列四个推断中正确的是（  ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断A；由，与平面相交可判断B；由，根据线面平行的判定定理可判断C，由与平面相交可判断D，进而可得正确选项. 【解析】对于A：因为在正方体中，，，分别是，，的中点，所以，因为，所以，因为平面， 平面，所以平面，故选项A正确； 对于B：因为，与平面相交，所以与平面相交，故选项B错误； 对于C：因为，，分别是，，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故选项C正确； 对于D：与平面相交，所以平面与平面相交，故选项D错误. 故选：AC 9.（多选）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下选项判断正确的是（ ） A. B.平面ADE C.平面平面AFN D.是异面直线． 【答案】BCD 【分析】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可. 【解析】将平面展开图还原成正方体后，CN与DE是异面直线，而不是平行关系．因为在正方体中，CN与DE既不相交也不平行，所以A错误． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，B正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，，平面BDM，平面BDM，故平面BDM．同理平面BDM,根据平面与平面平行的判定定理,所以平面平面AFN，C正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，所以DM，BF是异面直线，D正确． 故选：BCD． 10．如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，则平面与平面间的距离为___________.    【答案】 【分析】（将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【解析】在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. 平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    故答案为：． 11．棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为 ． 【答案】 【分析】在正方体中作出正四面体，作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，由于相邻平面间距离都相等，根据几何关系求解即可． 【解析】在正方体中作出正四面体， 作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图: 由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离， 其中，，，为正方体棱上的中点， 过作于，则即为两平行平面间的距离， 因为， 所以，所以， 即相邻平行平面间的距离为. 故答案为：． 12．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是____________    【答案】 【分析】取的中点，的中点，连接，，，.在正方体中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【解析】    取的中点，的中点，连接，，，，如图所示. 在正方体中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知，∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值.    此时， 即的最小值为. 故答案为： 13．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】（1）连接DE，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点P，连接，，，由面面平行的判定定理，即可证明. 【解析】（1）连接DE，由题意知，，， 即四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面． 同理，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又，DC，平面， 所以平面平面． （2）如图，取的中点P，连接，，， 由（1）知，又分别是的中点，可得， 因为分别为的中点，所以，则， 又， 平面，平面， 所以平面平面DCF．故结论得证． 14．如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析; (2)当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点N在棱AD上的位置. 【解析】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.7 平面与平面平行 教学目标 1.通过对生活中实例的直观感受和操作确认，了解平面与平面的位置关系． 2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理． 3.在探究平面与平面的位置关系的过程中，发展直观想象素养． 4.在对两平面平行的判定定理和性质定理的探究和应用过程中，发展直观想象和逻辑推理素养 教学重难点 1.重点 两平面平行的判定定理和性质定理的探究． 2.难点 两平面平行的判定定理和性质定理的应用. 知识点01 空间中平面与平面的位置关系 空间中平面与平面的位置关系： (1)空间两个平面的位置关系： 位置关系 两平面平行 两平面相交 图形表示 符号表示 α∥β α∩β＝l 公共点 没有公共点 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧： 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【即学即练】 1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 知识点02 平面与平面平行的判定定理 1.判定定理： （1）自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. （2）图形语言 （3）符号语言 . 简记为“若线面平行，则面面平行”. 2判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 【即学即练】 1．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（  ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明：(1)； (2)平面平面. 知识点03 平面与平面平行的性质定理 1.性质定理： （1）自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）图形语言 （3）符号语言 . 简记为“若面面平行，则线线平行”. 2.两个平面平行的其他性质 （1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. （2）平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. （3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. （5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【即学即练】 1．已知正方体，平面与平面的交线为l，则（  ） A． B． C． D． 2．如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．证明：. 题型01 平面与平面的位置关系 【典例1】在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 【变式1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（  ） A．BD1∥GH B．BD∥EF C．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD1 【变式2】已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【变式3】已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 题型02 平面与平面平行的判定与证明 【典例1】如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 平面与平面平行的判定方法： (1)根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. (2)根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行. (3)根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行. (4)根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. (5)利用反证法. 【变式1】下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（  ） A．   B．   C．   D．   【变式2】设、是平面内的两条不同直线，、是平面内的两条相交直线，则以下能够推出的是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3】如图，在正四棱台中分别为棱，的中点.证明：    (1)四点共面； (2)多面体是三棱台. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. (1)求证：平面； (2)若为中点，求证平面平面. 【变式5】如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 题型03 利用面面平行性质定理证明 【典例1】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【变式1】已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（多选）如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（  ） A． B．平面 C． D．平面平面 【变式3】如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式4】如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；    题型04 面面平行性质定理证明的应用 【典例1】如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（  ） A． B． C． D． 1.平行关系的相互转化： 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示. 2.利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤: (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条． (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)． (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上． (4)由定理得出结论． 【变式1】如图，在三棱柱中，过的平面（非平面）与平面交于DE，则DE与AB的位置关系是（  ） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 【变式2】四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则___________    【变式3】知正方体中，、分别为对角线、上的点，且，若是上的点，=_________时，能使平面平面. 【变式4】体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为_________ 【变式5】已知底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，且，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论. 题型05 两个平行平面间的距离及其应用 【典例1】如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【变式1】正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（  ）    A． B． C． D． 【变式3】在长方体中，已知，，与平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距离是 ． 题型06 立体几何中的面面平行探索性问题 【典例1】在直三棱柱中，，为的中点，在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 利用平面与平面平行的性质定理的基本步骤: 【变式1】在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【变式2】如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【变式3】如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式4】如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 1．为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（  ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 2．已知为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则. B．若，，则. C．若，则. D．若，则. 4．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（　　） A．α，β都平行于直线a B．α内存在不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是α内的两条直线，且， D．l，m是两条异面直线，且，，， 5．在三棱锥P-ABC中,点D在PA上,且PDDA,过点D作平行于底面ABC的平面,分别交PB,PC于点E,F,若ΔABC的面积为9,则ΔDEF的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D． 6．如图，在棱长为4的正方体中，点P是的中点，动点Q在平面内（包括边界），若平面，则AQ的最小值是（  ） A．2 B． C． D． 7．（多选）下列命题正确的是（  ） A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； D.一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行． 8．（多选）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，下列四个推断中正确的是（  ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 9.（多选）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下选项判断正确的是（ ） A. B.平面ADE C.平面平面AFN D.是异面直线． 10．如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，则平面与平面间的距离为___________.    11．棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为 ． 12．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是____________    13．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 14．如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $