专题13.6 直线与平面垂直（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦高中数学“直线与平面垂直”核心知识点，系统梳理定义、判定定理（线线垂直推线面垂直）、性质定理（线面垂直推线线平行），延伸至点面距、线面距及线面角的概念与计算，构建从基础到应用的递进学习支架。 该资料以七类题型为框架，结合即学即练与变式训练，如线面角求法中垂线法与等体积法实例，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养。课中辅助教师系统授课，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题13.6 直线与平面垂直 教学目标 1.理解直线与平面垂直的定义及相关概念，了解斜线、直线和平面所成角的概念，会求直线与平面所成的角． 2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能运用其解决相关问题． 3.在探究、运用直线与平面垂直的判定定理与性质定理解决相关问题的过程中、发展直观想象素养． 4.通过图形计算直线与平面所成的角，发展直观想象和数学运算素养，在利用线面垂直的判定定理证明的过程中，发展逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 直线与平面垂直的判定定理、性质定理及其应用；平面斜线的有关概念． 2.难点 探究、归纳直线和平面垂直的定义，线面垂直性质定理的证明；求直线与平面所成的角. 知识点01 直线与平面垂直的判定定理 1．直线与平面垂直的定义： 如图，如果一条直线a和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α. 直线a叫作平面的垂线，平面α叫作直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理： (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 注：(1) 突出关键词“两条相交直线”一定不可忽视，否则将导致结论错误． 如图，直线l⊥a, l⊥b, a⊂α， b⊂α， a∥b，而l⊂α，即l不垂直于α. (图4) (2) 本定理体现了转化思想，即线线垂直⇒线面垂直． 【即学即练】 1．已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（  ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】B 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解. 【解析】直线在平面上， 则“直线”成立时，“直线”不一定成立； “直线”⇒“直线”， ∴直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件. 故选：B . 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】（1）通过构造平行四边形找到与平面内直线平行的线，从而证明线面平行； （2）根据线面垂直的性质和矩形的性质证明线面垂直. 【解析】（1）如图取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，在中，，且， 又因为底面为矩形，是的中点， 所以，且， 由此可得，且， 所以四边形是平行四边形， 那么， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是矩形，所以， 而，、平面， 又平面， 所以平面. 知识点02 直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 【即学即练】 1．如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1) 平面； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）由线面垂直的性质定理证明即可 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）证明：由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 2．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由，即可得到平面，从而得证； （2）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； 【解析】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是矩形，则， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，，因为、分别是、的中点， 所以且，又且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面； 知识点03 点面距、线面距以及线面角 1.点面距离、线面距离 (1)点到平面的距离 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. (2)直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. 【即学即练】 1．在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取棱的中点，证平面，得出是直线与平面所成的角，结合解三角形的知识即可得解. 【解析】 取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角. 设，则，，. 在中，由余弦定理可得， 则，所以. 故选：A 2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【解答】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 题型01 直线与平面垂直的判定与证明 【典例1】如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】（1）由为矩形，得，又平面得，可知平面，从而，得证平面. （2）先证平面,得再证平面，得从而平面证明. 【解析】（1）为矩形， 平面平面 ， 又与平面， 平面． 又平面 又与平面， 平面. （2）由（1）知，平面 又与平面 平面；平面，所以； 为矩形 平面是平面内两条相交直线 平面 平面 平面平面， . 【变式1】如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【解析】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D. 【变式2】已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断． 【解析】对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，由线面垂直的性质定理得，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，则n与相交、平行或，故D错误． 故选：B． 【变式3】（多选）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（  ） A.平面 B. C.平面 D.平面. 【答案】ABC 【分析】由线面垂直定义和判定定理进行辨析即可. 【解析】对于A，∵平面，平面，∴， 又∵ ，，平面，平面， ∴平面，故A正确； 对于B，C，由A，∵平面，平面，∴， 又∵，为的中点，∴， 又∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，故B，C正确； 对于D，假设平面，则∵平面，∴， 又∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴，∴中，， 又∵ ，∴中，，∴，， ∴假设不成立，故D错误. 故选：ABC 【变式4】如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱平面，E、F分别是、的中点，.求证：平面.    【答案】证明见解析. 【分析】取的中点，利用平行四边形性质、平行公理证得，再利用线面垂直的性质、判定推理证明平面即可. 【解析】如图，取的中点，连接、，如图，F为的中点，则，    矩形中，点E为的中点，有，即， 于是四边形是平行四边形，有， 因为平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面， 则有，由，得，而平面， 因此平面，又，所以平面. 【变式5】如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）由线面平行的性质证明即可；（2）由线面垂直判定定理和性质证明即可 【解析】（1）在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点， ，且，则四边形是平行四边形，， 而平面平面DEG，所以平面DEG. （2）在正方体中，平面，面，则， 由是正方形边的中点，得，则， 为棱的中点，在正方形中，， 则，即，则， 又平面DEG，所以平面DEG. 【变式6】如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由余弦定理及线面垂直判定定理证明即可 【解析】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 题型02 利用线面垂直的性质证明线线平行、垂直 【典例1】如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【解析】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 性质定理的作用: ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【变式1】如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（  ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【答案】C 【分析】连接，易知，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证面，最后由线面垂直的性质确定与的位置关系. 【解析】 连接，因为是菱形，所以， 又菱形所在的平面，面，所以， 又，面，所以面，面， 所以 . 故选：C. 【变式2】已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（  ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【分析】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【解析】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B. 【变式3】（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（  ） A． B．平面 C． D． 【答案】BD 【分析】由线面垂直的判定定理及性质定理判断即可 【解析】由题意，平面，因为平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，且为圆上异于的任意一点，所以， 故A错误； 因为，，又平面， 所以平面，故B正确； 因为平面，又平面，所以，故D正确； 若，由，平面， 则平面，又平面，则，这与矛盾，故C错误. 故选：BD. 【变式4】如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.    【答案】证明见解析 【分析】由可证得，又，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明. 【解析】连接，设，则，， ，又，∴.    ∴，又， ∴，即， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 平面，∴. 【变式5】如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理、余弦定理及线面垂直的性质证明即可 【解析】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 【变式6】如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【解析】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 题型03 利用线面垂直判断线段比例或点所在的位置 【典例1】已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，若，点为的中点，点为的三等分点（靠近点）． (1)求证：平面； (2)若线段上的点在平面内，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接AC，利用余弦求得AN，可证，由已知可证平面APD，可得，进而证明平面CPD，可得，可证结论成立； （2）连接QN，求得PB，在三角形PBC中，利用余弦定理可求得，进而可得PQ，可求得的值. 【解析】（1）连接AC，由AD∥BC,，若PA=AD=DC=2, 可得，由平面ABCD，因为平面ABCD，AC， 所以，， 因为点N为PC的三等分点（靠近点P），所以, 在三角形PAN中，由余弦定理可得, 所以，所以三角形PAN是直角三角形，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，，所以，又，， 所以平面APD，平面APD，所以， 由点M为PD的中点，所以，又，所以平面CPD， 平面PCD，所以，，所以平面AMN， （2）连接QN，因为平面AMN，所以， 在直角三角形PAB中，由勾股定理可得, 所以PB=3， 在三角形PBC中，由余弦定理可得, 在三角形PQN中，，所以,所以. 【变式1】在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】易得平面，得到，作交于点，得到平面，通过计算确定的位置即可得到答案. 【解析】∵，，∴平面，故， 作交于点， 此时平面，在矩形中，， 所以四边形是正方形，所以，所以， 又为的中点， 所以为的中点，即，所以， 则实数的值为1， 故选：D. 【变式2】如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可. 【解析】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C. 【变式3】在三棱锥中，，，点E是边上的一点，当 时，平面. 【答案】2 【分析】根据线面垂直的判定定理证明． 【解析】当时，平面，证明如下： 证明，时，是中点， 因为，，所以， 又平面，所以平面． 故答案为：． 【变式4】已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的取值范围为__________ 【答案】 【分析】寻找点的临界状态，再利用余弦定理、勾股定理计算，最后判断的取值范围. 【解析】连接．因为平面平面，所以， ．在Rt中，， 所以． 所以在Rt中，． 因为在中，，所以是直角三角形， 且． 因为，所以点在以点为圆心，为半径的圆上． 作于点，因为点到直线的距离，且， 所以圆与线段交于两点，记为和，记圆与线段的交点为，如图所示． 在中，由余弦定理得，代入数据，解得； 同理，在中，．因为，所以点在线段上． 因为点在内部，所以点在弧上（不含点和）． 设，当点在点时，． 在Rt中，，即，解得． 当点在点时，．在Rt中，， 即，则． 在中，， 由余弦定理得， 代入数据，解得． 因为随着的增大，点靠近点，线段的长增大，点靠近点， 所以的取值范围为．结合选项可知，的值可能是． 故答案为：． 题型04 点面距离、线面距离及其应用 【典例1】如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； 【答案】(1)； (2) 【解答】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. 点到平面的距离的常见求法: ①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. 【变式1】已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【解析】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 【变式2】在棱长为的正方体中，点到平面的距离为____________ 【答案】 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点到平面的距离为的长，最后根据正方体的性质即可得解. 【解析】如图所示，连接，交于点， 因为四边形为正方形， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方体棱长为2， 所以， 所以点到平面的距离为. 故答案为：    【变式3】如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明； 由条件知为与平面所成角进而求A到平面的距离。 【解析】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 【变式4】四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析; (2) 【分析】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）由条件先证明，再结合（1）将问题求直线到平面的距离转化为求点到平面的距离，证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论. 【解析】（1）证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面， 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度， 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为. 题型05 求直线与平面所成的角 【典例1】如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析; (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）． 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解． 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长． 【变式1】在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面角定义，先证明为与平面所成的角，再根据题设条件求出利用正弦的定义即可求解. 【解析】依题意，可得如图： 设底面的中心为， 易得平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，则， 所以平面，连接， 则为与平面所成的角. 因为， 所以. 所以. 故选：A. 【变式2】正方体，直线与平面所成的角的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【解析】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴ ， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 【变式3】三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是____________ 【答案】 【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【解析】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故答案为： 【变式4】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【解析】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 【变式5】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【解答】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 题型06 直线与平面所成角的应用 【典例1】如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点，若与平面所成角为，则_________．    【答案】 【分析】由题意可得为与平面所成角，则，再由，可求出棱柱的高，从而可求出棱柱的表面积. 【解析】因为三棱柱为正三棱柱，所以为正三角形，平面， 因为为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面, 所以平面， 因为平面，所以， 连接，， 所以为与平面所成角， 所以， 因为，为正三角形，所以，, 在直角中，，则，得， 所以 故答案为： 【变式1】如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点，已知，则=_________；    【答案】 【分析】利用线面垂直的性质和判定证明即可；根据线面角的概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出即可得解； 【解析】因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 故答案为： 【变式2】在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【解答】分别取、中点、，因为，则， 在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， ， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 【变式3】如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线的长度. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位线得线线平行，再证线面平行即可； （2）根据线面夹角的定义及已知可求得AB长，再根据勾股定理即可求解. 【解析】（1）连接，记， 为中点， 为中点， ， 又，，∴平面；    （2）因为平面， 所以即为直线与平面所成线面角，则.   因为矩形中，所以.   因为平面，平面，所以， 计算可得. 【变式4】已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析;(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由四边形是菱形，得，再由平面，得，然后利用直线与平面垂直的判定可得平面； （2）（ⅰ）依题意可得，，利用勾股定理求出，，根据，所以即为直线与所成角（或补角），再利用余弦定理求出，即可得解； （ⅱ）依题意是直线与平面所成的角，从而得到，再由勾股定理求出，即可得到菱形的面积，最后根据锥体的体积公式计算可得； 【解析】（1）证明：四边形是菱形，， 又平面，平面， ，又，平面， 平面； （2）解：（ⅰ）平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以即为直线与所成角（或补角）， 又，所以在中由余弦定理， 即，解得，所以为锐角， 即为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值； （ⅱ）平面， 是直线与平面所成的角， 于是， ，，又， 所以 菱形的面积为， 故四棱锥的体积． 题型07 立体几何中的线面垂直探索性问题 【典例1】如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【解析】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与已知直线垂直； 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线。 【变式1】如图，已知立方体底面棱的中点，在直线上是否存在一点，使得？说明理由. 【答案】存在，理由见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理得出知平面，再延长交延长线于点即可求解. 【解析】如图，分别取中点， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 又因为平面， 所以平面. 延长交延长线于点，由于平面， 所以，由于为的中点，故， 所以在直线上存在一点，， 使得. 【变式2】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；. 【分析】在平面内找到一条直线与平行即可. 若平面，又由已知条件平面，平面与平面必然平行，因此容易想到为线段的中点，再证明即可. 【解析】（1）取中点，连接，， 在中，因为，分别是，中点， 所以，且， 在平行四边形中，因为是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）在线段上存在点，使得平面， 取的中点，连，连， 因为平面，平面，平面， 所以，， 在中，因为，分别是，中点，所以， 又由（1）知，所以，， 由得平面， 故当点是线段的中点时，平面.此时，. 1．在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数有（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据长方体的结构特征直接判断与直线垂直的面的个数. 【解析】 如上图示，仅有平面和平面与直线垂直. 故选：B 2．在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（  ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质即可判断. 【解析】在正四棱锥中，，令，连接， 在中，由E，F分别是边的中点，得，是线段的中点， 而为的中点，则，又平面，平面， 因此平面，C正确，D错误； 由平面，平面，得，与相交不垂直， 又，且平面，因此与相交不垂直，AB错误. 故选：C 3．已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断． 【解析】对A：若，则或，或或与相交，错误； 对B：若，则或，错误； 对C：若，则或，错误； 对D：若，则，正确. 故选：D 4．已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断． 【解析】对A选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能相交， 故A选项不正确； 对B选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能 故B选项不正确； 由线面垂直的性质定理可知，若，则成立， 故C选项正确； 对D选项：如图所示， 若，则还有可能， 故D选项不正确； 故选：C. 5．如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【解析】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 6．如图，已知正方体中，为线段上的动点，为线段的中点，则下列四个结论不正确的是（  ） A．对任意点，平面 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点，使平面 【答案】C 【解析】对于A选项，连接、、、，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，故平面平面， 因为平面，因此平面，A对； 对于B选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值， 而为定值，故为定值，B对； 对于C选项，因为，，故四边形为平行四边形， 所以，所以与所成的角为或其补角，如下图所示： 易知为正三角形，显然当时，，C错； 对于D选项，连接、、，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当为的中点时，因为为的中点，此时，故平面，D对. 故选：C 7．（多选）在正三棱柱中，为中点，则下列命题错误的是（  ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题知，若，又，面， 所以面，又面，则，与相矛盾，所以与不垂直，故A符合题意， 对于选项B，若平面，又面，则， 又，则，显然与不垂直，所以与平面不垂直，故B符合题意， 对于选项C，因为，又面，面，所以平面，故C不合题意， 对于选项D，因为，若，则，显然不正确，故D符合题意，    故选：ABD. 8．（多选）在长方体中，，．下列四个结论正确的是（  ） A. B. C.平面 D.平面． 【答案】BC 【解析】在长方体中，，， 所以底面是长方形，故不成立， 因为平面，由线面垂直的性质可知与平面不垂直， 因为平面，平面，所以， 因为，所以不成立，故A错误； 因为， 在长方体中，有， 因为平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形， 所以，故B正确； 因为，所以， 因为是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，故C正确； 因为是长方形，所以不成立， 由线面垂直的性质可知，平面不垂直，故D错误； 故选：BC 9.（多选）如图所示，三棱锥中，，，为线段上的动点（不与重合），且，则（  ）    A． B． C．存在点，使得 D．三棱锥的体积有最大值 【答案】BD 【分析】证明与全等，即可得到的大小，从而判断A，取中点，证明平面，即可判断正确，反证法推理判断C错误，建立三棱锥体积的函数关系计算判断D正确. 【解析】对于A，因为，，所以， 由于，所以与全等， 故，故A不正确；    对于B，在三棱锥中，取中点，连接，，如图， 因为，，则，， 而，，平面，则平面， 又平面，所以，故B正确； 对于C，假设存在D点，使得，由B选项可知，， 又，，平面，则平面， 而平面，， 所以为直角三角形，为斜边，必有， 这与矛盾，所以假设不成立，故C不正确； 对于D，令，则， 令与平面所成角为， 所以点到平面的距离，而， 则三棱锥的体积，(当且仅当，且时取等号)， 所以当是中点，且平面时，三棱锥的体积取最大值，最大值为，故D正确. 故选：BD 10．已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 . 【答案】a与b相交 【分析】根据线面垂直的判定定理可得答案. 【解析】由线面垂直的判定定理得到，a与b相交. 故答案为：a与b相交 11．如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 【答案】 【分析】由线面垂直的判定定理证明平面．再由线面角的定义得是与平面所成的角，解三角形即可求解. 【解答】由已知得，和是全等的等边三角形且F是的中点，所以，．又，故平面． 连接，则是在平面内的射影，所以是与平面所成的角． 设空间四边形的边长为a，则在等边三角形中； 在中，． 故． ，故． 故答案为： 12．在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为______________ 【答案】 【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，再由线面角的最小性可知，当取最大值时，三点共线，只需求此时的正弦值即可. 【解析】如图所示，连接，交平面于点. 设与平面所成角为，正方体的棱长为， 根据正方体的性质可得，平面， 所以平面，且点为的中心， 所以. 又因为直线与所成角为，且的最小值为， 所以与平面所成角为，所以为. 由线面角的最小性可知，当取最大值时，三点共线， 所以此时. 又因为在中，易得，， 所以， 所以， 所以 . 故答案为： 13．如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理分析论证即可得证. （2）利用线面平行的判定定理分析论证即可得证. 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以，又由， 而，平面，平面， ∴平面. （2）证明： 如上图，连接交于，连接， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. 14．如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)192；(3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【解析】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.6 直线与平面垂直 教学目标 1.理解直线与平面垂直的定义及相关概念，了解斜线、直线和平面所成角的概念，会求直线与平面所成的角． 2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能运用其解决相关问题． 3.在探究、运用直线与平面垂直的判定定理与性质定理解决相关问题的过程中、发展直观想象素养． 4.通过图形计算直线与平面所成的角，发展直观想象和数学运算素养，在利用线面垂直的判定定理证明的过程中，发展逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 直线与平面垂直的判定定理、性质定理及其应用；平面斜线的有关概念． 2.难点 探究、归纳直线和平面垂直的定义，线面垂直性质定理的证明；求直线与平面所成的角. 知识点01 直线与平面垂直的判定定理 1．直线与平面垂直的定义： 如图，如果一条直线a和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α. 直线a叫作平面的垂线，平面α叫作直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理： (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 注：(1) 突出关键词“两条相交直线”一定不可忽视，否则将导致结论错误． 如图，直线l⊥a, l⊥b, a⊂α， b⊂α， a∥b，而l⊂α，即l不垂直于α. (图4) (2) 本定理体现了转化思想，即线线垂直⇒线面垂直． 【即学即练】 1．已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（  ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 知识点02 直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 【即学即练】 1．如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1) 平面； (2). 2．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； 知识点03 点面距、线面距以及线面角 1.点面距离、线面距离 (1)点到平面的距离 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. (2)直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. 【即学即练】 1．在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 题型01 直线与平面垂直的判定与证明 【典例1】如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【变式1】如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式3】（多选）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（  ） A.平面 B. C.平面 D.平面. 【变式4】如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱平面，E、F分别是、的中点，.求证：平面.    【变式5】如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 【变式6】如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 题型02 利用线面垂直的性质证明线线平行、垂直 【典例1】如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 性质定理的作用: ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【变式1】如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（  ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【变式2】已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（  ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【变式3】（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（  ） A． B．平面 C． D． 【变式4】如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.    【变式5】如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【变式6】如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型03 利用线面垂直判断线段比例或点所在的位置 【典例1】已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，若，点为的中点，点为的三等分点（靠近点）． (1)求证：平面； (2)若线段上的点在平面内，求的值． 【变式1】在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（  ） A． B． C． D．1 【变式2】如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 【变式3】在三棱锥中，，，点E是边上的一点，当 时，平面. 【变式4】已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的取值范围为__________ 题型04 点面距离、线面距离及其应用 【典例1】如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； 点到平面的距离的常见求法: ①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. 【变式1】已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【变式2】在棱长为的正方体中，点到平面的距离为____________ 【变式3】如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【变式4】四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 题型05 求直线与平面所成的角 【典例1】如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）． 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解． 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长． 【变式1】在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】正方体，直线与平面所成的角的大小是（  ） A． B． C． D． 【变式3】三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是____________ 【变式4】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【变式5】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 题型06 直线与平面所成角的应用 【典例1】如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点，若与平面所成角为，则_________．    【变式1】如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点，已知，则=_________；    【变式2】在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【变式3】如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线的长度. 【变式4】已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积． 题型07 立体几何中的线面垂直探索性问题 【典例1】如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与已知直线垂直； 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线。 【变式1】如图，已知立方体底面棱的中点，在直线上是否存在一点，使得？说明理由. 【变式2】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数有（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（  ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 3．已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（  ） A． B． C． D． 6．如图，已知正方体中，为线段上的动点，为线段的中点，则下列四个结论不正确的是（  ） A．对任意点，平面 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点，使平面 7．（多选）在正三棱柱中，为中点，则下列命题错误的是（  ） A． B．平面 C．平面 D． 8．（多选）在长方体中，，．下列四个结论正确的是（  ） A. B. C.平面 D.平面． 9.（多选）如图所示，三棱锥中，，，为线段上的动点（不与重合），且，则（  ）    A． B． C．存在点，使得 D．三棱锥的体积有最大值 10．已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 . 11．如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 12．在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为______________ 13．如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 14．如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $