专题01 集合与常用逻辑用语3个考点（北京专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 汇编2026年北京西城、丰台等区二模集合与常用逻辑用语试题，覆盖集合运算、新定义、逻辑用语三大考点，基础题与创新题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|集合间关系与运算（4题）、常用逻辑用语（4题）|结合函数单调性（第8题）、正方体（第9题）考查充要条件，贴近高考命题趋势| |非选择题|3题|集合新定义（3题）|以序列（第5题）、平面直角坐标系（第6题）为情境，设置多问证明与探究，体现数学抽象与逻辑推理素养|

专题01 集合与常用逻辑用语 3大考点概览 考点01 集合间的基本关系与运算 考点02 集合新定义 考点03 常用逻辑用语 集合间的基本关系与运算 考点1 1．（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，集合，检验中元素是否属于： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故中仅有，. 选项A：，即中所有元素都属于，不成立. 选项B：，即中所有元素都不属于，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立. 2．（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 则集合必包含元素，可能包含元素，所以，，故A正确，BD错误， 因为，且，所以，故C错误. 3．（2026·北京东城·二模）已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为全集，， 所以 . 4．（2026·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出集合的范围，求出并集即可． 【详解】因为；且； 故 ． 集合新定义 运算 考点2 5．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据序列相邻两项对应点的距离为1，逐步确定，，，. （2）把序列中的项看成方格中的点，连接相邻点得到水平或竖直单位线段，再用抽屉原理证明一定存在连续三点共行或共列； （3）把连续同方向的若干条单位线段合并为一个水平线段或竖直线段，通过估计水平线段数和竖直线段数的总数，得到具有性质的项的个数不少于10． 【详解】（1）当时，，所以 . 由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1. 第一项为，第二项为，所以 . 即 .解得. 所以第二项为. 第二项为，第三项为，所以 . 即 .解得. 所以第三项为. 中共有4个不同元素，前三项已经是，，，剩下的一个元素为，所以第四项为. 因此 . （2）以序列中的项为坐标的点记作，连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，因此该点对应的项具有性质． 故中存在具有性质的项． （3）将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即． 所以． 同理． 所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． 6．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论： ①当时，则是一条直线； ②当时，点到原点的距离存在最小值，不存在最大值； ③当时，则所有满足的点所构成的区域面积为； ④当时，已知集合，则集合； 其中所有正确的结论是_______． 【答案】①②③ 【分析】借助数量积公式可得，若，则集合是直线，即可得①；结合点到直线距离公式计算可得②；由题意可得集合所表示区域，即可得点所表示的区域及其面积，即可得③；结合③中所得可判断④. 【详解】，故点坐标满足； 对①：若，则， 即点坐标满足， 此时点的轨迹是直线，故①正确； 对②：由点坐标满足， 点到直线的距离， 则点到原点的距离的范围为，有最小值，无最大值，故②正确； 对③：由点到直线的距离，且， 故集合表示平面内以为圆心，为半径的圆外的所有区域（包括圆）， 若，则点所表示的区域为该圆内部，即其面积为，故③正确； 对④：由③可得，则，故④错误. 7．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【答案】(1)故答案不唯一，如 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解； （2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可； （3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可. 【详解】（1）由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. （2）由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． （3）记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 常用逻辑用语 运算 考点3 8．（2026·北京丰台·二模）已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举反例说明充分性不成立，根据奇函数的定义和性质判断必要性成立. 【详解】若在上单调递增，例如， 满足，在区间上单调递增，但， 所以函数不是奇函数，所以充分性不成立； 若函数是奇函数，则， 且在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以在上单调递增，所以必要性成立； 综上所述：“在上单调递增”是“是奇函数”的必要不充分条件. 9．（2026·北京西城·二模）已知正方体W和平面，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合正方体的结构特征推理判断. 【详解】正方体W的8个顶点中最多有4个顶点在同一平面内， 由正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等，得这6个顶点必在两个与平面都平行的平面内， 当6个顶点中有4个顶点在一个平面内，则平面与正方体的一个正方形表面平行或与正方体的一对相对棱平行， 当平面与正方体的一个正方形表面平行时，只有4个顶点或8个顶点到平面的距离相等，不符合题意； 当平面与正方体的一对相对棱平行时， 如图，在正方体中，依次取棱的中点， 则点与点到平面的距离相等，而平面将正方体分成的两部分体积不等； 反之，平面将正方体W分成体积相等的两部分，平面必过该正方体的中心， 正方体W的8个顶点中到平面的距离相等的顶点不一定是6个， 如在正方体中，平面过该正方体的中心， 只有4个顶点或到平面距离相等， 所以“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的既不充分也不必要条件. 10．（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 11．（2026·北京朝阳·二模）设，则“”是“函数的图象关于直线对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】∵ 函数的对称轴满足，即. 充分性：若，则，满足对称轴条件，充分性成立. 必要性：取，是函数对称轴，但，必要性不成立. 故为充分不必要条件，A正确. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 3大考点概览 考点01 集合间的基本关系与运算 考点02 集合新定义 考点03 常用逻辑用语 集合间的基本关系与运算 考点1 1．（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京东城·二模）已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 集合新定义 运算 考点2 5．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 6．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论： ①当时，则是一条直线； ②当时，点到原点的距离存在最小值，不存在最大值； ③当时，则所有满足的点所构成的区域面积为； ④当时，已知集合，则集合； 其中所有正确的结论是_______． 7．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 常用逻辑用语 运算 考点3 8．（2026·北京丰台·二模）已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·北京西城·二模）已知正方体W和平面，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2026·北京朝阳·二模）设，则“”是“函数的图象关于直线对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $