专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、复数、向量（北京专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、复数、向量 题型概览 题型01 集合的运算 题型02 充分条件与必要条件 题型03 不等式 题型04 复数 题型05 平面向量 ( 题型01 )集合的运算 1．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京丰台·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2025·北京东城·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京昌平·二模）已知全集，集合，，则=（    ）． A． B． C． D． 6．（2025·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )充分条件与必要条件 7．（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·北京丰台·二模）已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·北京海淀·二模）已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 题 型 0 3 )不等式 13．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． ( 题型0 4 )复数 15．（2025·北京昌平·二模）若复数，则复数的共轭复数（    ）． A． B． C． D． 16．（2025·北京·二模）设为虚数单位，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2025·北京丰台·二模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（2025·北京朝阳·二模）若复数z满足，则 ． 19．（2025·北京海淀·二模）若（为虚数单位），则 ． 20．（2025·北京东城·二模）已知，则复数的实部为（   ） A． B．1 C． D．3 ( 题型0 5 )平面向量 21．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·北京海淀·二模）已知向量．若与共线，则（    ） A． B． C． D．2 23．（2025·北京昌平·二模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 24．（2025·北京朝阳·二模）在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（    ） A． B． C． D． 25．（2025·北京·二模）设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（   ） A．1 B．3或1 C．3 D．3或 26．（2025·北京丰台·二模）已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、复数、向量 题型概览 题型01 集合的运算 题型02 充分条件与必要条件 题型03 不等式 题型04 复数 题型05 平面向量 ( 题型01 )集合的运算 1．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合交集、补集运算，包含关系逐个判断即可. 【详解】， 错误，错误，错误， ， 所以，D正确， 故选：D 2．（2025·北京丰台·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式计算得出集合B，再结合交集定义计算求解. 【详解】集合， 则. 故选：A. 3．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据交集的结果直接得出答案. 【详解】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B 4．（2025·北京东城·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合交集的运算，即可得到结果. 【详解】，且， 则. 故选：A 5．（2025·北京昌平·二模）已知全集，集合，，则=（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求解即可. 【详解】由，，则， 又，所以. 故选：B. 6．（2025·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先，求解集合中关于的不等式，然后求解的并集. 【详解】对于集合，，化简得，所以. 所以集合. 对于集合，，根据指数函数的性质可得. 所以集合. 所以. 故选：A. ( 题型02 )充分条件与必要条件 7．（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，分和两种情况讨论公比取值，即可判断. 【详解】若“数列为递减数列”，易得， 若“对任意的正整数，”， ， 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 综上可知：若，可判断数列为递减数列， 所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件， 故选：C 8．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由， 得，解得或， 由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解. 【详解】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 10．（2025·北京丰台·二模）已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合二次方程的根的情况与二次函数图象、二次不等式的解集之间的联系，推导证明可得出结论. 【详解】充分性的判断： 若，则或， 当时，关于的方程有两个相等的实数根，则， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为； 当时，关于的方程有两个不相等的实数根，不妨设， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为. 所以，由“”不能推出“关于的不等式的解集为”，充分性不成立. 必要性的判断： 若关于的不等式的解集为，因为二次函数开口向上，所以， 又因为关于的方程有两个实数根，则，则，必要性成立. 综上，“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 11．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先验证充分性，由已知可得或，即可知之间的关系；再验证必要性，根据之间的关系，结合诱导公式即可判断. 【详解】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 12．（2025·北京海淀·二模）已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得，故必要性成立； 由，得，得， 不一定成立，故充分性不成立. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B ( 题 型 0 3 )不等式 13．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 14．（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系求出；利用三角形面积公式及基本不等式求出最大值. 【详解】在中，由，得，而，所以； 的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：； ( 题型0 4 )复数 15．（2025·北京昌平·二模）若复数，则复数的共轭复数（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义即可求解. 【详解】由， 所以， 故选：A. 16．（2025·北京·二模）设为虚数单位，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数的除法运算化简，即可求解. 【详解】， 所以复数对应的点，位于第四象限， 故选：D 17．（2025·北京丰台·二模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】化简复数，求出共轭复数即可判断对应点所在象限. 【详解】因为 所以，共轭复数对应的点坐标为，位于第四象限， 故选：D. 18．（2025·北京朝阳·二模）若复数z满足，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法可求得，结合模长公式运算求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 19．（2025·北京海淀·二模）若（为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件求出、，即可得解. 【详解】因为，又， 所以，则. 故答案为： 20．（2025·北京东城·二模）已知，则复数的实部为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据实部的概念求解即可. 【详解】因为，所以， 所以复数的实部为. 故选：. ( 题型0 5 )平面向量 21．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边平方化简得，再根据向量夹角的范围即可求解. 【详解】因为向量为单位向量，且， 所以，即， 化简得， 因为向量的夹角， 所以. 故选：B. 22．（2025·北京海淀·二模）已知向量．若与共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】因为向量．且与共线， 所以得，解得. 故选：A. 23．（2025·北京昌平·二模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 【答案】 0 【分析】建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则， 所以，， 故答案为：0； 24．（2025·北京朝阳·二模）在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，用来表示，然后利用平面向量基本定理即可确定选项. 【详解】 在矩形中，因为点E为线段的中点，所以， 则有， 因为，分别是与方向相同的单位向量, 所以， 则， 又因为，所以， 故选：B. 25．（2025·北京·二模）设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（   ） A．1 B．3或1 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】联立直线圆的方程，结合向量数量积的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】将直线代入圆的方程可得：， ， 设， 所以， ，则， 所以 ， 化简得：， 解得：或， 故选：D 26．（2025·北京丰台·二模）已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及定义得出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围，可得出与的夹角. 【详解】因为，， 则， 又， 所以，则， 因为，所以. 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$