专题07 函数与导数5个考点（北京专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 北京各区2026年二模函数与导数专题试题汇编，覆盖5大核心考点，精选选择、填空、解答题，注重知识综合与现实应用，适配高三二模复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9题|函数定义域值域（题1）、奇偶性（题8）、指对幂函数（题9）|结合北京各区二模真题，基础与能力题并重| |填空题|3题|分段函数零点（题3）、不等式解集（题10）|梯度设计，考查分类讨论思想| |解答题|5题|导数切线（题15(1)）、单调性（题19(1)）、零点与对称（题15(3)）|结合电池健康度（题12）、工厂产值（题14）等现实情境，导数大题分层考查逻辑推理与创新应用|

专题07 函数与导数 5大考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 指对幂函数 考点04 函数的应用 考点05 导数的综合大题 函数及其表示 考点1 1．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用函数的图象性质结合图象变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解. 【详解】对于A，的定义域为，值域为， 定义域与值域相同，故A正确； 对于B，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故C错误； 对于D，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故D错误； 2．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 【答案】 140 【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解. 【详解】方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数， 如下图： 由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点， 故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是， 若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是， 设4个元素由小到大为， 则，即，得， ，即，得， ，即，得， ，即，得， 所以， 故当时，取得最小值140. 3．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增； ，单调递减， 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 函数的基本性质 考点2 4．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 【答案】①②④ 【分析】令，利用奇偶性的定义与图象的平移可判断①；令，因式分解可判断②；利用作差法比较数的大小可判断③，利用导数的意义与根的存在性定理可得，，，结合②，可得，同理判断，可判断④. 【详解】因为，所以令， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 又的图象向下平移个单位得到的图象， 所以曲线的图象关于点成中心对称图形；故①正确； 令 ，当时，， 所以当时，曲线在曲线的上方，故②正确； 因为， 所以 ， ， 所以 ， 当时，，此时，故③错误； 因为， 所以在上单调递增，又， 所以只有唯一零点，且，同理可得， 当时，，且，， 所以函数有唯一零点，且， 由②知当时，曲线在曲线的上方，故， 当时，令 ， 即曲线在曲线的下方，故， 所以，故④正确. 5．（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【详解】函数图象上任意一点关于轴对称的点为， 代入中得，即，得. 6．（2026·北京丰台·二模）已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举反例说明充分性不成立，根据奇函数的定义和性质判断必要性成立. 【详解】若在上单调递增，例如， 满足，在区间上单调递增，但， 所以函数不是奇函数，所以充分性不成立； 若函数是奇函数，则， 且在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以在上单调递增，所以必要性成立； 综上所述：“在上单调递增”是“是奇函数”的必要不充分条件. 7．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：或；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 8．（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可. 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 指对幂函数 考点3 9．（2026·北京东城·二模）已知非零实数x，y满足，则下列各式中为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令且，则， 所以，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值； ，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值； ，为定值； ，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值. 10．（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】把不等式化为，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 11．（2026·北京西城·二模）设函数，若不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性及零点，结合条件分析可得，与的零点相同，可得的关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】，定义域为， 因为的解集为，所以在定义域内恒成立， 因为为单调递增函数，且零点为， 为单调递增函数，且零点为， 所以要使在定义域内恒成立，只需两函数零点相同，即， 所以，故A、B错误； ， 所以，故C正确； 当时，，故D错误. 函数的应用 考点4 12．（2026·北京朝阳·二模）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 【答案】B 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加. 13．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 【答案】C 【分析】整理可得，换元令，结合二次函数性质可得，令求得，进而分析得零点. 【详解】因为，， 令，可得的图象开口向下，对称轴， 当，即时，则的最大值为，解得； 当，即时，则的最大值为，解得（舍去）； 综上所述：，则， 令，解得或（舍去）， 又因为在有2个解， 所以有2个零点. 14．（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 【答案】B 【分析】根据给定信息，利用年增长率的意义，结合指数运算求解. 【详解】设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为， 得，即，设实际年平均增长率为， 由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得， 即，因此2033年工厂的实际年产值为. 导数综合大题 考点5 15．（2026·北京朝阳·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当时，判断曲线上是否存在两个不同的点关于点对称，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)曲线上不存在两个不同的点关于点对称，理由见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导判断函数的单调性，结合，，，可求得满足的的取值范围； （3）设曲线上是否存在两个不同的点关于点对称，即关于点对称，进而可得在上有解，构造函数，利用换元法结合导数求解可得结论. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）若，由，可得， 令，，所以有两个正根， 记两正根为，且， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 所以函数至多三个零点，又， ，， 所以函数有三个零点，所以且， 所以满足的的取值范围为； （3）曲线上不存在两个不同的点关于点对称，理由如下： 设曲线上是否存在两个不同的点关于点对称， 即关于点对称，所以， 所以有解， 所以在上有解， 所以，即， 令，因为，所以， 即在上有解. 令，求导得， 因为，所以，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上无解， 故曲线上不存在两个不同的点关于点对称. 16．（2026·北京丰台·二模）已知函数是的导函数. (1)若，求的值； (2)若存在最大值，求的取值范围； (3)设在处取得最大值.直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）求得 ，将代入和，求得 和，结合 ，即可求解； （2）令，求得，令 ，结合二次函数的性质，分类讨论，求得函数的单调性，进而得到答案. （3）由，得到，根据在处取得最大值，求得，求得切线方程，求得，得到，再由的面积为，得到，设，利用导数求得在上单调递增，得出在上无解，即可得到答案. 【详解】（1）由函数，可得 ， 则 ， ， 因为 ，可得，解得. （2）函数的定义域为,因 ， 令，则 令 ， ①当时，即时， 在上恒成立， 即在上恒成立；所以在上单调递增，无最大值,不合题意； ②当时，即时，二次函数 的图象开口向上， 且对称轴，，所以在上恒成立； 即在上恒成立；则在上单调递增，无最大值，不合题意； ③当时，即时，在的根处取得最大值， 由二次函数的图象开口向下，对称轴， 因为，所以存在，， 当时，，即，在上单调递增； 当时，，即，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 综上可得，实数的取值范围为. （3）由（1）知，可得 因为在处取得最大值，则是的极大值点， 即是的根，则，解得， 把代入得，可得 ， 则曲线在点处的切线方程为 ， 令 ，可得， 又因为 ， 可得 ， 在中，为原点，， 所以， 当时，，令 ， 可得， 当时，，在单调递增，所以， 即，所以， 因为的面积为，可得，即， 设 ，可得 ， 设 ，可得， 令 ，可得在上单调递增， 所以 ，可得，所以在上单调递增， 所以 ， 可得，所以在上单调递增， 所以， 所以在上无解，即不存在的值，使得的面积为. 17．（2026·北京东城·二模）已知函数，.当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，且. (1)求的值； (2)当时，求证：与的交点位于y轴右侧； (3)已知，与y轴交于点A，与x轴交于点B.若存在（e为自然对数的底），使得，求b的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）联立与的方程，求出交点横坐标，令，判断交点横坐标的正负； （3）求出坐标，根据求出的值，利用导数研究函数的单调性，求出最大值. 【详解】（1），，， ， 因为，所以 ，即，解得； （2）直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 当时，，所以，又，所以， 所以当时， 与的交点位于y轴右侧； （3）由题可知，，， 则， 若，则，解得， 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，，当 时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以b的最大值为. 18．（2026·北京西城·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)对于，讨论与的大小； (3)当时，证明：方程存在两个根，，且. 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， (3)证明见详解 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）利用作差法可得，构造新函数，，利用导数判断单调性，进而分析符号； （3）利用导数判断的单调性和最值，即可证方程存在两个根，结合（2）中大小关系分析证明. 【详解】（1）若，则，且， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程. （2）由题意可知：的定义域为，则， 可得， 因为，且，则， 令，， 则， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 即，可知在内单调递增，且， 当时，则，可得，所以； 当时，则，可得，所以； 当时，则，可得，所以； 综上所述：当时，；当时，；当时，. （3）因为的定义域为，，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 则与有2个交点，所以方程存在两个根，， 不妨设，则，且， 由（2）可知：当时，， 则，即， 又因为，，且在内单调递减， 则，所以. 19．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，． (1)求函数的单调区间； (2)判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； (3)直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据导函数的正负分析的单调性； （2）将曲线存在两点关于对称转化为方程存在两个不同实根，然后构造函数分析单调性求解； （3）根据导数的几何意义得到直线的方程，即可得到，然后代入，利用换元法求范围即可. 【详解】（1）令，定义域为R，求导得： ， 因为恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若存在关于对称，则等价于方程存在两个不等于1的不同实根， 构造函数， 令，求导得： ， 恒成立， ∴时，，单调递增， 时，，单调递减， 的最大值为，且时，， 因此有两个不同零点，即方程有两个不同解，对应两个不同点. （3）切线斜率，切线方程为， 令得： ， 与垂直，斜率，方程为， 令得： ， 代入所求表达式化简， 全部消去： ， 设，则原式， 对求导得，因此在单调递减，单调递增，最小值，即，， 是关于的增函数， ∴ ， ∴的取值范围为取值范围为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数与导数 5大考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 指对幂函数 考点04 函数的应用 考点05 导数的综合大题 函数及其表示 考点1 1．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 3．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 函数的基本性质 考点2 4．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 5．（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 6．（2026·北京丰台·二模）已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 指对幂函数 考点3 9．（2026·北京东城·二模）已知非零实数x，y满足，则下列各式中为定值的是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·北京丰台·二模）不等式的解集是___________. 11．（2026·北京西城·二模）设函数，若不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 函数的应用 考点4 12．（2026·北京朝阳·二模）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 13．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 14．（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 导数综合大题 考点5 15．（2026·北京朝阳·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当时，判断曲线上是否存在两个不同的点关于点对称，并说明理由． 16．（2026·北京丰台·二模）已知函数是的导函数. (1)若，求的值； (2)若存在最大值，求的取值范围； (3)设在处取得最大值.直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 17．（2026·北京东城·二模）已知函数，.当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，且. (1)求的值； (2)当时，求证：与的交点位于y轴右侧； (3)已知，与y轴交于点A，与x轴交于点B.若存在（e为自然对数的底），使得，求b的最大值. 18．（2026·北京西城·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)对于，讨论与的大小； (3)当时，证明：方程存在两个根，，且. 19．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，． (1)求函数的单调区间； (2)判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； (3)直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $