专题08 计数原理与概率统计3个考点（北京专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 北京多城区2026年二模数学试题汇编，聚焦计数原理与概率统计，以花粉过敏调查、智能体测评等现实情境为载体，设置基础运算与综合应用梯度，适配高三二模备考需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|4道|排列组合（展开式系数）、二项式定理（常数项）|基础运算题占比40%，如朝阳二模展开式系数题| |解答题|5道|统计（频率估计概率）、概率分布（分布列与期望）、方差比较|融合社会热点与科技情境，如丰台二模智能体测评题；分层设计三问，如西城二模文博馆参观次数题含概率、分布列、方差比较|

专题08 计数原理与概率统计 3大考点概览 考点01 排列组合与二项式定理 考点02 统计 考点03 概率与随机变量及其分布 排列组合与二项式定理 运算 考点1 1．（2026·北京朝阳·二模）在的展开式中，各项系数的最大值是（   ） A．6 B．15 C．20 D．35 2．（2026·北京丰台·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．1 D．3 3．（2026·北京西城·二模）在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 统计 运算 考点2 4．（2026·北京朝阳·二模）2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 城区 220 180 150 50 郊区 500 120 80 70 30 用频率估计概率． (1)从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率； (2)从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率； (3)该市疾控中心规定过敏程度评分如下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 过敏程度评分 0 1 2 3 4 该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，地区青少年的过敏程度平均评分为，地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了地区青少年的过敏程度平均评分不变．记为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后（该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出的最小正整数值．（结论不要求证明） 概率与随机变量及其分布 运算 考点3 5．（2026·北京东城·二模）某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记录并整理这些门店同一季度的产品A，B的收益数据（单位：万元），如下表： 门店 产品 1 2 3 4 5 6 7 8 A 5.8 7.2 8.5 9.5 11.2 11.9 12.9 13.7 B 3.7 5.7 7.9 9.6 13.2 15.1 17.9 19.5 用频率估计概率. (1)从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益的概率； (2)从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B收益的门店个数，求X的分布列及数学期望； (3)这8个门店中，设门店的产品A，B的收益分别为，，记，，，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 6．（2026·北京丰台·二模）某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 7．（2026·北京西城·二模）随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下： 假设各年的参观情况互不影响. (1)在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率； (2)从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望； (3)记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明） 8．（2026·北京通州·二模）随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 3大考点概览 考点01 排列组合与二项式定理 考点02 统计 考点03 概率与随机变量及其分布 排列组合与二项式定理 运算 考点1 1．（2026·北京朝阳·二模）在的展开式中，各项系数的最大值是（   ） A．6 B．15 C．20 D．35 【答案】C 【详解】根据二项式定理，的展开式的通项公式为： ， 其中的取值范围是. 展开式中第项的系数就是二项式系数， 则当取时，分别等于， 则， 可知最大系数为20. 2．（2026·北京丰台·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【详解】由题意可知展开式中含的项为， 所以的系数为3. 3．（2026·北京西城·二模）在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】需先写出二项式展开式的通项公式，令的指数为 0 求出的值，再代入通项公式计算常数项即可. 【详解】因为二项式 的通项为 ， 又因为，，， 所以 因为常数项要求 的指数为 0，所以，解得， 所以. 统计 运算 考点2 4．（2026·北京朝阳·二模）2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 城区 220 180 150 50 郊区 500 120 80 70 30 用频率估计概率． (1)从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率； (2)从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率； (3)该市疾控中心规定过敏程度评分如下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 过敏程度评分 0 1 2 3 4 该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，地区青少年的过敏程度平均评分为，地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了地区青少年的过敏程度平均评分不变．记为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后（该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出的最小正整数值．（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)； (3)的最小正整数值为6，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到方程，求出，进而得到概率； （2）由二项分布知识进行求解； （3）列出不等式，求出的范围，得到答案 【详解】（1）由题意得， 解得， 从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率为； （2）频率估计概率， 该市城区青少年春季花粉“无过敏”的概率为， 该市郊区青少年春季花粉“无过敏”的概率为， 各随机抽取2人， 抽到的城区青少年中恰有1人“无过敏”且郊区青少年两人均不是“无过敏”的概率为 ， 抽到的郊区青少年中恰有1人“无过敏”且城区青少年两人均不是“无过敏”的概率为 ， 估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率为； （3）的最小正整数值为6，理由如下： 由题意得， 解得， 的最小正整数值为6. 概率与随机变量及其分布 运算 考点3 5．（2026·北京东城·二模）某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记录并整理这些门店同一季度的产品A，B的收益数据（单位：万元），如下表： 门店 产品 1 2 3 4 5 6 7 8 A 5.8 7.2 8.5 9.5 11.2 11.9 12.9 13.7 B 3.7 5.7 7.9 9.6 13.2 15.1 17.9 19.5 用频率估计概率. (1)从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益的概率； (2)从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B收益的门店个数，求X的分布列及数学期望； (3)这8个门店中，设门店的产品A，B的收益分别为，，记，，，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列： 0 1 2 3 . (3) 【分析】（1）统计满足收益高于的门店频数，用频率估计概率直接求解； （2）识别抽取符合超几何分布，枚举取值、组合数算概率，套用超几何期望公式求值； （3）利用随机变量线性组合的方差公式，根据方差的波动特点，比较大小. 【详解】（1）对8个门店的A，B收益，分别记为满足的门店共3个（门店1、2、3），用频率估计概率得： ； （2）X为抽取的3个门店中A收益高于的个数，服从超几何分布，的可能取值为， 总门店，符合条件的门店，抽取，： ，， ，， 分布列： 0 1 2 3 . （3） 设产品A收益的方差为​，产品B收益的方差为 由产品A的收益极差为，B的收益极差为， 从极差的显著大小关系可以估计其方差的显著大小关系，会显著大于. 因为，，， 线性组合的方差会向权重更大的变量 “靠拢”，权重越大，整体方差越接近该变量的方差. 因此权重偏向 的方差最大，权重偏向的方差最小，权重均等的的方差居中. 6．（2026·北京丰台·二模）某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)的分布列为 0 1 2 (3)应选择方案二 【分析】（1）根据表格中数据结合频率、频数之间的关系运算求解； （2）分析可知随机变量的可能值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （3）以区间的中间值作为估计值，结合题意分别求两种方案的得分平均数，进而对比分析. 【详解】（1）因为在内频数为60，频率为，则， 且在内频数为30，则， 则在内频数为，频率. （2）因为综合得分为和的人数比为， 则在综合得分为内抽取人数为，在综合得分为内抽取人数为， 可知随机变量的可能值为0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为 0 1 2 的期望为. （3）方案一：该公司员工的人均综合得分； 方案二：该公司员工的人均综合得分； 因为，所以应选择方案二. 7．（2026·北京西城·二模）随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下： 假设各年的参观情况互不影响. (1)在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率； (2)从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望； (3)记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P ， (3) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列和数学期望； （3）根据数据的变化趋势以及波动情况即可得结论. 【详解】（1）2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数， 其中增长的年份共8年，因此所求概率为； （2）2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个； 2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个。 X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率： ，， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P ； （3）未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35； 成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），波动范围在48–120，且有明显下降回升， 总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似， 由此从数据波动幅度可看出： 总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人， 故. 8．（2026·北京通州·二模）随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 【答案】(1)智能体甲成功完成任务的概率为，智能体乙成功完成任务的概率为； (2) (3)选购智能体甲。 【分析】（1）先分别计算甲、乙成功完成任务的频率，再用频率估计概率可得； （2）先分别计算甲、乙成功完成类任务的概率，进而可确定类任务由乙完成，类任务由甲完成，再结合相互独立事件的概率计算可得； （3）分别计算得甲、乙成功任务的期望值的大小，通过期望大小判断可得. 【详解】（1）智能体甲总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此甲成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以甲成功完成任务的概率估计为 智能体乙总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此乙成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以乙成功完成任务的概率估计为. 所以智能体甲成功完成任务的概率为、智能体乙成功完成任务的概率. （2）先计算两款智能体完成不同类型任务的成功率： 甲完成类：​，甲完成类：； 乙完成类：，乙完成类：. 比较概率大小得：，由比较可知类任务乙更擅长，类任务甲更擅长. 因此分配为：类由乙完成，2项类由甲完成。 设“3项任务恰有2项成功”为事件，分两种互斥情况： ①类任务成功，仅1个类任务成功： ， ②类任务失败，2类任务成功：， 因此： . 所以估计这项任务中恰有项被成功完成的概率为. （3）因为类任务占比，类任务占比， 甲完成类的概率​，甲完成类的概率， 所以甲完成任务的期望为； 同理乙完成类任务的概率，乙完成类的概率， 所以乙完成任务的期望为. 所以，故该企业应选购智能体甲. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $