专题11平移（5知识点+5题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

专题11 平移 （5知识点+5题型+过关检测） 【题型1 生活中的平移现象】 1 【题型2 图形的平移】 3 【题型3 利用平移的性质求解】 5 【题型4 利用平移的性质解决实际问题】 7 【题型5 平移（作图）】 10 概念认知：理解平移的定义，能准确识别生活和平面图形中的平移现象，区分平移与旋转、轴对称等图形变换。 性质掌握：熟练掌握图形平移的核心性质，明确平移前后图形的形状、大小、位置变化规律。 作图能力：掌握平面图形平移作图的方法，能根据平移方向、距离画出平移后的图形。 03 知识•梳理 知识点1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移的两个要素：平移方向、平移距离，二者缺一不可。 知识点2. 平移的判定条件 图形平移过程中，只改变位置，不改变形状、大小；图形上所有点的平移方向一致、平移距离相等。旋转、翻转、缩放均不属于平移。 知识点3. 平移的核心性质 · 平移前后的图形全等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 · 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，线段方向与平移方向一致。 · 图形的周长、面积在平移前后保持不变。 知识点4. 平移的应用规律 可通过平移拼接不规则图形，转化为规则图形求面积、周长；生活中电梯升降、传送带移动、推拉门窗均为平移现象。 04 题型•汇总 【题型1 生活中的平移现象】 解题技巧 1. 核心判定标准：物体沿直线运动，形状、大小、自身朝向完全不变，仅位置发生改变。 2. 常见平移实例：电梯升降、推拉窗户、传送带运输、汽车平直行驶。 3. 排除易错项：转动、摆动、翻转、曲线运动均不属于平移（如风扇转动、钟摆摆动、车轮滚动）。 【典例1】．下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】B 【分析】本题根据平移的定义判断各选项，平移的定义为：平面内，将一个图形上所有点沿同一直线方向移动相同距离，不改变图形的形状，大小和方向． 【详解】解：∵ 平移不改变图形的形状，大小和方向，且图形上所有点移动方向，距离都相同， A 选项 温度计中液柱变化时，液柱的大小发生改变，不符合平移定义，错误； B 选项 升降电梯从一楼升到五楼，电梯整体上所有点沿同一方向移动相同距离，形状大小方向均不变，符合平移定义，正确； C 选项 树叶随风飘落，运动方向不断变化，不符合平移定义，错误； D 选项 纸张沿中线对折是翻折变换，不是平移，错误； ∴ 答案选B． 【变式1】．由杭州宇树科技研发的通用人形机器人（如图）在2026年春晚表演节目《武》．由该机器人平移得到的图案为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移只改变图案的位置，不改变图案的大小，方向和形状，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图案是由机器人平移得到的． 【变式2】．广水市以清代古民居为代表，保存了一批精美的雕花窗棂传统建筑．下面四幅图是在窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移变换的定义判断即可． 【详解】解：根据平移变换的定义可知选项C，可以由一个基本图案（图中红线框内部分）平移得到． 【变式3】．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 【题型2 图形的平移】 解题技巧 1. 两大核心要素：判断图形平移必须同时看平移方向、平移距离，缺一不可。 2. 平移特征：图形所有点移动方向一致、移动距离相等，图形姿态、大小、形状无变化。 3. 易错点：平移不改变图形朝向，若图形角度、方向发生改变，一定不是平移。 【典例2】．下列瑶绣图纹的设计与平移有关的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质即可得到结论． 【详解】 解：观察图形可知B中图形是由平移得到的． 【变式1】．下列选项中能由如图经过平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：能由如图经过平移得到的图形是： 【变式2】．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是_____． 【答案】抓落实 【分析】根据题意可以发现对应字之间的规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可知，“守初心”的对应口令为“担使命”，其中“担”是“守”字先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的，其他各个字对应也是这样得到的， ∴“找差距”对应口令是“抓落实”． 【变式3】．如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【答案】 【详解】解：由题意，线段与线段是一组对应线段，与是一组对应角. 【题型3 利用平移的性质求解】 解题技巧 1. 解题核心：依托平移全等性质，对应边相等、对应角相等、周长面积不变。 2. 线段求解技巧：对应点连线长度=平移距离，利用线段和差关系求未知边长。 3. 角度求解技巧：平移前后对应角相等，结合平行线性质、三角形内角和计算角度。 【典例3】．如图，将沿方向平移得到，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质进行求解． 【详解】解：根据平移的性质可得，， ∴． 【变式1】．如图，将沿着点B到点C的方向平移到的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．19 B．18 C．16 D．15 【答案】D 【分析】由平移的性质可得，，易得，再说明，最后运用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵将沿着点B到点C的方向平移到的位置，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即选项D符合题意． 【变式2】．如图，将直角梯形沿方向平移，平移的距离为线段的长度，得到直角梯形．已知，，，则图中阴影部分面积为______． 【答案】18 【分析】根据平移的性质得到，再根据梯形面积公式计算得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由平移的性质可知：， ∴， ∴． 【变式3】．如图，已知，将沿方向平移得到，则阴影部分的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知：， 则， ∴阴影部分的周长为：． 【题型4 利用平移的性质解决实际问题】 解题技巧 1. 面积平移法：不规则阴影、空地图形，通过平移拼接转化为长方形、正方形等规则图形，快速求面积。 2. 周长平移法：凹凸图形周长，通过平移线段，将折线周长转化为规则图形周长，简化计算。 3. 生活应用：小路宽度、跑道、地毯铺设问题，固定平移宽度，平移后抵消多余空白部分。 【典例4】．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 【变式1】．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，那么这块草地青草覆盖的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质可得，这块草地可看作是一个长为，宽为的矩形，然后进行计算即可解答． 【详解】由题意得，这块草地青草覆盖的面积是． 【变式2】．如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为______． 【答案】1288 【分析】根据平移的性质，将三条小路分别平移到长方形草地的边缘，可得绿地部分拼成一个新的长方形，确定新长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意及平移的性质得： 绿地部分可拼成一个长方形， 其长为，其宽为， 则绿地面积为：． 【变式3】．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 【题型5 平移（作图）】 解题技巧 1. 四步作图法：①找原图所有关键点；②按指定方向、距离平移每个关键点，得到对应点；③按原图顺序依次连接对应点；④检查图形形状、大小、朝向是否与原图一致。 2. 得分要点：平移距离精准、方向无误，线条连贯，无错位、变形。 3. 易错提醒：所有点平移参数必须完全一致，不可出现部分点平移距离、方向不同的情况。 【典例5】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，其顶点称为格点，格点与点的位置如图所示． (1)平移格点，画出平移后的格点（点，，的对应点分别为点，，）． (2)线段与线段的关系是 ． (3)三角形的面积为 ​． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】（1）根据平移的性质找到，的对应点，，顺次连接，，，即可求解； （2）根据平移的性质即可求解； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图，连接 根据平移的性质可知：，； 即线段与线段的关系是平行且相等； （3） 【变式1】．如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形的三个顶点分别为，，．三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)求在整个平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平面直角坐标系中平移的性质，平移后所有点的横纵坐标变化量相同，可以得到图形移动的路径； （2）将三角形放在一个矩形中，利用坐标系求解即可； （3）线段扫过的面积为四边形的面积，将四边形放在一个矩形中，利用坐标系求解即可． 【详解】（1）解：由三角形中任意一点平移后的对应点为， 可知三角形向上移动4个单位，向左移动3个单位． （2）解：． （3）解：． 【变式2】．如图，在方格纸中将水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段的位置关系是_________，数量关系是_________； 【答案】(1)见解析 (2)平行，相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）由平移可知，这两条线段之间的关系是平行且相等． 【变式3】．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点）上，按下列要求画图： (1)过点作，使点也在格点上，且； (2)在给定的方格纸中，平移三角形，使点落在点处，请画出平移后的三角形，使、的对应点分别为、； (3)请直接写出的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）将点向右平移3个单位，即为所求的点，连接即可； （2）观察可得，从点到点需向右平移6个单位，再向上平移3个单位，根据平移规律，描出点、，连接成三角形即可； （3）利用网格确定的底和高，再计算三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知，，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，且； （2）解：如图所示： （3）解：． 05 过关•检测 1．将如图所示的图案平移后可以得到下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、图形发生了旋转，方向发生了改变，不属于平移； B、图形的形状、大小、方向与原图完全一致，只是位置发生了改变，属于平移； C、灰色和白色图案的相对位置发生了改变（灰色图案跑到了右上方），不属于平移； D、图形发生了旋转，方向发生了改变，不属于平移． 2．下列每组图形中，将右面的图形平移后可以得到左面的图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，即可判断出答案． 【详解】解：A、两图形不全等，故本选项不符合题意； B、两图形是轴对称关系，故本选项不符合题意； C、两图形是旋转对称关系，故本选项不符合题意； D、将右面的图形平移后可以得到左面的图形，故本选项符合题意． 3．如图，三角形是由三角形向右平移得到的图形．若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移可得，， ∴． 4．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据平移的性质：对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，结合图形逐一判断四个结论即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，故正确； ， ． 由平移可知，， ，故正确； 四边形的周长为， 的周长为， 由平移可知，， ， 周长之差 ，故正确； ， ． ，， ， ， 四边形的面积是，故正确． 综上所述，正确的结论有个． 5．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，平移距离为，则阴影部分的面积为（   ） A．31 B．31.5 C．37 D．37.5 【答案】D 【分析】由题意得，，根据平移的性质得到，，进而得到，根据题意求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 由平移的性质得到，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】∵，观察图形可知，点是点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，点是由点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的， ∴， ∴点可能是点． 7．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平移， ∴，，， ∴，，即， 当，则，即， ∴B到的距离为线段的长；故①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴；故②正确； 四边形与四边形的周长差为 ；故③正确； ∵， ∴，即四边形与四边形的面积相等；故④正确． 综上，正确的是②③④． 8．如图，长方形中，，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形（）．若的长度为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出即可． 【详解】解：，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，…， ，，， ； ， ， 解得， 故选：B． 9．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 10．如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 【答案】171 【分析】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 利用平移道路的方法得出草地的绿地面积，进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）． 故答案为：171． 11．“科教兴国，强国有我”．在科技实验活动中，陈臻设计制作了“水火箭”升空实验．观察发射过程，他把水火箭抽象成几何图形，如图，火箭主体约，若起飞过程中约，则的长约________． 【答案】15 【分析】本题考查平移的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再平移的性质，可得，即可解答． 【详解】解：由平移的性质，得 ，， ∴． 故答案为：15． 12．如图，直角三角形的周长为2026，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是________． 【答案】2026 【分析】平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质判断出5个小直角三角形的周长之和等于直角三角形的周长，从而得解． 【详解】解：由平移的性质，5个小直角三角形较长的直角边平移后等于边，较短的直角边平移后等于边，斜边之和等于边长， ∴5个小直角三角形的周长之和等于直角三角形的周长， ∵直角三角形的周长为2026， ∴5个小直角三角形的周长之和为2026． 13．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 14．在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 【答案】 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是和，根据题意列方程组得到，，设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为，根据题意列方程得到，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：设大正方形边长，小正方形边长， 依题意得， 解得， 设重叠的小正方形边长， 依题意得， 解得， 两块阴影部分的周长和， 阴影面积 15．如图，三角形沿方向平移到三角形的位置． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求平移的距离． 【答案】(1) (2)平移距离为2 【分析】（1）根据平移的性质得出，据此可解决问题； （2）根据平移的性质得出，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由平移可知，； （2）解：由平移可知，， ，， ， 平移的距离为． 16．如图，在的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格得到，画出； (4)判断和的数量关系　　　． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】（）点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，由此即可求解； （）根据过点作已知线段的平行线的方法即可求解； （）根据平移的方法作图即可； （）根据得，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 【答案】(1)直线垂直平分线段 (2) 【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可得出结果； （2）根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； （2）解：如图，线段即为所求的线段．． 18．如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 19．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，________； (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为四种，请填写下表： 运动状态 平移时间的范围 两正方形重叠部分的面积 第一种运动状态 ________ 第二种运动状态 ________ 第三种运动状态 ________ ________ 第四种运动状态 ________ 0 (3)当时，小正方形平移的时间为________秒． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 (3)1或5 【分析】（1）根据路程速度时间求出平移的距离，再根据重叠部分是长方形，列式计算即可得； （2）分四种情况计算所得图形面积即可； （3）小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离． 【详解】（1）解：平移时，小正方形向右移动，； （2）解：当时，重叠面积； 当时，此时小正方形完全在大正方形内部，重叠部分就是小正方形的面积， 当时，小正方形逐渐离开大正方形，重叠部分的长为，所以； 当时，两正方形无重叠，则； 填表如下： 运动状态 平移时间的范围 两正方形重叠部分的面积（） 第一种运动状态 第二种运动状态 4 第三种运动状态 第四种运动状态 0 （3）解：，重叠部分宽为， 重叠部分在大正方形的左边时，秒， 重叠部分在大正方形的右边时，秒 所以小正方形平移的时间为1或5秒． 20．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析；证明见解析 (2)①或 ② 【分析】（）作，根据平行线的性质证明即可； （）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②利用平移性质得到平行四边形，确定面积为定值，再通过三角形面积公式推出点到直线的距离与长度成反比，结合垂线段最短得出时距离最大，最后在直角三角形中利用平行线性质算出． 【详解】（1）证明：补全图形如图所示， 由平移的性质得：， 过点作，交于点， 则， ∴，， ∴； （2）①分两种情况： 第一种情况：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 整理，得； 第二种情况：点在直线的下方时，如图所示： ， ， 整理，得； ②由平移性质得四边形是平行四边形，，面积为定值， ∵，点到的距离等于平行线与PD的距离， 由（为距离） 得：距离， ∴当最短时最大， 定点到直线上点的距离，垂线段最短，即时最短，最大，如图所示： 此时中，， ∴， ∴． 21．如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 【答案】地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 【分析】根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：， （元）， 答：地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 22．如图，粗线①和细线②是公交车从少年宫到体育馆的两条行驶路线． (1)判断两条线的长短：粗线①______细线②．（填“”“”或“”） (2)小丽坐出租车由体育馆到少年宫，假设出租车的收费标准为起步价8元，3千米以后按每千米2.6元计费，用式子表示出租车的收费元与行驶路程千米之间的关系． (3)如果（2）中的这段路程长5千米，小丽身上的13元钱够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不够，理由见解析 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）利用出租车分段计费进行计算即可求解； （3）把代入（2）的关系式计算，再用计算结果与10作比较即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴两条线的长短为粗线①细线②． （2）解：根据题意得：（元）． （3）解：不够． 理由如下： 当时，， ∴不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 平移 （5知识点+5题型+过关检测） 【题型1 生活中的平移现象】 1 【题型2 图形的平移】 3 【题型3 利用平移的性质求解】 5 【题型4 利用平移的性质解决实际问题】 7 【题型5 平移（作图）】 10 概念认知：理解平移的定义，能准确识别生活和平面图形中的平移现象，区分平移与旋转、轴对称等图形变换。 性质掌握：熟练掌握图形平移的核心性质，明确平移前后图形的形状、大小、位置变化规律。 作图能力：掌握平面图形平移作图的方法，能根据平移方向、距离画出平移后的图形。 03 知识•梳理 知识点1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移的两个要素：平移方向、平移距离，二者缺一不可。 知识点2. 平移的判定条件 图形平移过程中，只改变位置，不改变形状、大小；图形上所有点的平移方向一致、平移距离相等。旋转、翻转、缩放均不属于平移。 知识点3. 平移的核心性质 · 平移前后的图形全等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 · 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，线段方向与平移方向一致。 · 图形的周长、面积在平移前后保持不变。 知识点4. 平移的应用规律 可通过平移拼接不规则图形，转化为规则图形求面积、周长；生活中电梯升降、传送带移动、推拉门窗均为平移现象。 04 题型•汇总 【题型1 生活中的平移现象】 解题技巧 1. 核心判定标准：物体沿直线运动，形状、大小、自身朝向完全不变，仅位置发生改变。 2. 常见平移实例：电梯升降、推拉窗户、传送带运输、汽车平直行驶。 3. 排除易错项：转动、摆动、翻转、曲线运动均不属于平移（如风扇转动、钟摆摆动、车轮滚动）。 【典例1】．下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【变式1】．由杭州宇树科技研发的通用人形机器人（如图）在2026年春晚表演节目《武》．由该机器人平移得到的图案为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．广水市以清代古民居为代表，保存了一批精美的雕花窗棂传统建筑．下面四幅图是在窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________． 【题型2 图形的平移】 解题技巧 1. 两大核心要素：判断图形平移必须同时看平移方向、平移距离，缺一不可。 2. 平移特征：图形所有点移动方向一致、移动距离相等，图形姿态、大小、形状无变化。 3. 易错点：平移不改变图形朝向，若图形角度、方向发生改变，一定不是平移。 【典例2】．下列瑶绣图纹的设计与平移有关的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列选项中能由如图经过平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是_____． 【变式3】．如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【题型3 利用平移的性质求解】 解题技巧 1. 解题核心：依托平移全等性质，对应边相等、对应角相等、周长面积不变。 2. 线段求解技巧：对应点连线长度=平移距离，利用线段和差关系求未知边长。 3. 角度求解技巧：平移前后对应角相等，结合平行线性质、三角形内角和计算角度。 【典例3】．如图，将沿方向平移得到，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将沿着点B到点C的方向平移到的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．19 B．18 C．16 D．15 【变式2】．如图，将直角梯形沿方向平移，平移的距离为线段的长度，得到直角梯形．已知，，，则图中阴影部分面积为______． 【变式3】．如图，已知，将沿方向平移得到，则阴影部分的周长为_____． 【题型4 利用平移的性质解决实际问题】 解题技巧 1. 面积平移法：不规则阴影、空地图形，通过平移拼接转化为长方形、正方形等规则图形，快速求面积。 2. 周长平移法：凹凸图形周长，通过平移线段，将折线周长转化为规则图形周长，简化计算。 3. 生活应用：小路宽度、跑道、地毯铺设问题，固定平移宽度，平移后抵消多余空白部分。 【典例4】．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【变式1】．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，那么这块草地青草覆盖的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为______． 【变式3】．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【题型5 平移（作图）】 解题技巧 1. 四步作图法：①找原图所有关键点；②按指定方向、距离平移每个关键点，得到对应点；③按原图顺序依次连接对应点；④检查图形形状、大小、朝向是否与原图一致。 2. 得分要点：平移距离精准、方向无误，线条连贯，无错位、变形。 3. 易错提醒：所有点平移参数必须完全一致，不可出现部分点平移距离、方向不同的情况。 【典例5】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，其顶点称为格点，格点与点的位置如图所示． (1)平移格点，画出平移后的格点（点，，的对应点分别为点，，）． (2)线段与线段的关系是 ． (3)三角形的面积为 ​． 【变式1】．如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形的三个顶点分别为，，．三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)求在整个平移过程中，线段扫过的面积． 【变式2】．如图，在方格纸中将水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段的位置关系是_________，数量关系是_________； 【变式3】．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点）上，按下列要求画图： (1)过点作，使点也在格点上，且； (2)在给定的方格纸中，平移三角形，使点落在点处，请画出平移后的三角形，使、的对应点分别为、； (3)请直接写出的面积为______． 05 过关•检测 1．将如图所示的图案平移后可以得到下图中的（    ） A． B． C． D． 2．下列每组图形中，将右面的图形平移后可以得到左面的图形的一组是（   ） A． B． C． D． 3．如图，三角形是由三角形向右平移得到的图形．若，则的长是（     ） A． B． C． D． 4．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，平移距离为，则阴影部分的面积为（   ） A．31 B．31.5 C．37 D．37.5 6．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 8．如图，长方形中，，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移个单位长度，得到长方形（）．若的长度为，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 10．如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 11．“科教兴国，强国有我”．在科技实验活动中，陈臻设计制作了“水火箭”升空实验．观察发射过程，他把水火箭抽象成几何图形，如图，火箭主体约，若起飞过程中约，则的长约________． 12．如图，直角三角形的周长为2026，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是________． 13．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 14．在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 15．如图，三角形沿方向平移到三角形的位置． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求平移的距离． 16．如图，在的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格得到，画出； (4)判断和的数量关系　　　． 17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 18．如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 19．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，________； (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为四种，请填写下表： 运动状态 平移时间的范围 两正方形重叠部分的面积 第一种运动状态 ________ 第二种运动状态 ________ 第三种运动状态 ________ ________ 第四种运动状态 ________ 0 (3)当时，小正方形平移的时间为________秒． 20．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 21．如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 22．如图，粗线①和细线②是公交车从少年宫到体育馆的两条行驶路线． (1)判断两条线的长短：粗线①______细线②．（填“”“”或“”） (2)小丽坐出租车由体育馆到少年宫，假设出租车的收费标准为起步价8元，3千米以后按每千米2.6元计费，用式子表示出租车的收费元与行驶路程千米之间的关系． (3)如果（2）中的这段路程长5千米，小丽身上的13元钱够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $