专题11轴对称.平移与旋转寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题11轴对称.平移与旋转寒假预习讲义 · 掌握平移的定义、性质，能准确画出平移后的图形 · 理解中心对称及中心对称图形概念，会找对称中心、画对称图形 · 明晰全等图形特征，能识别、判断全等图形，会画全等图形 · 能区分平移、中心对称的图形变换特点，结合全等性质解决简单图形问题 · 培养图形观察与动手作图能力，建立几何图形变换的思维逻辑 预习必备 知识点梳理 1.平移 2.中心对称 3.图形的全等 4.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.生活中的平移现象 2.图形的平移 3.利用平移的性质求解 4.利用平移解决实际问题 5.成中心对称 6.找两图的对称中心 7.由中心对称性质求面积.长度等 8.识别中心对称图形 9.找中心对称图形的中心 10.在方格中补全中心对称图 11.中心对称图形规律探究 12.图形的全等 13.全等三角形的性质 强化巩固 解答题(6题) 【知识点01.平移】 1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿某一条直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 ▶ 核心条件：①平面内运动；②沿直线移动（无旋转、无翻转）；③移动距离固定。 ▶ 平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置。 2. 平移的两大要素 移动的方向和移动的距离（确定平移的关键，二者缺一不可）。 3. 平移的核心性质 ① 平移后，图形的对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； ② 平移后，图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； ③ 平移后，图形的对应角相等。 4. 平移的作图步骤（三步法，核心找关键点） (1)找原图形的关键点（如多边形的顶点、线段的端点、圆的圆心等）； (2)按平移的方向和距离，将每个关键点平移得到对应点； (3)依次连接各对应点，得到平移后的图形。 【知识点02.中心对称】 1. 核心概念（区分两个易混定义） （1）中心对称（两个图形的关系） 在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转 180°，如果它能和另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这个定点中心对称，这个定点叫做对称中心，重合的点叫做对应点。 （2）中心对称图形（一个图形的特征） 在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转 180°，如果旋转后的图形能和自身完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做它的对称中心。 2. 中心对称的核心性质 ① 两个中心对称的图形，对应点所连的线段都经过对称中心，且被对称中心平分（最核心性质，作图、解题的关键）； ② 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； ③ 对应角相等； ④ 中心对称的两个图形全等。 3. 中心对称的作图步骤（三步法） (1)找原图形的关键点； (2)连接关键点与对称中心，并向对称中心的另一侧延长相同的长度，得到关键点的对应点； (3)依次连接各对应点，得到中心对称的图形。 【知识点03.图形的全等】 1. 全等图形核心定义 能够完全重合的两个图形叫全等图形； 核心特征：形状相同、大小相等（二者缺一不可）； 2. 全等三角形（重点） 定义：能够完全重合的两个三角形。 表示要求：对应顶点必须写在对应位置 核心性质：对应边相等，对应角相等 【知识点04.核心易错点】 一.平移 1.误认为平移仅能沿水平 / 竖直方向，实际任意直线方向的直线移动均为平移； 2.忽略对应点连线的两种情况，误认为仅平行，遗漏在同一直线上的情况（沿图形自身边的方向平移时会出现）。 二.中心对称 1.混淆中心对称（两个图形的位置关系）和中心对称图形（一个图形的自身特征），表述时概念混用； 2.作中心对称图形时，关键点的对应点未向对称中心另一侧延长一倍距离，导致对称图形大小、位置错误。 三.图形的全等 1.仅以 “形状相同” 判定全等，忽略大小相等的核心条件（如大小不同的正方形）； 2.误认为 “面积 / 周长相等” 的图形就是全等图形，忽略形状可能不同（如面积相同的长方形和正方形）； 3.表示全等三角形时，对应顶点未写在对应位置，导致找错对应边、对应角； 4.误将 “全等图形的周长、面积相等” 倒推，认为周长 / 面积相等的图形一定全等。 【题型1.生活中的平移现象】 【典例】中华文化，博大精深．在中国的一些文字里，可以看作是平移变换而得到的．如：“日”“朋”“森”等，请你额外再写一个具有平移变换现象的汉字 ． 【答案】林（答案不唯一） 【分析】根据平移的基本性质，写出的汉字只需由两或三个完全相同的部分组成即可． 【详解】根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字即可： 则可以有：林，晶等，答案不唯一． 故答案为：林，晶等，答案不唯一． 【点睛】本题考查平移的基本性质的运用：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【跟踪专练1】下列现象属于平移的是（    ） A．投篮时的篮球运动 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 D．急刹车时汽车在地面上的滑动 【答案】D 【分析】本题考查生活中的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平移的定义逐项判断即可． 【详解】解：平移是指物体沿一个方向移动一定的距离，平移前后物体大小、形状不变．根据定义，A、B、C均不符合题意，急刹车时汽车在地面上的滑动是平移． 故选：D． 【跟踪专练2】在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    【答案】 【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【详解】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 【题型2.图形的平移】 【典例】宇树机器人“G1”如图所示，将它通过平移可得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形平移的概念，由“不改变图形大小，形状和方向”是解决本题的关键． 根据图形平移的概念，即“图形平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动”，由此判断选项即可． 【详解】解：根据图形平移的概念可知，B选项可以通过平移得到， 经验证，A选项，C选项，D选项的图形方向发生改变，故不可以平移得到． 故选：B ． 【跟踪专练1】如图，线段是线段经过向右平移3格，再向下平移 格得到的． 【答案】5 【分析】本题主要考查了图形的平移，根据点A和点D的位置可知，向右平移3格，向下平移5格，据此可得答案． 【详解】解：由题意可得线段是线段经过向右平移3格，再向下平移5格得到的， 故答案为：5． 【跟踪专练2】如图，正六边形的对角线交于点，能由平移而得到的图形是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】此题考查了正多边形的性质，图形的平移，根据平移的性质，结合图形，对图中的三角形进行分析，求得正确答案即可，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：、和方向发生了变化，故本选项不符合题意； 、和形状和大小没有变化，故本选项符合题意； 、和方向发生了变化，故本选项不符合题意； 、和方向发生了变化，故本选项不符合题意； 故选：． 【题型3.利用平移的性质求解】 【典例】如图，将三角形沿方向平移得到三角形，点、、在同一条直线上，若，则平移的距离为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移得到三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，即平移距离为6． 故答案为：6 【跟踪专练1】如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，掌握图形的平移是解题的关键． 利用平移变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图象可知由图形①变成图形②，把图先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】先根据平移的性质确定对应线段的长度与平行关系，得到直角条件，再求出梯形的上下底边长，最后利用梯形面积公式计算阴影部分的面积． 【详解】解：直角三角形沿射线方向平移得到 ，且 阴影部分是梯形，以为上下底，为高 故答案为：18． 【点睛】本题考查平移的性质与梯形面积公式，掌握平移后对应线段平行且相等、梯形面积是解题的关键． 【题型4.利用平移解决实际问题】 【典例】如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台上铺上一块红地毯，问这块红地毯长至少需要（   ） A．23米 B．18米 C．15米 D．13米 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用平移解答实际问题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形形的两边，求出地毯的长度即可． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形的两边，长方形的两条边长分别为10米，8米， 故地毯的长度至少为（米）． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在一块长为7，宽为5的草地上有两条小路：路Ⅰ和路Ⅱ．其中路Ⅰ是弯曲的，路Ⅱ是直的，且每条小路的左边线向右平移1就是它的右边线，则这块草地的青草覆盖面积为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移得到长方形，再利用长方形的面积公式得出是解题关键．根据路Ⅰ和路Ⅱ的左边线向右平移1就是它的右边线，可得路Ⅰ和路Ⅱ的宽度，根据平移的性质，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：∵路Ⅰ和路Ⅱ的左边线向右平移1就是它的右边线， ∴将路Ⅰ和路Ⅱ左半部分的草地向右平移，分别与路Ⅰ和路Ⅱ的右半部分对接，可以得到一个长方形，长为：，宽为：5， ∴因此这块草地的绿地面积是． 故答案为：25． 【跟踪专练2】现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，表示出阴影部分的面积，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：A，C，D中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去以大长方形的宽为长，小路的宽为宽的长方形的面积，B中阴影部分的面积比其它三个小1个以小路的宽为边长的小正方形的面积； 故选B． 【题型5.成中心对称】 【典例】下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意； D是轴对称，不成中心对称，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了中心对称图形的定义及性质，理解并掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点称为对称中心；成中心对称的两个图形全等；连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分；由此即可求解． 【详解】解：①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确． ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ ． 【跟踪专练2】如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（    ） A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25 【答案】D 【分析】求出A1，A2、 A3、A4、A5、A6，A7点的坐标，找出其中的规律即可． 【详解】解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称， ∴A2表示的数是﹣1， ∵A2，A3关于点P对称， ∴A3表示的数是， ∵A3，A4关于点O对称， ∴A4表示的数是﹣5， ∵A4，A5关于点P对称， ∴A5表示的数是， ∵A5，A6关于点O对称， ∴A6表示的数是﹣9， ∵A6，A7关于点P对称， ∴A7表示的数是 …… ∴关于P点对称的点表示的数是， 关于O点对称的点表示的数是， ∴点A14表示当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴，要掌握用数轴上的点表示有理数，本题的关键是找出：，． 【题型6.找两图的对称中心】 【典例】关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【答案】对称中心 【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解． 【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心； 故答案为对称中心． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 【题型7.由中心对称性质求面积.长度等】 【典例】如图，与关于点成中心对称，则线段与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称，根据中心对称性质，可以得到中心对称图形对应边的关系． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，与关于点成中心对称，则下列结论中不成立的是（   ） A． B． C．点与点关于点对称 D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， 故A、C、D正确；无法根据已知条件得到，故错误． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，， ∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称， ∴必过点A，必过点B，且， ∴， 由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为， 故答案为： 【题型8.识别中心对称图形】 【典例】近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含AI聊天、AI搜索、AI编程、AI绘画等多项功能．下列AI工具图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变换得到？下列结论：1次中心对称；1次轴对称；2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，能快速寻找对称中心和对称轴是解题的关键．事实上，任意一次旋转变换都可以通过两次轴对称变换来实现． 根据轴对称和中心对称的定义和性质逐个判断即可．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：    ②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误； ③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：    故正确的有：①③ 故答案为：①③． 【跟踪专练2】下列正确的叙述是（    ） A．中心对称图形由两个图形组成 B．圆的对称轴有无数条，就是它的直径 C．正五边形的旋转角只有是 D．正六边形既是轴对称图形，也是旋转对称图形，还是中心对称图形 【答案】D 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，旋转的角度叫旋转角（旋转角），根据中心对称图形、轴对称图形和旋转对称图形的定义逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A、中心对称图形由一个图形组成，原说法错误，不符合题意，选项错误； B、圆的对称轴有无数条，过圆心的直线是圆的对称轴，原说法错误，不符合题意，选项错误； C、正五边形的旋转角有、、、，原说法错误，不符合题意，选项错误； D、正六边形既是轴对称图形，也是旋转对称图形，还是中心对称图形，原说法正确，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形和旋转对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解题关键． 【题型9.找中心对称图形的中心】 【典例】如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 【答案】D 【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 故选D． 【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置． 【跟踪专练1】图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【答案】C 【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 【跟踪专练2】已知与成中心对称，则对称中心为（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点T 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 由图可知与的交点与点Q重合， ∴对称中心为点Q． 故选：C． 【题型10.在方格中补全中心对称图】 【典例】如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称的定义依次判断到位置是否可以构成中心对称图形即可． 【详解】解：如图，当涂黑时，构成的阴影部分为中心对称图形． 故答案为：． 【跟踪专练1】围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（   ） A．点M处 B．点N处 C．点P处 D．点Q处 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：当放入白子的位置在点M处时，是中心对称图形． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′． 作法： ①连接AO并延长到A′，使OA′＝ ，得到点A的对应点 ； ②同理，可作出点B，C，D的对应点 ，C′，D′； ③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形 即为所作． 【答案】 OA A′ B′ A′B′C′D′ 【解析】略 【题型11.中心对称图形规律探究】 【典例】已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质：对称中心是对称点连线的中点即可得到答案； 【详解】解：∵点与点关于对称， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称的性质，解题的关键是对称中心是对称点连线的中点． 【跟踪专练1】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，，故A，B，C选项正确，，故D选项错误． 故选：D． 【跟踪专练2】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【详解】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 【题型12.图形的全等】 【典例】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义．完全重合的两个图形叫做全等图形．根据定义，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、两个图形一个是圆形、一个是方形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； B、两个图形，一个是正六边形、一个是正五边形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； C、两个心形图案能完全重合，是全等图形，本选项符合题意； D、两个图形一大一小，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 【跟踪专练2】如图，正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，，，分别为，，，的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），符合要求的拼图方法有（   ）种 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙）的各种情况．先根据题意画出图形，即可得到结论． 【详解】解：如图所示： 符合要求的拼图方法有6种， 故选：D． 【题型13.全等三角形的性质】 【典例】如图，，则CF的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应线段相等，据此可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题关键是熟悉全等三角形的性质． 根据全等三角形的对应边相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：D． 1．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上． (1)以直线为对称轴，画出关于直线对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，； (2)以点为对称中心，画出，使得与关于点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为点，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——轴对称变换及中心对称变换，正确利用网格，根据轴对称及中心对称的性质找出对应点是解题关键． （1）根据轴对称的性质分别找出点A、B、C的对应点，，，顺次连接即可得答案； （2）根据中心对称的性质分别找出点A、B、C的对应点，，，顺次连接即可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求： 3．的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． (1)将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到； (2)画出关于点成中心对称的； (3)的面积为_____． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了图形的平移，中心对称图形的性质，三角形面积，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （）根据图形平移的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）利用长方形面积减去三个直角三角形面积可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；             （2）解：如上图，即为所求； （3）解：如图， ∴的面积为： ， 故答案为：． 4．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 5．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若一次性平移到，试求出平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)线段扫过的面积为 【分析】本题主要考查作图——平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （）根据将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到即可画图； （）根据长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图， ∴线段扫过的面积为 ． 45．手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形． 【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11轴对称.平移与旋转寒假预习讲义 · 掌握平移的定义、性质，能准确画出平移后的图形 · 理解中心对称及中心对称图形概念，会找对称中心、画对称图形 · 明晰全等图形特征，能识别、判断全等图形，会画全等图形 · 能区分平移、中心对称的图形变换特点，结合全等性质解决简单图形问题 · 培养图形观察与动手作图能力，建立几何图形变换的思维逻辑 预习必备 知识点梳理 1.平移 2.中心对称 3.图形的全等 4.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.生活中的平移现象 2.图形的平移 3.利用平移的性质求解 4.利用平移解决实际问题 5.成中心对称 6.找两图的对称中心 7.由中心对称性质求面积.长度等 8.识别中心对称图形 9.找中心对称图形的中心 10.在方格中补全中心对称图 11.中心对称图形规律探究 12.图形的全等 13.全等三角形的性质 强化巩固 解答题(6题) 【知识点01.平移】 1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿某一条直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 ▶ 核心条件：①平面内运动；②沿直线移动（无旋转、无翻转）；③移动距离固定。 ▶ 平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置。 2. 平移的两大要素 移动的方向和移动的距离（确定平移的关键，二者缺一不可）。 3. 平移的核心性质 ① 平移后，图形的对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； ② 平移后，图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； ③ 平移后，图形的对应角相等。 4. 平移的作图步骤（三步法，核心找关键点） (1)找原图形的关键点（如多边形的顶点、线段的端点、圆的圆心等）； (2)按平移的方向和距离，将每个关键点平移得到对应点； (3)依次连接各对应点，得到平移后的图形。 【知识点02.中心对称】 1. 核心概念（区分两个易混定义） （1）中心对称（两个图形的关系） 在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转 180°，如果它能和另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这个定点中心对称，这个定点叫做对称中心，重合的点叫做对应点。 （2）中心对称图形（一个图形的特征） 在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转 180°，如果旋转后的图形能和自身完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做它的对称中心。 2. 中心对称的核心性质 ① 两个中心对称的图形，对应点所连的线段都经过对称中心，且被对称中心平分（最核心性质，作图、解题的关键）； ② 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； ③ 对应角相等； ④ 中心对称的两个图形全等。 3. 中心对称的作图步骤（三步法） (1)找原图形的关键点； (2)连接关键点与对称中心，并向对称中心的另一侧延长相同的长度，得到关键点的对应点； (3)依次连接各对应点，得到中心对称的图形。 【知识点03.图形的全等】 1. 全等图形核心定义 能够完全重合的两个图形叫全等图形； 核心特征：形状相同、大小相等（二者缺一不可）； 2. 全等三角形（重点） 定义：能够完全重合的两个三角形。 表示要求：对应顶点必须写在对应位置 核心性质：对应边相等，对应角相等 【知识点04.核心易错点】 一.平移 1.误认为平移仅能沿水平 / 竖直方向，实际任意直线方向的直线移动均为平移； 2.忽略对应点连线的两种情况，误认为仅平行，遗漏在同一直线上的情况（沿图形自身边的方向平移时会出现）。 二.中心对称 1.混淆中心对称（两个图形的位置关系）和中心对称图形（一个图形的自身特征），表述时概念混用； 2.作中心对称图形时，关键点的对应点未向对称中心另一侧延长一倍距离，导致对称图形大小、位置错误。 三.图形的全等 1.仅以 “形状相同” 判定全等，忽略大小相等的核心条件（如大小不同的正方形）； 2.误认为 “面积 / 周长相等” 的图形就是全等图形，忽略形状可能不同（如面积相同的长方形和正方形）； 3.表示全等三角形时，对应顶点未写在对应位置，导致找错对应边、对应角； 4.误将 “全等图形的周长、面积相等” 倒推，认为周长 / 面积相等的图形一定全等。 【题型1.生活中的平移现象】 【典例】中华文化，博大精深．在中国的一些文字里，可以看作是平移变换而得到的．如：“日”“朋”“森”等，请你额外再写一个具有平移变换现象的汉字 ． 【跟踪专练1】下列现象属于平移的是（    ） A．投篮时的篮球运动 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 D．急刹车时汽车在地面上的滑动 【跟踪专练2】在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    【题型2.图形的平移】 【典例】宇树机器人“G1”如图所示，将它通过平移可得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，线段是线段经过向右平移3格，再向下平移 格得到的． 【跟踪专练2】如图，正六边形的对角线交于点，能由平移而得到的图形是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型3.利用平移的性质求解】 【典例】如图，将三角形沿方向平移得到三角形，点、、在同一条直线上，若，则平移的距离为 ． 【跟踪专练1】如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【跟踪专练2】如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 【题型4.利用平移解决实际问题】 【典例】如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台上铺上一块红地毯，问这块红地毯长至少需要（   ） A．23米 B．18米 C．15米 D．13米 【跟踪专练1】如图，在一块长为7，宽为5的草地上有两条小路：路Ⅰ和路Ⅱ．其中路Ⅰ是弯曲的，路Ⅱ是直的，且每条小路的左边线向右平移1就是它的右边线，则这块草地的青草覆盖面积为 ． 【跟踪专练2】现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 【题型5.成中心对称】 【典例】下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【跟踪专练1】若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 【跟踪专练2】如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（    ） A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25 【题型6.找两图的对称中心】 【典例】关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【跟踪专练1】如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练2】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【题型7.由中心对称性质求面积.长度等】 【典例】如图，与关于点成中心对称，则线段与的数量关系是 ． 【跟踪专练1】如图，与关于点成中心对称，则下列结论中不成立的是（   ） A． B． C．点与点关于点对称 D． 【跟踪专练2】如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 【题型8.识别中心对称图形】 【典例】近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含AI聊天、AI搜索、AI编程、AI绘画等多项功能．下列AI工具图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变换得到？下列结论：1次中心对称；1次轴对称；2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【跟踪专练2】下列正确的叙述是（    ） A．中心对称图形由两个图形组成 B．圆的对称轴有无数条，就是它的直径 C．正五边形的旋转角只有是 D．正六边形既是轴对称图形，也是旋转对称图形，还是中心对称图形 【题型9.找中心对称图形的中心】 【典例】如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 【跟踪专练1】图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【跟踪专练2】已知与成中心对称，则对称中心为（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点T 【题型10.在方格中补全中心对称图】 【典例】如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为 ． 【跟踪专练1】围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（   ） A．点M处 B．点N处 C．点P处 D．点Q处 【跟踪专练2】如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′． 作法： ①连接AO并延长到A′，使OA′＝ ，得到点A的对应点 ； ②同理，可作出点B，C，D的对应点 ，C′，D′； ③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形 即为所作． 【题型11.中心对称图形规律探究】 【典例】已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 【跟踪专练1】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 【题型12.图形的全等】 【典例】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，，，分别为，，，的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），符合要求的拼图方法有（   ）种 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【题型13.全等三角形的性质】 【典例】如图，，则CF的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【跟踪专练1】如图，，若，则 ． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 1．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上． (1)以直线为对称轴，画出关于直线对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，； (2)以点为对称中心，画出，使得与关于点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为点，，． 3．的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． (1)将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到； (2)画出关于点成中心对称的； (3)的面积为_____． 4．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 5．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若一次性平移到，试求出平移过程中，线段扫过的面积． 45．手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $